bozmayacaksa yerine sıfır konulması dahi yeğlenebilir.
Sonuç olarak;
1
1
2
2
3
4
2
1 4
;
;
0;
6 3
c
c c
c c
c
c
alınmak suretiyle, genel çözüm yeniden düzenlenirse, sistemin çözümü
4
4
5
1
2
4
4
5
2
3
4
( )
2
5
4
1
( )
(2
)
3
6
t
t
t
t
t
t
x t
c
c e
te
e
y t
c e
t
e
e
bulunur.
08.03.02. Genel Halin İncelenmesi
Sabit katsayılı ve lineer bir diferansiyel denklem sisteminin genel ifadesi, operatörler
kullanılmak suretiyle, aşağıda olduğu şekilde gösterilebilir.
d
D
dt
olmak üzere ve
( )
ij
F D
ifadeleri
(
1, 2,...., ;
1, 2,...., )
i
n j
n
,
D
nin
n
. dereceye kadar lineer tam çok terimlisi
olduğuna göre
11
1
12
2
1
1
21
1
22
2
2
2
1
1
2
2
( )
( )
....
( )
( )
( )
( )
....
( )
( )
:
( )
( )
....
( )
( )
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
F D x
F D x
F D x
f t
F D x
F D x
F D x
f t
F D x
F D x
F D x
f t
(8.7)
şeklinde bir simultane sistem, tanımlanmak istenilen denklem sistemini temsil etmektedir.
1
2
( ), ( ),..., ( )
n
x t x t
x t bilinmeyen fonksiyonları için oluşturulan bu sistemde, katsayılar operatörle
165
ifade edildiğinden, sistemin çözümünde tamamen lineer cebir kuralları uygulamak olanağı
vardır. Örneğin bu sistem bir Cramer sistemi gibi bakmak olasıdır. Ancak bir koşul öncelikle
sağlanmalıdır: katsayılar determinantı sıfırdan farklı olmalıdır.
Bir önceki alt bölümde, böyle bir sistemin daha basit halini (daha özel halini) alarak inceledik.
Orada oluşan bilgi birikiminin, bu denklemin çözümünde kullanılması yararlı olacaktır.
Katsayılar determinantının sıfırdan farklı olması ve çözümde bu determinantın kullanılması
gibi...
Sistemin katsayılar determinantı
( )
D
ile gösterelim. Buna göre;
11
12
1
21
22
2
1
2
( )
( ) ...
( )
( )
( ) ...
( )
( )
0
:
:
:
( )
( ) ...
( )
n
n
n
n
nn
F D
F D
F D
F D
F D
F D
D
F D
F D
F D
olmak koşuluyla
1, 1
1
1,
1
11
1
2, 1
2
2,
1
21
2
, 1
,
1
1
...
( )
( )
( )
( )
( )
...
...
( )
( )
( )
( )
( )
...
( )
:
:
:
:
:
...
( )
( )
( )
( )
( )
...
j
j
n
j
j
n
j
n j
n
n j
n
nn
F
D
f t
F
D
F D
F D
F
D
f t
F
D
F D
F D
D
F
D
f t
F
D
F D
F D
determinantları hesaplanabilecektir.
( )
j
D
determinantları tek tek hesaplandığında ki sayıca n
tanedir, bunlar t nin birer fonksiyonu ya da sabitler olarak bulunacaktır. Bunları
( )
( );
1, 2,...,
j
j
D
t j
n
ile gösterelim.
j
x
bilinmeyen fonksiyonları temsil ettiğine göre
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
j
j
j
j
t
x t
D x t
t
D
çözümlerine ve dolayısıyla diferansiyel denklemlerine ulaşılır.
1
1
2
2
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
:
( ) ( )
( )
n
n
D x t
t
D x t
t
D x t
t
(8.8)
diferansiyel denklemleri incelenmeli ve çözülmelidir. İlk denklemin çözümünden
1
( )
x t ; ikinci
denklemin çözümünden
2
( )
x t ve giderek sonuncu denklemin çözümünden de
( )
n
x t
bilinmeyen fonksiyonları belirlenecektir. Ancak bu böyle olmakla birlikte birer sabit katsayılı,
ikinci yanlı lineer diferansiyel denklem olan bu denklemin genel çözümlerinin yazılmasında
keyfi sabitlerin bir kurala göre düzenlenmesi gerekmektedir. Aksi halde elde edilen sonuçlar,
bir sistemin çözümü olarak bir araya getirildiğinde, buna “sistemin genel çözümü”
denilemeyecektir. İşte bu düzenleme için nasıl hareket edileceği aşağıda açıklanmıştır:
( )
( );
1, 2,...,
j
j
D x
t j
n
166
diferansiyel denklemlerinin bir ortak özelliği
( )
D
nin bütün denklemlerde aynı olmasıdır.
( )
D
aynı zamanda, katsayılar determinantı olup,
D
nin bir tam çok terimlisidir. Bu aynı
zamanda diferansiyel denklemlerin karakteristik denklemi olarak görülmektedir, yeter ki
( ) 0
D
alınmış olsun.
( )
D
nin derecesi, sistemin mertebesini belirtmektedir. Buna bağlı
olarak, sistemin genel çözümünde yer alacak keyfi sabitlerin sayısını da düzenlemektedir.
Şimdi bu olgular göz önünde bulundurularak,
1
2
( ), ( ),..., ( )
n
x t x t
x t fonksiyonlarının çözümleri
sırasında ortaya çıkan keyfi sabitlerin sayısının kaç tane olması gerektiği böylece
saptanabilecektir. Bunun üstünde kalan sayıdaki keyfi sabitler öncekilerle lineer bağımlılık
ilişkisi içindedirler.
( ) 0
D
karakteristik denkleminin
.
k dereceden bir cebirsel denklem olduğunu varsayalım.
Burada
0
k
ve tam sayı olabileceği gibi, k n
ya da k n
olması gerektiği de saptanabilir.
Yani bir başka yaklaşımla
k için sonlu olmak koşuluyla, bir üst sınır belirlemek bu aşamada
olanaksızdır. Bu
k sayısı, her problem için, onun koşullarına göre belirlenecektir. Ancak bu
sayının özelliği, sistemin mertebesinin
k olduğunu belirtmesidir. Diğer yandan, (8.8) deki
diferansiyel denklemlerinin her biri için,
0
1
,
,....,
k
m m
m sabit katsayıları olmak üzere,
1
0
1
1
( )
....
0
k
k
k
k
D
m D
m D
m D m
karakteristik denkleminden
1
2
,
,....,
k
D D
D gibi, k tane cebirsel sayıdan oluşan kökler elde
edilecektir. Bunların, her bir denklem için değerlendirilmesi, ikinci yansız denklemlere göre,
sırasıyla,
1
2
1
2
1
2
1
11
12
1
2
21
22
2
1
2
( )
....
( )
....
:
( )
....
k
k
k
D t
D t
D t
k
D t
D t
D t
k
D t
D t
D t
n
n
n
nk
x t
c e
c e
c e
x t
c e
c e
c e
x t
c e
c e
c e
(8.9)
olup, bunlarda toplam olarak
n k
tane keyfi sabit kullanıldığı görülmektedir. Çünkü, her
bilinmeyen fonksiyon için yapılan çözüm, öncekilerden bağımsız olarak gerçekleştirildiğinden,
önceden yapılan çözümlerde kullandığımız keyfi sabitlerin tekrar kullanılması artık
olanaksızdır.
Sistemin mertebesi k olması, (8.8) çözümlerinden hareketle genel çözüm ifade edilirken ancak
k tane keyfi sabiti seçerek, diğer geriye kalan
(
1).
n
k
tane keyfi sabitin bunlar cinsinden ifade
edilmesini gerekli kılmaktadır. Bu iş her sistemdeki bağıntıdan yararlanılarak sağlanır. (8.8)
ifadeleri, ikinci yanlı diferansiyel denklemlerdir. Öyleyse ikinci yanda yer alan
( )
j
t
fonksiyonlarından ötürü, birer özel çözümü bulunup, (8.9) çözümlerime eklenmelidir. Eğer bu
çözümlerin
( );
1, 2,...,
j
h t j
n
oldukları varsayılırsa (8.9) daki diferansiyel denklem çözümleri
her birinden bağımsız olarak, birer genel çözüm niteliğine kavuşurlar. Böylece ;
1
2
1
2
1
2
1
11
12
1
1
2
21
22
2
2
1
2
( )
....
( )
( )
....
( )
:
( )
....
( )
k
k
k
D t
D t
D t
k
D t
D t
D t
k
D t
D t
D t
n
n
n
nk
n
x t
c e
c e
c e
h t
x t
c e
c e
c e
h t
x t
c e
c e
c e
h t
(8.10)
167
olurlar. Bunlar için önceden göz önüne alınan sisteminin herhangi bir bağıntısı seçilerek bir
uygulama yapılır. Bilindiği gibi
1
2
( ), ( ),..., ( )
n
x t x t
x t fonksiyonları (8.7) sistemine aittir ve bu
sistem, bu fonksiyonlar tarafından sağlanmalıdır. Bu işlemleri keyfi sabitler arasındaki lineer-
bağımlılık ilişkileri tam olarak belirleninceye kadar sürdürülür. Bunun için gerekirse, (8.7)
sisteminin diğer bağıntıları da kullanılır.
Keyfi sabitler arasındaki ilişkiler belirlendikten ve keyfi sabitler k tane keyfi sabite göre
düzenlendikten sonra, bunlar için bilinmeyen fonksiyonlar yeniden düzenlenir, İşte bu şekilde
düzenlenmiş olan (8.10) çözümleri, (8.7) sisteminin genel çözümünü belirler.
Örnek.
2
(
3)
6
(
3)
t
D
x
y t
Dx
D
y e
diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü bulalım.
2
2
3
6
( )
(
3)
6
9 0
3
D
D
D
D D
D
D
olarak, Cramer teoremi uygulanabilecektir :
2
2
1
2
2
6
( )
6
3
2
( )
3
3
( )
2
2
( )
t
x
t
t
x
t
t
D
e
t
t
t
e
D
D
t
D
e
t
t
D
e
olup,
2
1
2
2
2
( )
( )
6
3
2
( )
( )
9
( )
( )
2
2
( )
( )
9
t
x
t
y
D
t
e
t
t
x
D
D
D
D
t
e
y
D
D
D
bulunur. Bunlardan
2
2
2
(
9)
6
3
2
(
9)
2
2
t
t
D
x
e
t
t
D
y
e
t
diferansiyel denklemlerine varılır. Bu denklemler ayrı ayrı çözülür. Ancak
2
9 0
D
karakteristik denklemleri ortaktır. Buradan
2
1,2
9 0
3
D
D
i
1
1
2
1
3
4
( )
cos3
sin 3
( )
cos 3
sin 3
x t
c
t c
t
y t
c
t c
t
yazılacaktır. Şimdi de özel çözümleri bulalım. Önceki bilgilerimize göre bu çözümler
düzenlenir ve gerekli işlemler yapılırsa sırasıyla,
168
2
2
2
3
1
2
2
5
3
9
27
1
2
5
9
t
t
x
e
t
t
y
e
t
bulunur. Bunlar dikkate alınarak, diferansiyel denklemlerin genel çözümü
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
1
2
2
( )
( )
( )
cos3
sin 3
5
3
9
27
1
2
( )
( )
( )
cos 3
sin 3
5
9
t
t
x t
x t
x t
c
t c
t
e
t
t
y t
y t
y t
c
t c
t
e
t
şeklinde düzenlenmiş olacaktır. Şimdi, bu iki çözümün birlikte, verilen sistemin genel
çözümünü oluşturması koşulunu tartışalım.
Görüldüğü gibi,
2
( )
9
D
D
olup,
D
nin 2. dereceden birçok terimlisidir. Öyleyse sistemin
mertebesi 2 olup, sistemin genel çözümünde ancak ve ancak iki tane keyfi sabit
bulunabilecektir: Oysa yukarıdaki çözümler incelenirse
1
2
3
4
, , ,
c c c c gibi dört adet keyfi sabit
kullanıldığı görülür. Demek ki bunlardan ikisi, diğer ikisiyle lineer bağımlılık ilişkisi içindedir.
Bu ilişkiyi belirlemek için, sistemdeki ikinci bağıntıyı kullanalım:
(
3)
t
Dx
D
y e
;
1
2
3
2
2
3 sin 3
3 cos 3
5
3
9
t
dx
Dx
c
t
c
t
e
t
dt
3
4
3
4
1
2
3
2
(
3)
3
3 sin 3
3 cos 3
3 cos3
3 sin 3
5
9
5
3
t
t
dy
D
y
y
c
t
c
t
e
c
t
c
t
e
t
dt
olarak uygulanırsa
1
2
3
4
3
4
3
2
2
3 sin 3
3 cos 3
3 sin 3
3 cos 3
5
3
9
1
2
3
2
3 cos 3
3 sin 3
5
9
5
3
t
t
t
t
c
t
c
t
e
t
c
t
c
t
e
c
t
c
t
e
t e
olup, buradan ;
1
3
4
2
3
4
3(
)sin 3
3(
) cos 3
0
c
c
c
t
c
c
c
t
bağıntısına varılır. Buradan da
1
3
4
1
3
4
2
3
4
2
3
4
0
0
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
ilişkileri saptanır. Böylece
2
3
4
3
4
3
4
3
1
2
2
( ) (
) cos3
(
)sin 3
5
3
9
27
1
2
( )
cos 3
sin 3
5
9
t
t
x t
c
c
t
c
c
t
e
t
t
y t
c
t c
t
e
t
çözümüne ulaşılır ki bu genel çözümdür.
169
Örnek.
2
1
2
3
1
3
1
2
3
(
1)
2
3
1
0
0
D
y
Dy
Dy
Dy
y
y
Dy
Dy
diferansiyel denklem sistemi de, sabit katsayılı bir lineer sistem olup, genel çözümünü
araştıralım. Bu amaçla, öncelikle katsayılar determinantını hesaplayalım:
2
2
(
1)
2
3
( )
0
1
2
3
0
1
D
D
D
D
D
D
D
D
D
;
1
2
2
2
3
1 2
3
0
0
1
(1) 0
0
1 2
3
0
0
1
1 1
0
1 2
3
0
0
1
0
0
D
D
y
D
D
D
D
D
y
D
D
D
D
D
y
D
D
D
bulunur. Bu sonuçlardan yararlanarak artık, Cramer teoremi gereğince
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
0
(2
3 )
0
( )
2
3
1
(2
3 )
1
( )
2
3
0
(2
3 )
0
( )
2
3
y
y
D
D y
D
D
D
y
y
D
D y
D
D
D
y
y
D
D y
D
D
D
diferansiyel denklemlerine ulaşılır. Bunlar ayrı ayrı integre edilirse
3
3
3
2
2
2
1
1
2
2
3
4
3
5
6
;
;
3
x
x
x
x
y
c
c e
y
c
c e
y
c
c e
bulunacaktır. Diğer yandan bu çözümler birlikte göz önüne alınırsa altı tane farklı keyfi sabit
kullanıldığı görülür. Oysa
2
( ) 2
3
D
D
D
olduğu ve bu da 2. dereceden olduğundan, gerçekte incelenen sistemin mertebesi 2 dir. Öyleyse
1
2
3
, ,
y y y birlikte bu sistemin genel çözümünü oluşturacaksa, ancak ve ancak iki keyfi sabit
içermelidirler. Bu amaçla
1
2
3
, ,
y y y çözümlerini kullanarak sisteme gidelim. Burada ilginç
olan, bir önceki örnekte olduğu gibi, sistemin tek bir denklemiyle sonuca gidilmesindeki
170
güçlüktür. Bu nedenle gerektiği kadar bağıntı kullanılacaktır. Aşağıdaki işlemlerde bunu
izliyoruz.
Sistemin 3. bağıntısı alınırsa :
1
2
3
3
3
3
2
2
2
1
2
3
4
5
6
3
3
3
2
2
2
1
2
4
6
3
2
1
2
4
6
(
)
(
) 0
3
3
1 3
0
2
3 2
1
3
3
(
)
0
3
2
2
x
x
x
x
x
x
x
y
Dy
Dy
x
c
c e
D c
c e
D c
c e
c
c e
c e
c e
c
c
c
c e
olup buradan
1
1
2
4
6
2
4
6
1
1
0
3
3
3
3
3
0
(
)
2
2
2
c
c
c
c
c
c
c
c
elde edilir. Sistemin 2. bağıntısı alınırsa :
1
3
3
3
2
2
1
2
5
6
3
3
2
2
2
5
6
3
2
5
2
6
0
(
)
0
3
0
2
3
(
)
0
2
x
x
x
x
x
Dy
y
D c
c e
c
c e
c e
c
c e
c
c
c e
olup buradan
5
2
6
6
2
3
3
0;
0
2
2
c
c
Dostları ilə paylaş: |