DƏrs vəSAİTİ Азярбайъан Республикасы Тящсил Назирлийи Елми-Методик Шурасынын

2.2. Paralel proyeksiya vя onun яsas 
xassяlяri 
 
Fəzada  ixtiyari  bir 

  müstəvisi  (əlverişli 
olmaq 
üçün 
üfüqi 
vəziyyətdə)  və  onun 
xaricində bir M` nöqtəsi 
götürək  (şəkil  68)  M` 
nöqtəsindən  verilmiş  n 
istiqamətinə  paralel  düz 
xətt  çəkək  və  bunun 

 
müstəvisi  ilə  kəsişmə  nöqtəsini  M  ilə  işarə  edək.  M 
nöqtəsinə 
M` 
nöqtəsinin 
n 
istiqamətində 
proyeksiyası deyilir. 

 müstəvisinə proyeksiya müstə-
visi deyilir. M`M və ona paralel olan düz xətlərə pro-
yeksiyalayıcı  düz  xətlər  deyilir.  n  istiqamətində 

 
müstəvisinə  perpendikulyar  olduqda,  proyeksiyala-
yıcı düz xətlər də 

 müstəvisinə perpendikulyar olur; 
bu 
zaman 
nöqtənin 
düzbucaqlı 
(ortoqonal) 
proyeksiyası,  əks  halda  nöqtənin  çəpbucaqlı 
proyeksiyası  alınır.  N`  nöqtəsinin  proyeksiyasını  N 
ilə  göstərək.  Şəkildən  görünür  ki,  N`  nöqtəsi  M` 
Şəkil 68 

nöqtəsinə  nisbətən  bizdən  uzaqdadır  və  bu  iki 
nöqtədən 

  müstəvisinə  daha  yaxın  olanı  N` 
nöqtəsidir. 
Deməli,  nöqtələrin  proyeksiyaları  onların  nisbi 
vəziyyətlərini  (bir-birinə  və  proyeksiya  müstəvisinə 
nəzərən)  müəyyən  edir.  Ona  görə,  nöqtə  ancaq  o 
zaman  verilmiş  hesab  olunur  ki,  onun  proyeksiyası 
şəklində  göstərilmiş  olsun.  Verilmiş  nöqtənin  pro-
yeksiyasının  işarəsi  nöqtənin  işarəsi  yanında 
mötərizədə yazılır, məsələn M`(M); N`(N) və s.  
Proyeksiyalayıcı düz xəttə paralel olan müstəvi-
yə (məsələn, 

 müstəvisinə, şəkil 69) proyeksiyalayıcı 
müstəvi  deyilir.  Proyeksiyalayıcı  düz  xətdən  keçən 
müstəvi də proyeksiyalayacı müstəvi hesab olunur (

 
müstəvisi).  
Paralel proyeksiyalamanın bir neçə əsas xassəsi 
vardır  ki,  fəza  fiqurlarının  çertiyojlarını  qurduqda 
Şəkil 69 

biz  həmin  xassələrdən  istifadə  edirik;  bu  xassələr 
aşağıdakılardır: 
I xassə. Nöqtənin proyeksiyası nöqtədir. 
Bu  xassə  nöqtənin  proyeksiyasının  tərifindən 
çıxdığı üçün aydındır. 
Tərif.  Hər  hansı  fiqurun  bütün  nöqtələrinin 
proyeksiyalarının  həndəsi  yerinə  həmin  fiqurun 
proyeksiyası deyilir. 
II  xassə.  Proyeksiyalama  istiqamətinə  paralel 
olmayan düz xəttin proyeksiyası düz xətdir. 
İsbatı.A`(A)B`(B) 
düz 
xəttinin 

 
müstəvisi 
üzərindəki 
proyeksiyasının 
düz 
xətt  olduğunu  gös-
tərmək  üçün  A`A  || 
B`B  düz  xətlərindən 
(şəkil 70) 

 müstəvisini keçirək; onda A`B` düz xətti 

  müstəvisi  üzərində  olar  və  bu  müstəvi  proyeksiya 
müstəvisini  A  və  B  nöqtələrindən  keçən  AB`  düz 
xətti boyunca kəsər. 
İndi  A`B`  düz  xətti  üzərindəki  hər  hansı  C` 
nöqtəsinin  C proyeksiyasını  qurmaq  üçün C`C||A`A 
çəkək, onda C`C düz xətti 

 müstəvisi üzərində olar 
və 

  müstəvisini  AB  düz  xətti  üzərindəki  bir  C 
nöqtəsində  kəsər. Deməli, A`B` düz xətti  üzərindəki 
Şəkil 70 

hər  hansı  nöqtənin  proyeksiyası  AB  düz  xətti 
üzərindədir;  əksinə,  AB  üzərindəki  hər  bir  nöqtə 
A`B`  üzərindəki  bir  nöqtənin  proyeksiyasıdır. 
Deməli, A`B` düz xəttinin proyeksiyası AB düz xət-
tidir. 
Qeyd.  Proyeksiyalama  istiqamətindəki  düz 
xəttin proyeksiyası nöqtədir. 
III xassə. Paralel düz xətlərin proyeksiyaları da 
paraleldir.  
İsbatı. A`(A)B`(B) və 
C`(C)D(`(D) 
verilmiş 
paralel  düz  xətlər  olsun 
(şəkil  71),  bu  düz  xətlərin 
proyeksiya 
müstəvisi 
üzərindəki  proyeksiyala-
rının paralel olduğunu isbat etmək lazımdır. Bunun 
üçün  A`A||B`B  düz  xətlərindən 

  və  C`C||D`D  düz 
xətlərindən  isə 

  proyeksiyalayıcı  müstəvisini 
keçirək. 
Onda A`A||C`C və  A`B`||C`D` olduğundan, iki 
müstəvinin  paralellik  əlamətinə  görə 

|| 

  olar. 
Proyeksiya  müstəvisi  bu  iki 
paralel  müstəvini  AB  və  CD 
düz xətləri boyunca kəsdiyin-
dən, AB||CD olacaqdır. 
Şəkil 71 

IV xassə. Verilmiş  düz xətt  parçası  (A`B`, şəkil 
72)  üzərindəki  nöqtə  (C`)  verilmiş  parçanı  hansı 
nisbətlə  bölürsə,  bu  nöqtənin  proyeksiyası  (C), 
verilmiş  düz  xətt  parçasının  proyeksiyasını  (AB) 
həmin nisbətdə bölür. 
İsbatı.  A`B`  düz  xətti  ilə  AB  düz  xəttinin 
kəsişmə  nöqtəsini  O  ilə  işarə  edək.  İndi  B`OB 
bucağının  tərəflərini  A`A||C`C||B`B  düz  xətləri 
kəsdiyindən,  bu  tərəflərin  üzərində  mütənasib 
parçalar alınır, yəni, A`C`:C`B`=AC:CB olur. 
V  xassə.  İki 
paralel  düz  xətt 
parçasının  (A`B`  və 
C`D`, 
şəkil 
73) 
nisbəti, 
onların 
proyeksiyalarının 
(AB və CD) nisbətinə bərabərdir. 
İsbat.  B`B||D`D  düz  xətlərindən 

  müstəvisini 
və CC`-dən 

 müstəvisinə paralel olan 

 müstəvisini 
keçirək;  onda 

  müstəvisi  AA`B`  müstəvisini 
C
0
`C
0
||C`C düz xətti boyunca kəsər (çünki CC`||AA` 
olduğundan  CC`||AA`B`-dir)  yəni  A`A||C
0
`C
0
||B`B 
olar, o biri tərəfdən C`B`-C`D` və C
0
B=CD alınar (

 
və 

  paralel  müstəviləri  arasında  qalan  paralel  düz 
xətt parçaları olduğundan) IV xassəyə görə 
Şəkil 72 
Şəkil 73 

B
C
AC
B
C
C
A
0
0
0
0
`



 və ya 
B
C
AB
B
C
B
A
0
0
`
`



 
olduğundan götürsək, 
CD
AB
D
C
B
A





 alarıq. 
Paralel  proyeksiyalamanın  əsas  xassələrini 
göstərdik,  indi  bu  proyeksiyalamanın  əsas  teoremi 
olan Polke-Şvars teoremini nəzərdən keçirək. 
Polke-Şvars  teoremi.  Müstəvi  üzərindəki  hər 
hansı  dördbucaqlıya  (diaqonalları  ilə  birlikdə) 
qabaqcadan  verilmiş  ixtiyari  formada  olan  tetraedrin 
paralel proyeksiyası kimi baxmaq olar. 
 
2.3. Tam vя metrik mцяyyяn чertyojlar 
 
İki həndəsi obrazın hər birinə aid olub, bunlarla 
tamamilə  müəyyən  olan  obraza  həmin  iki  obrazın 
insidensiyası deyilir.  
Məsələn,  bir-birinə  paralel  olmayan  düz  xətlə 
müstəvinin  insidensiyası  onların  kəsişmə  nöqtəsidir. 
Bir düz xətlə onun xaricindəki nöqtənin insidensiyası 
onlardan keçən müstəvidir və h.b. 
Müstəvi üzərinə proyeksiyalanan fiqura orijinal 
deyilir.  
Orjinal  elementlərinin  hər  bir  insidensiyası 
orijinalın  proyeksiyasında  (çertyojunda)  qurulmuş 
olarsa  (və  ya  qurula  bilərsə),  belə  çertyoja  tam 
çertyoj  deyilir.  Tam  çertyojda  orijinaldakı  hər  bir 

nöqtənin  proyeksiyası  göstərilmiş  olur  (və  ya  göstə-
rilə  bilər).  Orijinal  elementlərinin  hər  bir 
insidensiyası 
tam 
çertyojda 
göstərilmiş 
insidensiyalarla tamamilə məyyəm olunduğuna görə, 
belə çertyojda heç bir insidensiyanı ixtiyari götürmək 
olmaz. 
İxtiyari  prizma  çertyojunun  tam  çertyoj 
olduğunu  isbat  etmək  mümkündür.  Orijinalın 
çertyojunda göstərilmiş insidensiyalar, göstərilməmiş 
insidensiyaları  qurmaq  üçün  kifayət  olmazsa,  belə 
çertyoja natamam çertyoj deyilir. Natamam çertyoju 
tam  çertyoja  çevirmək  olar:  bunun  üçün  əlavə 
insidensiyalar 
(bunlara 
parametrlər 
deyilir) 
verilməlidir.  Natamam  çertyojun  tam  çertyoja  çev-
rilməsi  üçün  verilməsi  zəruri  olan  parametrlərin  sa-
yına natamamlıq əmsalı deyilir.  
Aydındır  ki,  hər  hansı  müstəvi  fiqur 
elementlərinin  hər  bir  insidensiyası  bu  fiqurun 
çertyojunda  da  qurula  bilər:  ona  görə  də  müstəvi 
fiqurların çertyojları tamdır. 
Fəza fiqurlarına, məcələn, coxüzlülərə gəldikdə, 
bunlardan bəzilərinin  çertyoju  tam, bəzilərininki isə 
natamamdır. 
İsbat 
edilmişdir 
ki
1
, 
bütün 
təpələrindəki  çoxüzlü  bucaqları  üçüzlü  bucaq  olan 
                                                 
1
  Четверухин  Н.Ф.  "Чертежи  пространственных  фигур  в  курсе 
геометрии". М., Учпедгиз, 1958. с.85 

coxüzlülərin  çertyoju  tamdır
2
.  Deməli,  bütün 
prizmaların,  tetraedrin  və  düzgün  onikiüzlünün 
(dodekaedr) çertyojları tamdır. 
Uzləri  ancaq  üçbucaqlardan  ibarət  olan 
çoxüzlülərin  çertyojları  ümumiyyətlə,  natamamdır; 
deməli,  düzgün  səkkizüzlünün  (oktaedr)  və  düzgün 
iyirmiüzlünün  (ikosaedr)  çertyoju  natamamdır. 
Burada  tetraedr  müstəsnalıq  təşkil  edir,  yəni  onun 
bütün üzləri üçbucaq olduğu halda çertyoju tamdır. 
Yuvarlaq cisimlərdən: silindr, konus və kürənin 
çertyoju həmişə tamdır. 
Tam  çertyoj,  verilən  insidensiyalara  görə  yeni 
insidensiyaların  qurulmasını  tələb  edən  məsələlərin 
həllinə imkan verir. 
Verilən 
insidensiyalara 
görə 
yeni 
insidensiyaların  qurulmasını  tələb  edən  məsələlərə 
mövqe məsələləri deyilir.     
Belə  məsələlərin  həlli  verilənlərin  fəzadakı 
vəziyyətindən asılı olur. Misal üçün, verilmiş həndəsi 
cismin,  verilmiş  üş  nöqtədən  keçən  müstəvi  ilə 
kəsiyinin qurulması məsələsi mövqe məsələsidir. 
Qeyd  etmək  lazımdır  ki,  tam  çertyoj  orijinalın 
metrik  xassələrini  təyin  etmir.  Belə  çertyoj  üzərində 
metrik  məsələləri  həll  etmək  olmaz.  Tam  çertyoj 
                                                 
2
  Bu  şərt  kafidir,  lakin  zəruri  deyildir;  məsələn,  ixtiyari  piramida  çertyojunun 
tam çertyoj olduğu göstərilmişdir.  

üzərində  metrik  məsələləri  həll  edə  bilmək  üçün  bu 
çertyoj üzərinə orijinalın ödədiyi əlavə şərtlər qoyul-
malıdır.  Bu  halda  alınan  çertyoj  metrik  müəyyən 
çertyoj  adlanır.  Misal  üçün,  çertyojdakı  hər  hansı 
paraleloqram  həm  ixtiyari  paraleloqramın,  həm  də 
düzbucaqlı  və  ya  kvadratın  proyeksiyasını  göstərə 
bilər.  Lakin  bu  paraleloqramın  üzərinə  onun 
kvadratı  göstərməsi  şərti  qoyulsa,  onda  həmin 
çertyoj metrik müəyyən olar. Həmçinin, çertyojdakı 
üçbucaqlı  piramidanın  üzərinə  onun  düzgün  tetra-
edri göstərməsi şərti qoyulsa, onda həmin çertyoj da 
metrik müəyyən olar. 
Orijinalın  formasını  müəyyən  edən  çertyoja 
metrik müəyyən çertyoj deyilir. Aydındır ki, orijinala 
oxşar  olan  fiquru  metrik  müəyyən  çertyoja  əsasən 
qurmaq olar. metrik müəyyən çertyoj orijinalın tam 
çertyoju  üzərinə  əlavə  şərtlərin  qoyulmasından alın-
dığı üçün ona şərti çertyoj da deyilir. 
Aşağıda 
metrik 
məsələlərə 
nümunələr 
göstərilmişdir. 
Məsələ  1.  ABCDA`B`C`D`  kubunun  BB`C`C 
üzü  üzərində  götürülmüş  M  nöqtəsindən  kubun 
AA`C`C 
diaqonal 
kəsiyinə 
endirilmiş 
perpendikulyarı qurun.  
Məsələ  2.  Yan  tili  oturacağının  tərəfindən  üç 
dəfə  böyük  olan  düzgün  üçbucaqlı  piramidada 

oturacağın 
tərəfindən 
qarşıdakı 
yan 
tilə 
perpendikulyar olaraq keçən kəsiyi qurun. 
Məsələ  3.  Düzgün  dördbucaqlı  prizmanın 
hündürlüyü  oturcağının  tərəfinin 
4
3
-nə  bərabərdir. 
Oturacağın  təpəsindən,  bu  təpədən  keçməyən 
diaqonallardan  birinə  perpendikulyar  olaraq  keçən 
kəsiyi qurun. 
 
2.4. Fяzada mцstяvi fiqurlarыn чertyojlarыnыn  
qurulmasы 
 
Stereometriyada  məsələ  həllində  və  nəzəri 
materialın 
izahında 
üçbucaq, 
paraleloqram, 
düzbucaqlı, 
pomb, 
trapesiya 
və 
düzgün 
çoxbucaqlıların  çertyojlarını  qurmaq  lazım  gəlir. 
Aşağıda  bu  fiqurların  çertyojlarının  qurulması 
göstərilmişdir. 
1.
 
Paraleloqramın  və  rombun  çertyoju.  Paralel 
proyeksiyalamanın  III  və  V  xassəsinə  əsasən 
müstəvi 
üzərində 
çəkilmiş 
ixtiyari 
bir 
paraleloqram,  ixtiyari  bir  paraleloqramın  və  ya 
rombun çertyoju olaraq qəbul oluna bilər. 
2.
 
Düzbucaqlının  və  kvadratın  çertyoju.  Paralel 
proyeksiyalamanın  III,  V  xassəsinə  və  Polke 
teoreminə  əsasən  müstəvi  üzərində  çəkilmiş 

ixtiyari  bir  paraleloqram  ixtiyari  bir  düzbucaq-
lının və ya kvadratın çertyoju olaraq qəbul oluna 
bilər. 
Buradan  görünür  ki,  hər  bir  paralelepipeddə 
kvadrat şəklində kəsik keçirmək mümkündür. 
3.
 
Üçbucağın  çertyoju.  Paraleloqramın  diaqonalı 
onu  iki  üçbucağa,  pombun  diaqonalı  onu  iki 
bərabəryanlı  (xüsusi  halda  düzgün)  üçbucağa  və 
düzbucaqlının  diaqonalı  onu  iki  düzbucaqlı  üç-
bucağa ayırır. 
Buradan  və  1-ci,  2-ci  maddələrdən  görünür  ki, 
müstəvi  üzərində  çəkilmiş  ixtiyari  bir  üçbucaq, 
ixtiyari bir üçbucağın çertyoju ola bilər. 
Buradan  habelə  görünür  ki,  hər  bir  üçbucaqlı 
prizmada  düzgün  üçbucaq  şəklində  kəsik  keçirmək 
mümkündür. 
4.
 
Trapesiyanın çertyoju. Paralel proyeksiyalamanın 
üçüncü xassəsinə əsasən müstəvi üzərində çəkilmiş 
ixtiyari  trapesiya  ixtiyari  bir  trapesiyanın 
çertyoju ola bilər. 
5.
 
Müstəvinin  çertyoju.  Stereometriyada  bir  adət 
olaraq müstəvi paraleloqram şəklində çəkilir, lakin 
düzbucaqlı şəklində təsəvvür olunur; buna görə də 
iki  qarşılıqlı  perpendikulyar  düz  xətti  (qarşılıqlı 
qoşma  düz  xətləri)  çəkərkən  onları  uyğun  olaraq 

paraleloqramın qonşu tərəflərinə paralel götürmək 
tövsiyə olunur. 
Metrik  müəyyən  çertyoj  nöqteyi-nəzərindən 
müstəvinin 
paraleloqram 
şəklində 
çəkilib, 
düzbucaqlı  şəklində  təsəvvür  olunması  ilə  onun 
üzərinə  bir  şərt  (bucaqların  düz  bucağı  göstərməsi 
şərti)  qoyulmuş  olur,  yəni  bir  parametr  sərf  olunur 
və  müstəvinin  metrik  müəyyən  olunması  üçün  sərf 
olunmalı bircə sərbəst parametr qalır; bu isə müstəvi 
üzərində  çertyojların  qurulmasındakı  sərbəstliyi 
(ixtiyariliyi) aradan qaldırmış olur. 
Deyilənləri nəzərə alaraq müstəvinin çertyojunu 
aşağıdakı kimi çəkirlər (şəkil 74 a, b) 
 
 
 
 
 
 
 
Qeyd. 
1-5-ci 
maddələrdə 
uyğun 
fiqurların 
çertyojlarının  doğru  olması  şərtindən  danışılır. 
Lakin  başlanğıcda  deyildiyi  kimi  həmin 
çertyojların  qurulmasında  əyanilik  tələbinin  də 
nəzərdə tutulması zəruridir. 
 

6.
 
Düzgün  beşbucaqlının  çertyoju.  Şəkil  75-də 
düzgün  beşbucaqlı  (a)  və  onun  çertyoju  (b) 
çəkilmişdir. 
A`C`||E`D`. 
E`B`||D`C` 
və 
E`D`=D`C` olduğundan E`F`C`D` dördbucaqlısı 
romdur.  Bunun  çertyoju  olaraq  ixtiyari  DEFC 
paraleloqramını 
(şəkil 
75 
b) 
çəksək, 
beşbucaqlının üç təpəsinin (E`, D` və C`) proyek-
siyası  alınmış  olar;  deməli,  A`  və  B`  təpələrinin 
proyeksiyasını çəkmək qalır. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E`A`B`C` 
bərabəryanlı 
trapesiyasını 
diaqonalların  hasili,  qarşı  tərəflərin  hasilləri  cəminə 
bərabər  olduğundan
3
,  E`B`=A`C`=E`C`=d  və 
E`A`=A`B`=B`C`=a ilə işarə etsək d
2
=a
2
+ad alarıq. 
Buradan: 


5
1
2
1


a
d
 
                                                 
3
 
Ptolomey teoreminə görə
 
Şəkil 75 

və 
 

 

2
:
5
1
:
5
1
2
1
`
`
`:
`




a
a
F
E
B
E
 
olar,  yəni  EF=1  olsa 
5
1


EB
  olar  (şəkil  75,b-də 
FN

EF-dir). Deməli, 
5
1


EM
 quraraq, pərgarla 
EB=EM  ayıraraq,  B`  təpəsinin  proyeksiyası  olan  B 
nöqtəsini  alarıq.  Nəhayət,  BA||EC  düz  xətti  ilə  CF 
düz xətlərinin kəsişməsindən A təpəsini alarıq. 
Beləliklə, ABCDE fiquru düzgün beşbucaqlının 
çertyoju olur. 
7.  Düzgün  altıbucaqlının  çertyoju.  Düzgün 
A`B`C`D`E`F` 
altıbucaqlısının 
(şəkil 
76 
a) 
çertyojunu çəkmək üçün düzgün B`D`F` üçbucağının 
çertyojundan  istifadə  etmək  olar;  bunun  üçün 
ixtiyari  BDF  üçbucağını  və  onun  BM,  D  və  FN 
medianlarını çəkirik (şəkil 76 b). 
  
  
 
 
  
 
 
 
 
 
Şəkil 76 

ME=MO,  PA=PO  və  NC=NO  ayırmaqla 
(orijinalda  M`E`=M`O`  və  s-dir)  E`,  A`  və  C` 
təpələrinin 
proyeksiyalarını 
qurmuş 
olarıq. 
ABCDEF düzgün altıbucaqlının çertyoju olar. 
8. 
Çevrənin 
çertyoju. 
Çevrənin 
paralel 
proyeksiyalanmasından  alınan  əyriyə  ellips  deyilir. 
Çevrə  elementlərinin  və  paralel  proyeksiyalamanın 
xassələrinə  əsasən  ellipsin  bəzi  xassələrini  müəyyən 
etmək  olar.  Çevrə  müstəvisini,  onunla  proyeksiya 
müstəvisinin  kəsişmə  xətti  ətrafında  döndərməklə 
(bu halda proyeksiya müstəvisini və proyeksiyalama 
istiqamətini  sabiq  saxlayırıq)  çevrənin  proyeksiyası 
olan  ellipsin  formasını  dəyişmək  olar.  Xüsusi  halda 
həmin ellips çevrəyə və ya düz xətt parçasına çevrilə 
bilər.  Çevrənin  proyeksiyası  olan  ellipsi  qurmaq 
üçün  müxtəlif  üsullar  vardır.  Bu  üsulların  ikisini 
göstərək. 
1)  Şəkil  77  a-da  O`  çevrəsinin  çertyojunu 
qurmaq  üçün  onun  xaricinə  A`B`C`D`  kvadratını 
çəkək və toxunma nöqtələrini E`, F`, M`, N` ilə işarə 
edək. 
F`C` parçasının P` orta nöqtəsini M` nöqtəsi ilə 
və  E`  nöqtəsini  C`  nöqtəsi  ilə  birləşdirək.  M`P`  və 
E`C`  düz  xətlərinin  kəsişmə  nöqtəsini  Q`  ilə  işarə 
edək. 

C`M`E`  və 

P`C`M`-də 

M`=

C`=90
0
  və 
P`C`:C`M`=C`M`:M`E`=1:2 
olduğundan 
onlar 

oxşardır,  ona  görə 

C`M`P`=

C`E`M`-dir.  Lakin 

C`M`P`+ 

P`M`E`=90
0
; 
deməli 

C`E`M`+

P`M`E`=90
0
-dir. 
Buradan  görünür  ki, 

M`Q`E`  düzbucaqlı 
üçbucaqdır, 
yəni 
Q` 
nöqtəsi 
O` 
çevrəsi 
üzərindədir.Bu  xassədən  istifadə  edərək  O`  çev-
rəsinin proyeksiyası olan ellipsi qurmaq olar. Bunun 
üçün  əvvəlcə  A`B`C`D`  kvadratının  çertyoju  olaraq 
ixtiyati  ABCD  paraleloqramını  çəkək  (şəkil  77  b). 
Bu  paraleloqramın  tərəflərinin  E,  F,  M,  N  orta 
nöqtələri  uyğun  olaraq  E`,  F`,  M`,  N`  nöqtələrinin 
proyeksiyaları 
olduğundan 
(paralel 
proyeksiyalamanın IV xassəsinə görə), O` çevrəsinin 
proyeksiyası  olan  ellips  üzərində  olacaqdır.  İndi  Q` 
nöqtəsinin  proyeksiyasını  quraq;  bunun  üçün 
aydındır  ki,  EC  düz  xətti  ilə  MP  düz  xəttinin  (P 
Şəkil 77 

nöqtəsi FC parçasının ortasıdır) Q kəsişmə nöqtəsini 
qurmaq  kifayətdir.  Q  nöqtəsi  ellips  üzərində 
olacaqdır. 
Həmin qayda ilə ellipsin daha 7 nöqtəsini qura 
bilərik  və  nəticədə  ellipsin  12  nöqtəsini  qurmuş 
olarıq. 
Qurulmuş 
nöqtələri 
səlis 
əyri 
ilə 
birləşdirdikdə  O`  çevrəsinin  proyeksiyası  olan  ellips 
alınır. 
2)  İki  qoşma  diametrinə  görə  ellipsi  qurmaq 
üçün  yenə  də  O`  çevrəsinin  xaricinə  A`B`C`D` 
kvadratını  çəkək  (şəkil  78  a);  E`,  F`,  M`  və  N` 
nöqtələri  həmin  kvadratın  tərəfləri  ilə  çevrənin 
toxunma  nöqtələri  olsun.  B`F`  və  F`O`  parçalarını 
eyni  sayda  bərabər  hissələrə  ayıraq  və  bölgü 
nöqtələrini  uyğun  olaraq 
...
3
,
2
,
1
1
1
1



  və 
,...
3
,
2
,
1



  ilə 
işarə  edək.  İndi  E`  nöqtəsini  B`F`  parçasının  bölgü 
nöqtələrindən  biri,  məsələn  3
1
`  ilə  birləşdirək  və  M` 
nöqtəsini  F`O`  parçasının  3`  nöqtəsi  ilə  birləşdirib 
E`3`  düz  xəttini  kəsənə  kimi  uzadaq;  bu  iki  düz 
xəttin kəsişmə nöqtəsini M
3
 ilə işarə edək. Bu halda 
M
3
` nöqtəsi O` çevrəsi üzərində olacaqdır. Doğrudan 
da  E`B`3
1
`  və  M`O`3`  düzbucaqlı  üçbucaqları 
bərabər 
olduğundan 
(iki 
katetə 
görə), 

B`3
1
`E`=

O`3`M`  olar.  Lakin  bu  bucaqlardan 
birincinin  B`3
1
`  tərəfi  ikincinin  O`3`  tərəfinə 
perpendikulyardır,  deməli,  bu  bucaqların  o  bir 

tərəfləri 
də 
perpendikulyar 
olmalıdır, 
yəni 
E`3
1
`

M`3`-dir. 
Buradan 
görünür 
ki, 

M`M
3
`E`=90
0
-dir,  yəni  M
3
`nöqtəsi  O`  çevrəsinin 
üzərindədir. 
Göstərilən  xassədən  istifadə  edərək  qoşma 
diametrinə görə ellipsi qurmaq olar. 
Tutaq ki, qurulacaq ellipsin EM və  FN qoşma 
diametrləri  verilmişdir  (şəkil  78  b).  EM  və  FN 
parçalarını  orta  xətt  hesab  edərək,  ABCD 
paraleloqramını quraq (bu paraleloqramı A`B`C`D` 
kvadratının çertyoju hesab etmək olar). Sonra BF və 
FO  parçalarını  eyni  sayda  bərabər  hissələrə  ayıraq 
və bölgü nöqtələrini uyğun olaraq 1
1
, 2
1
, 3
1
 ... və 1, 2, 
3... ilə işarə edək. 
F
B
B
BF
B





1
1
3
3
  və 
F
O
O
OF
O





3
3
  olduğundan  E3
1
  və 
M3  düz  xətləri  uyğun  olaraq  E`3
1
`  və  M`3`  düz 
Şəkil 78 

xətlərinin  proyeksiyası  və  onların  M
3
  kəsişmə 
nöqtəsi  də  M
3
`  nöqtəsinin  proyeksiyası  olacaqdır. 
Lakin M
3
` nöqtəsi O` çevrəsi üzərindədir, deməli M
3
 
nöqtəsi  də  O`  çevrəsinin  proyeksiyası  olan  ellips 
üzərindədir.  Həmin  üsulla,  göstərilən  ellipsin 
istənilən sayda nöqtəsini (bizim şəkildə E, F, M və N 
nöqtələrindən başqa 12 nöqtəni) qurmaq olar. Yenə 
də  qurulmuş  nöqtələri  səlis  əyri  ilə  birləşdirdikdə 
çevrənin proyeksiyası olan ellips alınar. 
Qeyd.  Ellipsin  çəkilməsini  sürətləndirmək  üçün 
qalın  kartondan  kəsilmiş  ellips  modellərindən  istifadə 
etmək  olar
4
.  Bəziləri  bərabər,  bəziləri  oxşar  olan  bir 
neçə  ellips  modeli  hazırlamaqla  yuvarlaq  cisimlərin 
çertyojlarının qurulmasını xeyli asanlaşdırmaq olar.