Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

c
c
c
 




 
elde edilir. Aynı şekilde 1. bağıntı kullanılırsa ; 
 
 
2
1
2
3
3
3
3
2
2
2
2
1
2
3
4
5
6
3
3
3
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
3
3
2
2
3
4
5
6
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
6
(
1)
2
3
1
(
2
1)
2 (
) 3 (
) 1
3
(
) 2 (
)
2 (
) 3 (
) 1
3
9
2 9
3
3
4
3 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
D
y
Dy
Dy
x
D
D
c
c e
D c
c e
D c
c e
D c
c e
D c
c e
c
c e
x
D c
c e
D c
c e
c e
c e
c
c e
c e
c e





























 







 

 
3
2
1
2
2
2
4
6
1
2
9
9
1 (
3
3
)
0
3
4
2
x
c
c
c
c
c
c e


  

 


 

171 
 
yazılarak buradan ; 
 
 
1
1
2
2
2
4
6
2
4
6
2
4
6
2
1
1 0
3
3
9
9
1
9
3
3
0
3
0
4
2
4
2
9
4(3
)
2
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
  



 









 
olup, 
6
2
3
2
c
c

 olduğundan 
4
2
13
6
c
c
 
  bulunur. 
Böylece, bu tespitlerimize göre keyfi sabitler arasındaki ilişkiler 
2
3
,
c c keyfi sabitleri cinsinden 
düzenlenebilecektir. Buna göre 
 
 
1
2
2
3
3
4
2
5
6
2
1
13
3
,
,
,
,
0,
3
6
2
c
c
c c
c c
c c
c
c



 


 
olmak üzere, sistemin genel çözümü ; 
 
 
3
2
1
2
3
2
2
3
2
3
2
2
2
1
( )
3
13
( )
6
3
3
( )
2
x
x
x
y t
c e
x
y t
c
c e
y t
c e




 



 







 
şeklinde ifade edilebilecektir. 
 
Örnek. 
Bu örnek, diferansiyel denklem sistemlerinin tanıtılması aşamasında göz önüne alınan ve bir 
elektrik devresi için, tekniğin bir problemi olarak, kuruluşu 2.Bölüm, 7. sayfada yapılmış olan   
 
 
1
1
2
2
1
2
0,5
50
20
10
20
30
10
di
i
i
dt
di
i
i
dt











 
diferansiyel denklem sisteminin incelenmesine yöneliktir. Ayrıca bu sistem i
1
(0)=0 ve i
2
(0)=0 
başlangıç  koşulları  için  çözümleneceğinden,  bir  diferansiyel  denklem  sisteminin  özel 
çözümünün bulunmasına dair bir örnek oluşturmaktadır. 
Göz önüne alınan sistem, 
d
D
dt

 türev operatörü kullanılarak yeniden düzenlenirse 
 
 
1
2
1
2
(
100)
40
20
20
(
30)
10
D
i
i
i
D
i









 

172 
 
 
 
2
1
2
100
40
( )
130
2200;
20
30
20
40
100 20
200;
600
10
30
20
10
D
D
D
D
D
D
i
i
D








 

 


 
olup, bunlardan 
 
 
   
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
200
(
130
2200)
200
( )
130
2200
600
(
130
2200)
600
( )
130
2200
i
i
D
D
i
D
D
D
i
i
D
D
i
D
D
D




















 
diferansiyel denklemlerine ulaşılacaktır. Bu iki denklemde, karakteristik denklem aynı olup 
 
 
2
1
2
( )
130
2200 0
110,
20
F D
D
D
D
D





 
 
 
bulunur. Öyleyse, ikinci yansız denklemlerin genel çözümleri, 
1
2
3
4
, , ,
c c c c keyfi sabitler olmak 
üzere 
 
 
110
20
110
20
1 1
1
2
2 1
3
4
( )
; ( )
t
t
t
t
i
c e
c e
i
c e
c e








 
olarak ifade edilecektir. Denklemlere ait özel çözümler ise 
 
 
1 2
2 2
1
3
( )
;( )
11
11
i
i


 
şeklinde hesaplanmış olacaktır. Böylece, 𝒾
1
(t) ve 𝒾
2
(t)  için genel çözüm 
 
 
110
20
1
1
2
110
20
2
3
4
1
( )
11
3
( )
11
t
t
t
t
i t
c e
c e
i t
c e
c e










 
fonksiyonları olarak bulunacaktır. Ancak bu ikilinin, sistemin genel çözümünü oluşturabilmesi 
için ancak iki keyfi sabit içermesi gerekmektedir. Çünkü 
( )
D

 ikinci derecedendir. 
1
2
3
4
, , ,
c c c c  
arasındaki  ilişkinin  belirlenebilmesi  için  sistemdeki  denklemlerden  yararlanılır.  Bu  işlemler 
yapı-lırsa ; 
 
 
3
1
4
2
1
;
2
4
c
c c
c

 
 
bulunur. Böylece sistemin genel çözümü 
 
 
110
20
1
1
2
110
20
2
1
2
1
( )
11
1
3
( )
2
4
11
t
t
t
t
i t
c e
c e
i t
c e
c e










 
olarak şekillenir. 

173 
 
Örneğimizin  bir  de  özel  çözümünün  bulunması  gerekmektedir.  Sistemin 
1
2
(0)
(0) 0
i
i

  
başlangıç  koşullarına  uyan  çözümünü  bulmak  için,  bu  koşulları  genel  çözüm  ifadesine 
uygulayalım. Buna göre; 
 
 
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
(0)
0
11
11
1
3
12
(0)
2
0
8
4
11
11
i
c
c
c
c
i
c
c
c
c


  


 














 




 
sistemi  oluşur.  Bu  sistem  çözülürse 
1
2
20
1
,
99
9
c
c
 

 
elde  edilir.  Böylece  sistemin  verilen 
başlangıç koşullarına uyan özel çözümü 
 
 
110
20
1
110
20
2
2
20
1
1
( )
99
9
11
5
2
3
( )
99
9
11
t
t
t
t
i t
e
e
i t
e
c e





 





 



 
şeklinde belirlenecektir. 
08.04 Alıştırma Problemleri ve Yanıtları 
Aşağıdaki homojen denklem sistemlerinin genel çözümünü bulunuz 
1)  
2(
2)
(
1)
0
(
3)
0
D
x
D
y
D
x y





 
   
Yanıt: 
1
2
1
2
( )
cos
sin
( )
(sin
3cos )
(cos
3sin )
x t
K
t K
t
y t
K
t
t
K
t
t






 
2)  
(
2)
(
1)
0
(
3)
(
2)
0
D
x
D
y
D
x
D
y








   
Yanıt: 
8
8
( )
( ) 0
( ) 9
135
( )
7
t
t
x t
y t
Aşikar çözüm
x t
Ce
y t
Ce






 
Aşağıda  verilmiş  sabit  katsayılı  lineer  diferansiyel  denklem  sistemlerinin  genel  çözümünü 
bulunuz. 
1) 
(
1)
2
1
(2
1)
2
D
y Dz
x
D
y
Dz
x







 
 
Yanıt:
2
2
( )
3
1
4
( )
2
3
y x
x
z x
x
x C
  



 
2) 
2(
2)
(
1)
(
3)
0
t
D
x
D
y
e
D
x y





 
  
Yanıt:
1
2
1
2
1
2
1
( )
cos
sin
2
( ) (
3 )sin
(3
)cos
2
t
t
x t
C
t C
t
e
y t
C
C
t
C
C
t
e








 

174 
 
3) 
(
2)
(
1)
sin
(
3)
(
2)
4 cos
D
x
D
y
t
D
x
D
y
t



 




  Yanıt:
8
8
1
2
( )
cos
sin
5
5
15
( )
sin
cos
17
t
t
x t
Ce
t
t
y t
Ce
t
t








 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. BÖLÜM 
 
DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN GRAFİK YÖNTEM VE ALETLER 
 
 
09.01. Grafik Yöntem 
Diferansiyel  denklemlerin  grafik  yardımıyla  çözümünü  elde  etmek  ne  anlama  geliyor?  Bir 
diferansiyel  denklem  integre  edildiği  zaman,  elde  edilen  fonksiyonun  gösterdiği  grafiğe 
yaklaşıklığı mümkün mertebe fazla olan bir eğrinin bulunması anlaşılacaktır. Burada bilhassa 
birinci  ve  ikinci  mertebe  diferansiyel  denklemlerle,  bazı  özel  diferansiyel  denklem  tipleri 
üzerinde araştırma yapılacaktır.  
Diferansiyel  denklemlerin  grafikle  çözümlerinin  araştırılmasında  çeşitli  yöntemler  ve 
yaklaşıklık  derecesini  artıran  fikirler  ileri  sürülmüştür.  Bu  yöntemlerden  bazılarını  bundan 
sonraki bölümlerde ele alacağız. 
 
09.02. Aletler 
Diferansiyel  denklemlerin  grafik  yöntemle  çözümünü  temin  etmek  konusunda  çalışanlar, 
zamanla, bu işi mekanik olarak yapacak olan aletler ortaya koymuşlardır. Doğrultu alanlarının 
veya  tanımını  bundan  sonraki  bölümde  vereceğimiz  izoklin  noktalarına  ait  doğruların 
çizilmesinde  kullanılmak  üzere  V.Bjerknes  ve  V.Södeberg  tarafından  meydana  getirilmiş 
aletler vardır. 
Doğrultu alanları çizen aletler yapıldığı gibi bazı diferansiyel denklemlerin integral eğrilerini 
doğrudan doğruya çizen aletler de yapılmaya çalışılmıştır. Örneğin Knorr tarafından yapılan 
bir alet 
 
 
y”(x) = f(y’) + g(y) + h(x)  
diferansiyel denklemini çözmekte kullanılmaktadır. Ancak bunun elde edilebilmesi için f(y’), 
g(y),  h(𝑥) fonksiyonlarına  ait  eğrilerin  çizilmiş  olması  gerekmektedir.  Bir  takım  uçlar  bu 
eğriler üzerinde hareket ettirilerek integral eğrilerinin elde edilmesi mümkün olmaktadır. 
Bir başka alet  Bush  tarafından yapılmıştır. Bu alet  
 
 
'( )
r
z x z f
 
'( )
l
y x z f
 
 

176 
 
şeklindeki bir diferansiyel denklem sistemini ve bunun karşıtı olan ikinci mertebe diferansiyel 
denkleminin  integralinin  alabilmektedir.  Burada   𝑓 ,  𝑓 ,  𝑓 , 𝑓 foksiyonları  x,  y,  z 
değişkenlerinden  birine  bağlı  keyfi  fonksiyonlardır.  Bunlara  ait  eğriler  çizildiği  takdirde, 
bahsedilen alet y(x) ve z(x) eğrilerini çizebilmektedir. 
1939 yılında Oslo’da imal edilen bir başka alet ise, bir altıncı mertebe diferansiyel denklemini 
çözebildiği gibi, iki üçüncü mertebe diferansiyel denklemden meydana gelmiş bir sistemi de 
çözmeye yaramaktadır. 
Bu  aletler  genellikle  mekanik  çalışmakta,  bunlarda  elektrikten  faydalanılamadığı 
görülmektedir. Ancak bazı aletlere konulan fotoelektrik kameradan istifade edilerek, aletlerin 
çalışması otomatikleştirilmektedir. 
Bir takım matematik yöntemler öncelikle 
 
  
2
'
( )
( )
( )
y
f x y g x y h x



 
tipindeki Riccati diferansiyel denklemlerinin ve  
 
  
3
2
'
( )
( )
( )
( )
y
f x y g x y h x y k x




 
tipindeki Abel diferansiyel denklemlerinin çözülmelerini sağlamaktadır. Ayrıca W.Thoneon , 
iterasyon yöntemi yardımıyla çözülecek  
 
  


( ), '
y
f x y

 
diferansiyel  denklemi  için  yapılan  ara  hesaplarında  integralleri  almaya  yarayan  bir  alet 
yapmıştır.  Bütün  bunların  dışında,  çeşitli  kişiler  tarafından  bu  amaçlara  hizmet  eden  birçok 
alet geliştirilmiştir. 
09.03. Doğrultu Alanı  
F(x,y,y’) = 0 diferansiyel denkleminin anlayışına uyan bu noktalarda diferansiyel denklemin 
karşıt  tuttuğu  doğrultuları  belirtmeye  yetecek  sayıda  bol  nokta  seçilir.  Bu  diferansiyel 
denklemi 
 
  
'
( , )
y
G x y

 
şeklinde  ele  alırsak,  bunun  analitik  anlamını  “  O(x,y)  nin  herhangi  bir  noktasındaki  değeri, 
bunu  türeten  fonksiyonun  o  noktadaki  teğetinin  eğimidir.  “  şeklinde  ifade  etmek  mümkün 
olur. Bu ise α eğim açısını göstermek üzere  
   
 
'
( , )
y
G x y
tg



 
olarak  göz  önüne  alınırsa,  G(x,y)  nin  alacağı  değerlere  göre,  α  da  çeşitli  değerler  alacaktır. 
Halbuki  birçok  hallerde  α,  verilen  diferansiyel  denkleme  göre,  her  noktada  aynı  doğrultuya  
sahip olabilirler. Bu doğrultuya ait noktaların tanımlarının bulunması da oldukça kolaydır. 
Aynı  α  doğrultusunu  belirten  noktaların  geometrik  yerine    İzoklin  eğrisi  denir.  İzoklinler 
çizilebildiği ve bunların değer doğrultuları bilindiği takdirde, doğrultu alanı belirlenmiş olur  
(Şekil 9.1). 

177 
 
 
Şekil 9.1. 
İzoklin Eğrisi
 
 
09.04.  y = f (x) Fonksiyonunun Grafikle İntegrasyonu 
Bir  diferansiyel  denklemin  integrasyonunu  grafik  yöntemle  yapmadan  önce,  herhangi  bir 
( )
y
f x

fonksiyonunun  grafikle  integre  edilebilmesi  hususunu  ele  alalım.  Böylece,  grafikle 
integral işlemi yapma fikrini örneklemiş olacağız. 
( )
y
f x

fonksiyonunun bir (a,b) aralığında sürekli olduğunu varsayalım. (a,b) aralığını ise 
   
 
0
1
2
, , ,...,
n
x a x x
x b


 
gibi n kısmî aralığa ayıralım. 
y  =  f(x)  fonksiyonunun  eğrisinin  sınırladığı  alan  bir  merdiven  eğrisi  (çizgisi)  yardımı  ile 
yaklaşık olarak gösterilebilir, (Şekil 9.2). Bu merdiven  
 
Şekil 9.2. 
( )
y
f x

fonksiyonunun grafikle integre edilebilmesi-1
 
çizgisinin denklemini
( )
y
t x

ile gösterelim. Burada x
1
 noktaları fonksiyonun sürekli olduğu 
noktalar olup, bir sıçrama noktası olmayacaktır. Bu merdiven çizgisi 
   
 
 
1
1
( )
( )
i
i
i
i
x
x
x
x
f x dx
t x dx





 
bağlantısına  uyacak  tarzda  çizilir.  Burada  merdiven  çizgisine  ait  alanın  oluşumu  kolayca 
görülebilir  ve  hatta  çok  az  bir  dikkatle  büyüklüğü  hakkında  bir  fikir  edinilebilir. 
( )
y
f x


178 
 
eğrisi  ile  meydana  gelen  alanları  karşılaştırma  imkanı  da  kolayca  mümkün  olur. 
( )
y
t x

çizgisinin alanı 
                                            
( )
( )
x
a
T x
t x dx


 
ile bulunabileceği gibi, bu integralin değeri çizim yolu ile de bulunabilir. 𝑥  noktalarında 
( )
( )
T x
F x

 
dir. Yani 
                                            
( )
( )
x
a
F x
f x dx


 
integral  eğrisinin 𝑥
 
 noktasındaki  ordinatı  ile  T(x)  in  aynı 𝑥
 
noktasındaki  ordinatı  birbirine 
eşittirler, ( Şekil 9.2). 
Şekil  9.2  de  görülen  merdiven  çizgilerin,  şekil  3  de  görülen  kırık  çizgiler  şekline 
dönüştürülmesi  işi  gayet  basit  bir  tarzda  oluşturulur.  z  =  a dan  itibaren  aralığın  içine  doğru 
gidildikçe  merdiven  çizgiye  ait  rastlanılan  bir  kısmi  aralıkta  onun  gösterdiği  doğrultu,  aynı 
eşel ile çizilmiş diğer bir koordinat sistemi içine aktarılabilir. Şekil 9.2 ve Şekil 9.3 birlikte 
göz önüne alınırsa, A ya ait doğrultu OA doğrultusuna, B ye ait doğrultu AB doğrultusuna, C 
ye  ait  doğrultu  BC  doğrultusuna  ve  nihayet  D  ye  ait  doğrultu  CD  doğrultusuna  karşı 
gelmektedir. Şekil 9.3 ilkinden x
1
, x
2
, x
3
,…..apsislerini de almak suretiyle, kullanışlı kılınır. 
OA,  AB,  BC,  CD  teğetlerine  x
0
,  x
1
,  x
2
,  x
3 
apsisli  değme  noktalarında  uygun  tarzda  intibak 
ettirilmiş bir eğri, 
( )
y
f x

fonksiyonunun integral eğrisini yaklaşık bir tarzda bize verecektir.  
 
Şekil 9.3. 
( )
y
f x

fonksiyonunun grafikle integre edilebilmesi-2 
Örnek. 
2
3
4 1
y
x
x

 
fonksiyonunun  integral  eğrisini  bir  basit  örnek  olarak  araştıralım.  Bu 
fonksiyonun gösterdiği eğriyi xoy dik koordinat sistemi içine çizelim, (Şekil 9.4 ). 
Bu eğrinin x
0
 ile x
3
 apsisleri arasında kalan kısmının sürekli olduğunu biliyoruz. Bu aralığa x
1
 
ve x
2 
apsislerini de kullanarak (bunlar keyfi seçilmiştir.) üç kısmi aralığa bölmüş olalım. 
(x
0
,x
3
) aralığında 
( )
y
t x

 ile gösterdiğiniz, merdiven çizgilerle bir fonksiyon kuralım, (Şekil 
9.4) Ox ekseni üzerinde  O dan itibaren negatif yönde 1 birim gidilerek A noktası işaretlenir. 
Sonra  sırasıyla  merdiven  çizgiye  ait  belirli  noktaların  Oy  ekseni  üzerinde  izdüşüm  ayakları 

179 
 
bulup, bunları A noktasına birleştirelim. Böylece teğet doğrultuları bulunmuş olur. Şimdi aynı 
eşelleri kullanarak bir başka ve bulgularımızı buraya aktaralım, (Şekil 9.5).. 
 x
0
,  x
1
,  x
2
,  x
3
  apsislerini  yeni  koordinat  sistemine  taşıyalım.  x
0 
ın  yine  orijinde  olduğu 
görülmektedir. Daha sonra x
0 
dan itibaren bulunan teğet  
 
Şekil 9.4. 
2
3
4
1
y
x
x
 

 fonksiyonunun integral eğrisi
 
doğrultuları  burada  sırasıyla  çizilmek  suretiyle  belirtilir  ve nihayet  bunlara  teğet  kalacak  ve 
belirli  noktalardan  geçecek  şekilde  çizilecek  uygun  bir  eğri, 
2
3
4 1
y
x
x

 
fonksiyonun 
integral eğrisini yaklaşık olacak verecektir, ( Şekil 9.5 ). 
 
Şekil 9. 5. 
3
2
2
y
x
x
x
 

  fonksiyonunun integral eğrisi
 
Gerçekten verilen fonksiyonu integre edersek 
   
 
 
3
2
2
y
x
x x
 

 
bulunur. Bu ise Şekil 9.5 te görülen eğrinin gösterdiği bütün özellikleri taşımaktadır. Burada 
integral sabiti, başlangıç şartı bakımından keyfi olarak sıfır alınmıştır.  
 
09.05. Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü 
'
( , )
y
f x y

diferansiyel  denklemini  göz  önüne  alalım.  Bunun,  grafik  yöntem  uygulanmak 
suretiyle bir çözümünü araştırmak istiyoruz.  

180 
 
Bir 
1
1
( , )
x y
 noktası için verilen diferansiyel denklemi hesaplayalım. y’ nün bu değeri 
1
1
( , )