Chegirmalarning to`la sistemasi

T e o r e m a. (chiziqli forma haqida) Agar (a,m) = 1 va b ixtiyoriy butun son 
bo`lib, x  o`zgaruvchi m modul bo`yicha chegirmalarning to`la sistemasini tashkil 
etsa, u xolda ax + b forma ham m modul bo`yicha chegirmalarning to`la 
sistemasini tashkil etadi. 
I s b o t. Haqiqatan, hosil bo`lgan sonlar sistemasi: 
1) m ta sondan iborat, chunki x ning o`rniga m ta har xil qiymat (m modul 
bo`yicha chegirmalarning to`la sistemasi) qo`yiladi. 
2) Hosil bo`lgan sonlar m modul bo`yicha har xil sinfga tegishlidir. 
Teskarisini faraz qilaylik, yani ular har xil sinfga tegishli bo`lmasin. Boshqacha 
aytganda, x ning ikkita har xil x
1
va x
2 
qiymatlarida ax
1
+ b, ax
2
+ b lar m  
modul bo`yicha taqqoslanuvchi yani, yani ax
1
+ b ≡ax
2
+b(mod m) bo`lsin.U 
holda ax
1
≡ax
2
(mod m) taqqoslamaga ega bo`lamiz. Ammo (a;m)=1 bo`lgani uchun 
bu taqqoslamaning har ikkala qismini a ga qisqartirib x
1
≡x
2
(mod m) taqqoslamani 
hosil qilamiz. Lekin bunday bo`lishi mumkin emas, chunkiteorema shartiga asosan
x o`zgaruvchi m modul bo`yicha chegirmalarning to`la sistemasini tashkil etar edi, 
yani  

---

x
1
≡ x
2 
(mod m). Demak, farazimiz noto`g`rib o`lib, ax +b forma m modul 
bo`yicha har xil sinflarning elementlaridan iborat ekan.
Endi (1) chegirmalar sinflari to`plamini Z/m orqali belgilaylik. Z/m tyo`plamdaq 
qo`shish va ko`paytirish amalllarini quyidagicha aniqlaymiz: 
C
i
 + C
j
 = C
r
 C
i
 - C
j
 =C
t
. (2) 
Agar (2) da i+jbo`lsa r=i+j, agar i+j≥m bo`lsa, r=i+j-m, agar i-j≥0 bo`lsa, 
t=i-j’ agar i-j<0 bo`lsa, t=m+i-j bo`ladi.  
Taqqoslamalar xossalari va (2) tengliklarga ko`ra ixtiyoriy C
i 
va C
j
sinflar 
uchun ularning yig`indisi C
r
  va ayirmasi C
t  
sinflar mavjud. 
Butun sonlarni qo`shish amali komutativ assotsativ bo`lgani uchun 
chegirmalar sinflarini qo`shish amali ham komutativ va assatsativ bo`ladi. C
0
chegirmalar sinfi qo`shish amaliga nisbatan neytral element bo`ladi, yani
C
i
 + C
0
 = C
t
 tenglik o`rinli.  
-C
i
sinf C
i
sinfga qarama- qarshi sinf bo`ladi, yani C
i
 +(-C
i
) = C
0 
tenglik o`rinli. 
Bu mulohazalardan quyidagi teoremaning o`rinli ekani kelib chiqadi.