Jeżeli zdarzenia wykluczają się parami i mają prawdopodobieństwa dodatnie, to dla każdego zdarzenia zawartego w sumie zdarzeń :
Powyższy wzór nazywamy wzorem Bayesa. Twierdzenie Bayesa stosujemy głównie wtedy, gdy znamy wynik doświadczenia i pytamy o jego przebieg.
Dowód
skoro
A
to
więc
Zadania
Żarówki pewnej marki są produkowane w dwu fabrykach X i Y. Żarówki z fabryki X działają dłużej niż 5000 godzin w 99% procentach przypadków, żarówki z fabryki Y tylko w 95% przypadków. Fabryka X dostarcza na rynek 60% żarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?
odp.:
Przez pewną miejscowość przejeżdża 4 razy więcej samochodów osobowych niż ciężarowych. Wiadomo, że jeden na 75 samochodów osobowych i jeden na 25 samochodów ciężarowych tankuje paliwo w tej miejscowości. Oblicz prawdopodobieństwo ze przejeżdżający samochód zatankuje paliwo.
odp.:
W pierwszej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej są 4 czarne i 1 biała. Rzucamy kostką. Jeżeli wypadną mniej niż 3 oczka, to losujemy kulę z pierwszej urny, w przeciwnym wypadku losujemy kulę z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?
odp.:
Stacja meteorologiczna zbiera informacje dotyczące szansy wystąpienia dnia deszczowego. Wedle uzyskanych danych, jeśli danego dnia pada, to szansa, że następny dzień także będzie deszczowy wynosi 50%, jeśli zaś dany dzień jest słoneczny, to kolejny dzień jest deszczowy w 30% przypadków. Synoptycy przepowiadają, na 80%, najbliższy poniedziałek jako dzień deszczowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że środa będzie deszczowa?
Odp.:
Pewna firma wiedząc, że 0,5% z jej pracowników to narkomani, postanowiła przeprowadzić test anty-narkotykowy. Jakie jest prawdopodobieństwo prawidłowego wykrycia narkomana, jeżeli wiadomo, że test ma 99% skuteczności (w 1% przypadków test wypada pozytywnie u osoby nie zażywającej, a negatywnie u narkomana)?
W urnach o numerach 1-9 znajdują się 4 kule białe i 6 czarnych, natomiast w urnie nr 10 jest 10 kul białych i 10 czarnych. Z losowo wybranej urny wylosowano 2 kule i okazały się białe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostały wylosowane z 10 urny.
ODP.:
- wylosowanie 2 kul białych
- wybranie jednej z urn 1-9
- wybranie urny 10
W zbiorze 100 monet jedna ma po obu stronach orły, a pozostałe są prawidłowe. Rzucono 10-krotnie jedną losowo wybraną monetą i otrzymano 10 orłów. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że była to moneta z dwoma orłami.
Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na 1000, daje tak zwaną fałszywą pozytywną odpowiedź u 5% zdrowych (u chorego zawsze daje odpowiedź pozytywną). Jaka jest szansa, że osoba, u której test dał odpowiedź pozytywną, jest faktycznie chora?
5 mężczyzn na 100 oraz 25 na 1000 kobiet jest daltonistami. Losowo wybrano osobę i okazało się, że nie odróżnia ona kolorów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mężczyzna? (ilość kobiet i mężczyzn jest równa)
odp.:
Pewne urządzenia są sprowadzane od 3 dostawców: A, B, C w ilościach odpowiednio: 50%, 20%, 30%. Wadliwość urządzeń: A – 1%, B – 2%, C – 3%. Wybrane urządzenie jest wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ono od dostawcy A?
odp.:
Prawdopodobieństwo wybuchu gazu w kopalni wynosi 0,025. W kopalni jest zainstalowany system alarmowy, który w sytuacji zagrożenia zawodzi w 12% przypadków. Fałszywy alarm zdarza się w 15% przypadków. Załóżmy, że włącza się alarm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest on fałszywy?
odp.:
W okręgu wyborczym badanie preferencji politycznych wybranych wyborców ujawniło, że 70% popiera kandydata A, zaś 30% kandydata B. Jednakże badanie to, jednocześnie wykazało, że wśród tych, którzy popierają kandydata A, 32% pójdzie głosować, a wśród tych popierających kandydata B, 90%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana osoba oddająca głos, odda go na kandydata A?
odp.:
Wiedząc, że ułamek populacji to kobiety, wśród których ułamek stanowią daltonistki oraz wiedząc, że ułamek całej populacji cierpi na daltonizm, oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród losowego daltonisty, wylosujemy kobietę.
odp.:
Wśród wszystkich ciąż, jedna na 300 prowadzi do bliźniąt monozygotycznych (jednojajowe), kiedy to dzieci są tej samej płci i są podobne do siebie, jak dwie krople wody, natomiast z jednej ciąży na 125 rodzą się bliźnięta dizygotyczne (dwujajowe), które mogą być różnej płci i niczym się nie różnią od dzieci urodzonych w dwóch kolejnych ciążach. Elvis Presley miał brata bliźniaka, który zmarł podczas porodu. Wyznacz prawdopodobieństwo, że Presley był bliźniakiem monozygotycznym
odp.:
(Paradoks Monty Hall’a) Gracz popularnego teleturnieju stoi przed wyborem jednej z trzech bramek. Za jedną z bramek stoi nagroda – samochód, a za pozostałymi dwoma nie ma nic. Gracz wybiera jedną z bramek. Następnie prowadzący (Zygmunt Hajzer ) odsłania jedną z pustych bramek (inną niż ta wybrana przez gracza) i daje graczowi możliwość zmiany swojego wyboru. Czy gracz powinien zmienić swój wybór czy nie?
(Problem trzech więźniów) W celi zamkniętych jest 3 więźniów: A, B, C. Jeden z nich ma być stracony – decyzja już zapadła, ale żaden z więźniów nie wie, kto ma zostać stracony. W pewnym momencie przychodzi strażnik i wypuszcza więźnia B. Czy prawdopodobieństwo, że stracą więźnia A jest teraz większe, mniejsze, czy takie samo jak na początku?
(Paradoks Bertrand’a) Na okręgu o promieniu 1skonstruowano losowo cięciwę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cięciwa będzie dłuższa, niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg?
odp.:
Podejście nr 1: Wybór kąta utworzonego na środku okręgu – 1/3
Podejście nr 2: Odległość środka cięciwy od środka okręgu – 1/2
Podejście nr 3: Wybór dowolnego punktu wewnątrz okręgu wpisanego w trójkąt wpisany – 1/4
(Paradoks pudełka Bertrand’a) W trzech pudełkach znajdują się po dwie monety. W pierwszym pudełku dwie złote, w drugim dwie srebrne, a w trzecim jedna złota, druga srebrna. Wybieramy losowo pudełko i wyciągamy z niego jedną monetę, która okazuje się złota. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga moneta też jest złota?
