Chegirmalarning to`la sistemasi

T e o r e m a. m, +,-, > -algebra gruppa bo`ladi.
4-Ta’rif. m, +,-, > gruppa m modul bo`yicha chegirmalar sinflarining 
additiv gruppasi  deyiladi. 
(1) dagi chegirmalar sinflarini ko`paytirish amali. C
i
 · C
j
 = C
l
(3) 
ko`rinishda aniqlanadi, bunda  i · j < m bo`lsa, i · j = l, i · j ≥ m bo`lsa, i · j =mq + 
l, yani  l = i ·j – mq  bo`ladi. 
Taqqoslamar xossalari va (3) tenglikga asosan, ixtiyoriy C
i
  va C
j
sinflarga 
bir qiymatli C
l
sinfi mos qo`yiladi. 

---

Chegirmalar sinflarini qo`shish va ko`paytirish amallari shu chegirmalar 
sinflaridagi sonlar ustida mos amallarni bajarish kabi bo`ladi. Chegirmalar sinflari 
ustida qo`shish va ko`paytirishning kommutativlik, assotsiativlik va qoi`shishga 
nisbatan ko`paytirishning distributivlik xossalari o`rinli. 
𝐶
1
̅̅̅ sinf ko`paytirish amaliga nisbatan neytral element bo`ladi, yani 𝐶
1
̅̅̅ ∙ 𝐶
1
̅̅̅ = 𝐶
1
̅̅̅ 
 
tenglik o`rinli. Bu mulohazalardan quyidagi teoremaning o`rinli ekani kelib 
chiqadi: 
3 - t e o r e m a.  < Z/m, +,-, ·, 1 > -algebra kommutativ halqa bo`ladi. 
 5-Ta’rif. < Z/m, +,-, ·, 1 > halqa m modul bo`yicha chegirmalar sinflarining 
halqasi deyiladi.
M i s o l. Z/4 to`plam halqa to`plam tashkil etishini ko`rsating. Z/4 to`plamda 
ko`paytirish amali quyidagicha bo`ladi:
𝐶
3
̅̅̅ ∙ 𝐶
2
̅̅̅ = 𝐶
2
̅̅̅
 
, 
𝐶
1
̅̅̅ ∙ 𝐶
3
̅̅̅ = 𝐶
3
̅̅̅, 𝐶
3
̅̅̅ ∙ 𝐶
3
̅̅̅ = 𝐶
1
̅̅̅
 
, . . . 
Ko`paytirish 
amali 
kommutativ 
va 
assotsiativ 
(tekshirib 
ko`ring). 
Distributivlik xossasi bajariladi. Xaqiqatan (C
2
 + C
3
) · C
2 
= C
1
 · C
2
 = C
2
, C
2
 · C
2
 
= C
0 
, 
 
C
3
 · C
2
 = C
2
C
2 
·C
2
 + C
3
 · C
2 
= C
2
  bo`lgani uchun (C
2
 + C
3
)·C
2
= C
2 
·C
2
+ C
3
· C
2 
bo`ladi. Z/4to`plamda ayirish amali bajariladi. Demak, Z/4 
to`plam halqa ekan. 
Chegirmalarning keltirilgan sistemasi 
Taqqoslamalarning 11-xossasiga asosan m modul bo`yicha o`zaro 
taqqoslanuvchi sonlar m mo`dul bilan bir xil eng katta umumiy bo`luvchiga ega 
edi. m modul bo`yicha taqqoslanuvchi sonlar bitta sinfning elementlaridan 
iboratligini biz yuqorida ko`rsatgan edik. Demak, sinfning bitta chegirmasi modul 
bilan o`zaro tub bo`lsa, sinfning barcha elementlari ham m bilan o`zaro tub 
bo`ladi. Shuning uchun m modul bilan o`zaro tub bo`lgan chegirmalar sinfi 
to`g`risida gapirish mumkin. Bu sinflar to`plami sonlar nazariyasida muhim ro`l 
o`ynaydi.

---

Ta’rif. m modul bilan o`zaro tub bo`lgan barcha chegirmalar sinflaridan 
bittadan element olib tuzilgan to`plam chegirmalarning m modul bo`yicha 
keltirilgan sistemasi deyiladi.
Chegirmalarning keltirilgan sistemasi shu chegirmalarning to`la sistemasidan 
hamtuzish mumkin. Buning uchun to`la sistemada modul bilan o`zaro tub bo`lgan 
chegirmalarni ajratib olish kifoya.
Masalan, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} to`plam, 10 modul bo`yicha 
chegirmalarning to`la sistemasi bo`lgani holda 1, 3, 7, 9 esa 10 mo`dul bo`yicha 
chegirmalarning keltirilgan sistemasidir. Huddi shunday 1, 3, -3, -1 ham 10 modul 
bo`yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi bo`ladi. Chegirmalarning keltirilgan 
sistemasidagi elemantlar sonini aniqlash uchun Эyler funksiyasi deb ataluvchi 
quyidagi ϕ(m) funksiyadan foydalaniladi:
Ta’rif. Agar quyidagi ikkita shart bajarilsa, ϕ(m) sonly funksiya Эyler 
funksiyasi deyiladi: 1. ϕ(1) = 1; 
2. ϕ(m) funksiya m dan kichik va m bilan o`zaro tub 
bo`lgan sonlar soni. Berilgan sonlar sistemasi m  modul bo`yicha chegirmalarning 
keltirilgan sistemasi bo`lishi uchun quyidagi uchta shart bajarilishi kerak: 
1. Sonlar sistemasining elementlari ϕ(m) ta bo`lishi kerak. 
2. Sonlar sistemasidagi ixtiyoriy ikkita son m modul bo`yicha har xil sinf 
elementlari bo`lishi kerak. 
3. Sonlar sistemasidagi ixtiyoriy son m modul bilan o`zaro tub bo`lishi kerak.