Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

 
 
2
D
A iB
 
 için 
2
2
2
, ,
x y z
 
 
 
3
D
A iB
 
 için 
3
3
3
, ,
x y z
 
olsun. Bunlar yardımıyla, sistemin genel çözümü ifade edilmiş olacaktır. Ancak bu ifade tarzı, 
bu  şekliyle  kompleks  ifadeleri  içermektedir.  Bu  tarz  pek  geçerli  olmadığından,  önceden  de 
yapıldığı gibi ; bunların trigonometrik gösterimine geçilmesi yeğlenecektir. 
 
 
(
)
(cos
sin
)
A iB t
At
e
e
Bt i
Bt



 
yazılabilecektir.  Sonuç,  bu  ifadenin  de  katkısıyla  ve 
1
2
3
,
,
C C C  keyfi  sabitleri  yeniden 
düzenlenerek, istenilen şekilde biçimlendirilebilecektir. 
Bu konudaki ayrıntıları aşağıdaki örnek üzerinde, daha iyi açıklamak olanaklıdır. 

152 
 
Örnek.  
0
(
1)
0
10
4
(
7)
0
Dx Dy z
D
x Dz
x
y
D
z

 












 
homojen diferansiyel denklem sistemini inceleyelim: 
 
3
2
2
1
( )
0
1
2
3
10 (
2)(
4
5)
10
4
7
D
D
F D
D
D
D
D
D
D
D
D
D

 













 
olur  ki  buradan  F(D)=0  için 
1
2,3
2,
2
D
D
i
 
 
 
bulunur.  Demek  ki  sistemin 
( )
( )
( ) 0
x t
y t
z t



aşikar  çözümünden  başka  çözümleri,  D  nin  bu  değerleri  için 
bulunabilecektir.  Dikkat  edilirse,  sistemin  veriliş  özelliğinden  ötürü  serbest  değişkenin  ne 
olduğu  net  olarak  bilinememektedir.  Biz  bu  değişkenin  t  olduğunu  kendimiz  belirlemiş 
oluyoruz. Bu değişkeni bir başka harfle de temsil edebilirdik. Ancak, bu harf herhalde
, ,
x y z
den biri olmayacaktır. 
D=D
1
=2 için: F(D
1
)=F(-2)=0 olup sistem bunun için düzenlenirse : 
 
 
2
2
0
3
2
0
10
4
9
0
x
y z
y
z
x
y
z
 
 

   






 
olur. Bu sistemin katsayılar determinantının sıfır oluşu, bu bağıntıların aralarında lineer-bağımlı 
olduğunu gösterir. Bu şekilde,  
, ,
x y z
 arasında 
 
 
7
4
6
x
y
z


 
ilişki  bulunur.  Bu  oluşumda 
2t
e

çarpanı  kullanılacaktır.  z  yi  keyfi  bilinmeyen  seçer,  diğer 
ikisini buna göre ifade edersek, ilk çözüm takımı olarak 
 
 
2
2
2
1
1
1
7
2
;
;
6
3
t
t
t
x
e
y
e
z
e






 
bulunur. 
2
2
D D
i

 
 için 
2
(
)
(2
) 0
F D
F
i

 
 dır. Sistem düzenlenirse 
             
(2
)
(2
)
0
(1 )
(2
)
0
10
4
(5
)
0
i x
i y z
i y
i z
x
y
i z

 
 



 




 


                                                               
olur. Bu da önceki sistemin özelliklerine sahip olduğundan, sistemdeki denklemler aralarında 
lineer-bağımlıdırlar. x, y, z  arasındaki ilişki 
 
 
5
7 4
2
1
x
y
z
i
i
i





 

153 
 
şeklinde belirlenir. Burada keyfi olarak z seçilir ve 
(2 )
i t
z e


 alınırsa, ikinci çözüm takımı
 
 
 
(2 )
(2 )
(2 )
2
2
2
11 3
3
;
;
10
2
i t
i t
i t
i
i
x
e
y
e
z
e








 
olarak bulunur. 
3
2
D D
i

 
 için de 
3
( )
(2
) 0
F D
F
i

 
 dır. Sistem bunun için düzenlenirse 
 
 
(2
)
(2
)
0
(1 )
(2
)
0
10
4
(5
)
0
i x
i y z
i y
i z
x
y
i z

 
 



 




 


 
olur. Bu sistemde de bağıntılar, aralarında lineer-bağımlıdır. Bu özelliğin bir sonucu olarak ; 
, ,
x y z
 arasında 
 
 
5
7 4
2
1
x
y
z
i
i
i





 
ilişkisi belirlenir. Keyfi olarak z değişkeni seçilirse 
(2 )
i t
z e


 için üçüncü çözüm takımı 
 
 
(2 )
(2 )
(2 )
2
2
2
11 3
3
;
;
10
2
i t
i t
i t
i
i
x
e
y
e
z
e








 
olarak bulunur. 
Bu şekilde belirlenen çözüm takımları yardımıyla, genel çözüm 
1
2
3
,
,
C C C  keyfi sabitler olmak 
üzere 
 
 
2
(2 )
(2 )
1 1
2 2
3 3
1
2
3
2
(2 )
(2 )
1 1
2 2
3 3
1
2
3
2
(2 )
(2 )
1 1
2 2
3 3
1
2
3
7
11 3
11 3
( )
( )
( )
( )
6
10
10
2
3
3
( )
( )
( )
( )
3
2
2
( )
( )
( )
( )
t
i t
i t
t
i t
i t
t
i t
i t
i
i
x t
C x t
C x t
C x t
C e
C e
C e
i
i
y t
C y t
C y t
C y t
C e
C e
C e
z t
C z t
C z t
C z t
C e
C e
C e







































 
olarak  ifade  edilecektir.  Ancak  bu  sonuç  genel  uygulamada  yeterli  bir  sonuç  kabul 
edilememektedir. Çünkü kompleks sayıları içermektedir. Önceden de değinildiği gibi bu sayılar 
ve ifadeler 
 
 
cos
sin
it
e
t i
t



 
bağıntıları  yardımıyla  yeniden  düzenlenmelidir.  Elemanter  sayılabilecek  çeşitli  işlemler 
yapılarak, çözüm ifadesi yeniden düzenlenir. 
1
2
3
,
,
K K K  yeni keyfi sabitleri gösterdiklerine ve 
 
 
2
3
2
3
1
1
2
3
,
,
2
2
C
C
C
C
K
C K
K
i





 
olmak koşuluyla genel çözüm 

154 
 
 
 
2
2
1
2
3
2
3
2
2
1
2
3
2
3
2
2
1
2
3
7
( )
[(55
15
) cos
(15
55
)sin ].
6
2
( )
[(3
) cos
(
3 )sin ].
3
( )
[(2
cos
2
sin ].
t
t
t
t
t
t
x t
K e
K
K
t
K
K
t e
y t
K e
K
K
t
K
K
t e
z t
K e
K
t
K
t e
























 
bulunur. 
Örnek.   
d
D
dt

 
olmak üzere   
2
2
4(
1)
2(
2)
(5
2)
0
(
8)
2(
2)
(
6)
0
(4
3)
(2
3)
(5
1)
0
D
x
D
y
D
z
D
x
D
y
D
D
z
D
x
D
y
D
z












 










 
diferansiyel denklem sistemini inceleyelim. Bu sistemin önceden incelediklerimizden, örneğin 
öncekindeki gibi sistemlerden bir ayrıcalığı, normal sistem olmamasıdır. Ancak, buna rağmen, 
bir lineer homojen sistem olarak, bu sistemin de önceki incelememizde uyguladığımız yolla 
integre edilebileceğini tartışabileceğiz. 
Katsayılar determinantı F(D) hesaplanırsa 
 
 
3
( )
(
2)
F D
D
 
 

 
bulunacaktır. Bu sistemin 
( )
( )
( ) 0
x t
y t
z t



 aşikar çözümünden başkaca çözümleri varsa, 
bunlar ancak 
 
 
3
( )
(
2)
0
2
F D
D
D
 
 

      
(üç katlı kök) için var olabilecektir. 
1
2
D D

   (ilk kök) için 
1
( )
( 2) 0
F D
F

 
 dır. Sistemden 
 
 
12
12
0
12
12
0
0,
11
11
0
x
z
x
z
y
z
x
x y
z







 
 


 


 
ilişkileri bulunur. Keyfi olarak  
2t
x e


alınırsa, ilk çözüm takımı 
 
 
2
2
1
1
1
;
0;
t
t
x
e
y
z
e




 
 
olur. 
2
2
D D

   (ikinci kök ) için : yine 
2
(
)
( 2) 0
F D
F

 
 dır. Ancak bu kez ilk kökte olduğu 
gibi  hareket  edilemez.  Çünkü  çakışık  köktür.  Öyleyse 
, ,
x y z
 yeniden  düzenlenerek 
önerilmelidir. 
1
2
3
1
2
3
, , ; , ,
a a a b b b hesaplanması  gereken  katsayılar  olmak  üzere  ikinci  çözüm 
takımının 
 
 
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
3
3
(
)
;
(
)
;
(
)
t
t
t
x
a t b e
y
a t b e
z
a t b e









 
şeklinde  seçilmesi  gerekecektir.  Bunu  sisteme  uygulayalım.  Bu  amaçla  önce  türevleri 
hesaplayalım : 

155 
 
 
 
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
( 2
2 )
;
( 2
2 )
;
( 2
2 )
;
(4
4
4 )
;
(4
4
4 )
t
t
t
t
t
dx
Dx
a t a
b e
dt
dy
Dy
a t a
b e
dt
dz
Dz
a t a
b e
dt
d x
D x
a t
a
b e
dt
d x
D z
a t
a
b e
dt






 
 

 



 
 








 
Sisteme uygulayalım. Bazı sadeleştirmeler ve düzenlemeler yapılmak suretiyle sistem, 
 
 
1
3
1
1
2
3
3
1
3
1
1
2
3
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
( 12
12 )
(4
12
2
5
12 ) 0
(12
12 )
(4
12
2
5
12 ) 0
( 11
11 )
(4
11
2
5
11 ) 0
a
a t
a
b
a
a
b
a
a t
a
b
a
a
b
a
a
a t
a
b
a
b
a
b


















 
 



 



 
şeklini alır. Bu bağıntılar özdeş olarak sağlanacağından ; t lerin katsayılarından 
 
 
1
3
1
3
1
2
3
12
12
0
12
12
0
11
11
0
a
a
a
a
a
a
a









 


 
sistemi ; sabit terimlerden de 
 
 
1
1
2
3
3
1
1
2
3
3
1
1
2
2
3
3
4
12
2
5
12
0
4
12
2
5
12
0
4
11
2
5
11
0
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
















 



 
sistemi elde edilir. İlk sistem 
1
2
3
,
,
x a y a z a



 alındığı takdirde önceki sistemle tamamen 
aynıdır. Öyleyse aynı değerlendirme yapılırsa (ki bu bir bakıma zorunludur.) 
1
2
3
1,
0,
1
a
a
a


     
bulunur; (
x
=1 keyfi seçilmiş olarak). Bu değerler için ikinci sistemi düzenleyelim : 
 
 
1
3
1
2
3
12
12
1
11
11
1
b
b
b b
b

 


 
 

 
olur. Bu sistem 
 
 
1
3
2
1
3
1
12
1
11
b
b
b
b
b

  



   

 
şeklinde düzenlenirse, bunlardan 
2
1
12
b
 
 
bulunur. Bu değer için her iki denklem 

156 
 
 
 
1
3
1
12
b
b

 
 
bağıntısına  indirgenmiş  olur.  Burada  keyfi  olarak 
1
0
b

 seçilirse 
3
1
12
b
 
bulunacaktır. 
Böylece, önerilen bütün katsayılar belirlenmiş olur. Öyleyse artık ikinci çözüm takımını ifade 
etmek olanağı vardır. Bu da 
 
 
2
2
2
2
2
2
1
1
;
;
(
)
12
12
t
t
t
x
te
y
e
z
t
e




 
  
 
şeklinde belirlenecektir. 
3
2
D D

   (üçüncü kök) için de 
3
(
)
( 2) 0
F D
F

 
 dır. Ancak bu kere de ikinci kök için 
yapılanda  olduğu  gibi  hareket  edilemez.  Bu  kez  çözüm  takımını; 
1
2
3
1
2
3
1
2
3
, , ; , , ; , ,
a a a b b b c c c
hesaplanması gereken sabitler olmak üzere 
 
 
2
2
2
2
2
2
3
1
1
1
3
2
2
2
3
3
3
3
(
)
;
(
)
;
(
)
t
t
t
x
a t
b t c e
y
a t
b t c e
z
a t
b t c e












 
şeklinde düzenlemek gerekir. Yani katsayılar t nin ikinci dereceden çokterimlileri olarak ifade 
edilmiştir.  Önce  türev  işlemlerini  gerçekleştirerek,  önerilen  bu  çözüm  takımını  sisteme 
uygulayalım : 
 
 
2
2
3
3
1
1
1
1
1
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2
[ 2
2(
)
2 ]
[ 2
2(
)
2 ]
[ 2
2(
)
2 ]
[4
4(2
)
2(
2
2 )]
[4
4(2
)
2(
t
t
t
t
dx
Dx
a t
a
b t b
c e
dt
dy
Dy
a t
a
b t b
c e
dt
dz
Dz
a t
a
b t b
c e
dt
d x
D x
a t
a
b t
a
b
c e
dt
d x
D z
a t
a
b t
a
dt





 


 

 


 

 


 












2
3
3
3
2
2 )]
t
b
c e



 
olup, bunlar için sistem, bazı sadeleştirmeler ve düzenlemeler yapılırsa, 
 
 
2
1
3
1
1
2
3
3
1
1
2
3
3
2
1
3
1
1
2
3
3
1
1
1
2
3
3
2
1
2
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
12(
)
(8
12
4
10
12 )
(4
12
2
5
12 ) 0
12(
)
(8
12
4
10
12 )
(2
4
12
2
2
5
12 ) 0
11(
11 )
(8
11
4
10
11 )
(4
11
2
5
a
a t
a
b
a
a
b t
b
c
b
b
c
a
a t
a
b
a
a
b t
a
b
c
b
a
b
c
a
a
a t
a
b
a
b
a
b t
b
c
b
c
b
































 




 
3
11 ) 0
c







 
şeklini alır. Bu bağıntılar özdeş olarak sağlanacağından, sırasıyla, t
2 
lerin katsayılarından 
 
 
1
3
1
3
1
2
3
12(
) 0                       
12 (
) 0                      
  (11a
11a ) 0
a
a
a
a
a







 




 
sistemi ; t lerin katsayılarından, 

157 
 
 
 
1
1
2
3
3
1
1
2
3
3
1
1
2
2
3
3
8
12
4
10
12
0
8
12
4
10
12
0
8
11
4
10
11
0
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
















 



 
sistemi ve nihayet sabit terimlerden 
 
 
1
1
2
3
3
1
1
1
2
3
3
1
1
2
2
3
3
4
12
2
5
12
0
2
4
12
2
2
5
12
0
4
11
2
5
11
0
b
c
b
b
c
a
b
c
b
a
b
c
b
c
b
c
b
c


















 



 
sistemi  yazılır.  Bunlardan  ilki,  ilk  kök  uygulamasında karşılaşılan  sistemden  farklı  değildir. 
Öyleyse aynı yorumlar tekrarlanarak bu sistemdeki  𝒶
1,
𝒶
 2, 
𝒶
 3   
katsayılarını 
 
 
1
2
,  3
1, 
0
  1
a
a
a


 
 
olarak  alırız.  Bu  şekilde  seçim  yapmak  bir  bakıma  bir  zorunluluktur  da.  Bunlar  yardımıyla 
ikinci sistemi düzenleyelim : 
 
 
1
3
2
1
3
1
3
2
1
6
2
11
(
)
2
b b
b
b b
b b
b

  



   



  


 
olur. Bu sistem gerçekte 
 
 
1
3
2
1
3
1
6
2
11
b
b
b
b
b

  



   

 
şeklinde göz önüne alınırsa, buradan kolayca 
2
1
6
b
 
 
olması gerektiği belirlenir. Böylece son 
iki  denklem  de  lineer-bağımlı  hale  gelir  ki  bunlardan,  örneğin  keyfi  olarak 
1
0
b
  seçilirse 
3