Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

bozmayacaksa yerine sıfır konulması dahi yeğlenebilir. 
Sonuç olarak; 
 
 
1
1
2
2
3
4
2
1 4
;
;
0;
6 3
c
c c
c c
c
c



 
 
alınmak suretiyle, genel çözüm yeniden düzenlenirse, sistemin çözümü 
 
 
4
4
5
1
2
4
4
5
2
3
4
( )
2
5
4
1
( )
(2
)
3
6
t
t
t
t
t
t
x t
c
c e
te
e
y t
c e
t
e
e

 





 




 
bulunur. 
 
08.03.02. Genel Halin İncelenmesi 
Sabit  katsayılı  ve  lineer  bir  diferansiyel  denklem  sisteminin  genel  ifadesi,  operatörler 
kullanılmak  suretiyle,  aşağıda  olduğu  şekilde  gösterilebilir. 
d
D
dt

olmak  üzere  ve 
( )
ij
F D
ifadeleri 
(
1, 2,...., ;
1, 2,...., )
i
n j
n


, 
D
 nin
n
.  dereceye  kadar  lineer  tam  çok  terimlisi 
olduğuna göre 
 
 
 
11
1
12
2
1
1
21
1
22
2
2
2
1
1
2
2
( )
( )
....
( )
( )
( )
( )
....
( )
( )
:
( )
( )
....
( )
( )
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
F D x
F D x
F D x
f t
F D x
F D x
F D x
f t
F D x
F D x
F D x
f t



















                        
 
(8.7) 
şeklinde  bir  simultane  sistem,  tanımlanmak  istenilen  denklem  sistemini  temsil  etmektedir. 
1
2
( ), ( ),..., ( )
n
x t x t
x t bilinmeyen fonksiyonları için oluşturulan bu sistemde, katsayılar operatörle 

165 
 
ifade  edildiğinden,  sistemin  çözümünde  tamamen  lineer  cebir  kuralları  uygulamak  olanağı 
vardır. Örneğin bu sistem bir Cramer sistemi gibi bakmak olasıdır. Ancak bir koşul öncelikle 
sağlanmalıdır: katsayılar determinantı sıfırdan farklı olmalıdır. 
Bir önceki alt bölümde, böyle bir sistemin daha basit halini (daha özel halini) alarak inceledik. 
Orada  oluşan  bilgi  birikiminin,  bu  denklemin  çözümünde  kullanılması  yararlı  olacaktır. 
Katsayılar  determinantının  sıfırdan  farklı  olması  ve  çözümde  bu  determinantın  kullanılması 
gibi... 
Sistemin katsayılar determinantı 
( )
D

 ile gösterelim. Buna göre; 
 
 
11
12
1
21
22
2
1
2
( )
( ) ...
( )
( )
( ) ...
( )
( )
0
:
:
:
( )
( ) ...
( )
n
n
n
n
nn
F D
F D
F D
F D
F D
F D
D
F D
F D
F D


  
olmak koşuluyla 
 
 
1, 1
1
1,
1
11
1
2, 1
2
2,
1
21
2
, 1
,
1
1
...
( )
( )
( )
( )
( )
...
...
( )
( )
( )
( )
( )
...
( )
:
:
:
:
:
...
( )
( )
( )
( )
( )
...
j
j
n
j
j
n
j
n j
n
n j
n
nn
F
D
f t
F
D
F D
F D
F
D
f t
F
D
F D
F D
D
F
D
f t
F
D
F D
F D








 
determinantları hesaplanabilecektir. 
( )
j
D

 
determinantları tek tek hesaplandığında ki sayıca n 
tanedir, bunlar t nin birer fonksiyonu ya da sabitler olarak bulunacaktır. Bunları 
 
 
( )
( );
1, 2,...,
j
j
D
t j
n




 
ile gösterelim. 
j
x
 
bilinmeyen fonksiyonları temsil ettiğine göre 
 
 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
j
j
j
j
t
x t
D x t
t
D



 


 
çözümlerine ve dolayısıyla diferansiyel denklemlerine ulaşılır. 
 
 
 
1
1
2
2
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
:
( ) ( )
( )
n
n
D x t
t
D x t
t
D x t
t









 
                 
 
 
           
(8.8) 
diferansiyel denklemleri incelenmeli ve çözülmelidir. İlk denklemin çözümünden 
1
( )
x t  ; ikinci 
denklemin  çözümünden 
2
( )
x t  ve  giderek  sonuncu  denklemin  çözümünden  de 
( )
n
x t
bilinmeyen fonksiyonları belirlenecektir. Ancak bu böyle olmakla birlikte birer sabit katsayılı,  
ikinci yanlı lineer diferansiyel denklem olan bu denklemin genel çözümlerinin yazılmasında 
keyfi sabitlerin bir kurala göre düzenlenmesi gerekmektedir. Aksi halde elde edilen sonuçlar, 
bir  sistemin  çözümü  olarak  bir  araya  getirildiğinde,  buna  “sistemin  genel  çözümü” 
denilemeyecektir. İşte bu düzenleme için nasıl hareket edileceği aşağıda açıklanmıştır: 
( )
( );
1, 2,...,
j
j
D x
t j
n




 

166 
 
diferansiyel  denklemlerinin  bir  ortak  özelliği 
( )
D

 nin  bütün  denklemlerde  aynı  olmasıdır. 
( )
D

 aynı  zamanda,  katsayılar  determinantı  olup, 
D
 nin  bir  tam  çok  terimlisidir.  Bu  aynı 
zamanda  diferansiyel  denklemlerin  karakteristik  denklemi  olarak  görülmektedir,  yeter  ki 
( ) 0
D


 alınmış  olsun. 
( )
D

 nin derecesi, sistemin mertebesini belirtmektedir.  Buna  bağlı 
olarak,  sistemin  genel  çözümünde  yer  alacak  keyfi  sabitlerin  sayısını  da  düzenlemektedir. 
Şimdi bu olgular göz önünde bulundurularak, 
1
2
( ), ( ),..., ( )
n
x t x t
x t  fonksiyonlarının çözümleri 
sırasında  ortaya  çıkan  keyfi  sabitlerin  sayısının  kaç  tane  olması  gerektiği  böylece 
saptanabilecektir.  Bunun  üstünde  kalan  sayıdaki  keyfi  sabitler  öncekilerle  lineer  bağımlılık 
ilişkisi içindedirler. 
( ) 0
D


karakteristik  denkleminin 
.
k dereceden  bir  cebirsel  denklem  olduğunu  varsayalım. 
Burada 
0
k
  ve tam sayı olabileceği gibi,  k n
  ya da  k n
  olması gerektiği de saptanabilir. 
Yani bir başka yaklaşımla 
k  için sonlu olmak koşuluyla, bir üst sınır belirlemek bu aşamada 
olanaksızdır. Bu 
k  sayısı, her problem için, onun koşullarına göre belirlenecektir. Ancak bu 
sayının  özelliği,  sistemin  mertebesinin 
k  olduğunu  belirtmesidir.  Diğer  yandan,  (8.8)  deki 
diferansiyel denklemlerinin her biri için, 
0
1
,
,....,
k
m m
m   sabit katsayıları olmak üzere, 
 
 
1
0
1
1
( )
....
0
k
k
k
k
D
m D
m D
m D m









 
karakteristik  denkleminden 
1
2
,
,....,
k
D D
D  gibi,  k  tane  cebirsel  sayıdan  oluşan  kökler  elde 
edilecektir. Bunların, her bir denklem için değerlendirilmesi, ikinci yansız denklemlere göre, 
sırasıyla, 
 
 
 
1
2
1
2
1
2
1
11
12
1
2
21
22
2
1
2
( )
....
( )
....
:
( )
....
k
k
k
D t
D t
D t
k
D t
D t
D t
k
D t
D t
D t
n
n
n
nk
x t
c e
c e
c e
x t
c e
c e
c e
x t
c e
c e
c e












      
 
 
 
(8.9) 
olup,  bunlarda  toplam  olarak 
n k
  tane  keyfi  sabit  kullanıldığı  görülmektedir.  Çünkü,  her 
bilinmeyen fonksiyon için yapılan çözüm, öncekilerden bağımsız olarak gerçekleştirildiğinden, 
önceden  yapılan  çözümlerde  kullandığımız  keyfi  sabitlerin  tekrar  kullanılması  artık 
olanaksızdır. 
Sistemin mertebesi k olması, (8.8) çözümlerinden hareketle genel çözüm ifade edilirken ancak 
k  tane keyfi sabiti seçerek, diğer geriye kalan 
(
1).
n
k

 tane keyfi sabitin bunlar cinsinden ifade 
edilmesini gerekli kılmaktadır. Bu iş her sistemdeki bağıntıdan yararlanılarak sağlanır. (8.8) 
ifadeleri,  ikinci  yanlı  diferansiyel  denklemlerdir.  Öyleyse  ikinci  yanda  yer  alan
( )
j
t

fonksiyonlarından ötürü, birer özel çözümü bulunup, (8.9) çözümlerime eklenmelidir. Eğer bu 
çözümlerin 
( );
1, 2,...,
j
h t j
n

 oldukları varsayılırsa (8.9) daki diferansiyel denklem çözümleri 
her birinden bağımsız olarak, birer genel çözüm niteliğine kavuşurlar. Böylece ; 
 
 
 
1
2
1
2
1
2
1
11
12
1
1
2
21
22
2
2
1
2
( )
....
( )
( )
....
( )
:
( )
....
( )
k
k
k
D t
D t
D t
k
D t
D t
D t
k
D t
D t
D t
n
n
n
nk
n
x t
c e
c e
c e
h t
x t
c e
c e
c e
h t
x t
c e
c e
c e
h t















   
 
           (8.10) 

167 
 
olurlar. Bunlar için önceden göz önüne alınan sisteminin herhangi bir bağıntısı seçilerek bir 
uygulama  yapılır.  Bilindiği  gibi 
1
2
( ), ( ),..., ( )
n
x t x t
x t fonksiyonları  (8.7)  sistemine  aittir  ve  bu 
sistem, bu fonksiyonlar tarafından sağlanmalıdır. Bu işlemleri keyfi sabitler arasındaki lineer-
bağımlılık  ilişkileri  tam  olarak  belirleninceye  kadar  sürdürülür.  Bunun  için  gerekirse,  (8.7) 
sisteminin diğer bağıntıları da kullanılır. 
Keyfi  sabitler  arasındaki  ilişkiler  belirlendikten  ve  keyfi  sabitler  k  tane  keyfi  sabite  göre 
düzenlendikten sonra, bunlar için bilinmeyen fonksiyonlar yeniden düzenlenir, İşte bu şekilde 
düzenlenmiş olan (8.10) çözümleri, (8.7) sisteminin genel çözümünü belirler. 
Örnek. 
2
(
3)
6
(
3)
t
D
x
y t
Dx
D
y e









 
diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü bulalım. 
 
 
2
2
3
6
( )
(
3)
6
9 0
3
D
D
D
D D
D
D








 

 
olarak, Cramer teoremi uygulanabilecektir : 
 
 
2
2
1
2
2
6
( )
6
3
2
( )
3
3
( )
2
2
( )
t
x
t
t
x
t
t
D
e
t
t
t
e
D
D
t
D
e
t
t
D
e







 




 
 
 
olup, 
 
 
2
1
2
2
2
( )
( )
6
3
2
( )
( )
9
( )
( )
2
2
( )
( )
9
t
x
t
y
D
t
e
t
t
x
D
D
D
D
t
e
y
D
D
D




















 
bulunur. Bunlardan 
 
 
2
2
2
(
9)
6
3
2
(
9)
2
2
t
t
D
x
e
t
t
D
y
e
t





 

 
diferansiyel  denklemlerine  varılır.  Bu  denklemler  ayrı  ayrı  çözülür.  Ancak 
2
9 0
D
 
 
karakteristik denklemleri ortaktır. Buradan 
 
 
2
1,2
9 0
3
D
D
i
  
 
 
 
 
1
1
2
1
3
4
( )
cos3
sin 3
( )
cos 3
sin 3
x t
c
t c
t
y t
c
t c
t




 
yazılacaktır.  Şimdi  de  özel  çözümleri  bulalım.  Önceki  bilgilerimize  göre  bu  çözümler 
düzenlenir ve gerekli işlemler yapılırsa sırasıyla, 

168 
 
 
 
 
2
2
2
3
1
2
2
5
3
9
27
1
2
5
9
t
t
x
e
t
t
y
e
t




 

 
bulunur. Bunlar dikkate alınarak, diferansiyel denklemlerin genel çözümü 
 
 
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
1
2
2
( )
( )
( )
cos3
sin 3
5
3
9
27
1
2
( )
( )
( )
cos 3
sin 3
5
9
t
t
x t
x t
x t
c
t c
t
e
t
t
y t
y t
y t
c
t c
t
e
t














 
şeklinde  düzenlenmiş  olacaktır.  Şimdi,  bu  iki  çözümün  birlikte,  verilen  sistemin  genel 
çözümünü oluşturması koşulunu tartışalım. 
Görüldüğü gibi, 
2
( )
9
D
D


  olup, 
D
 nin  2. dereceden birçok terimlisidir. Öyleyse sistemin 
mertebesi  2  olup,  sistemin  genel  çözümünde  ancak  ve  ancak  iki  tane  keyfi  sabit 
bulunabilecektir: Oysa  yukarıdaki çözümler incelenirse 
1
2
3
4
, , ,
c c c c  gibi dört adet keyfi sabit 
kullanıldığı görülür. Demek ki bunlardan ikisi, diğer ikisiyle lineer bağımlılık ilişkisi içindedir. 
Bu ilişkiyi belirlemek için, sistemdeki ikinci bağıntıyı kullanalım: 
 
 
(
3)
t
Dx
D
y e


 ; 
 
 
1
2
3
2
2
3 sin 3
3 cos 3
5
3
9
t
dx
Dx
c
t
c
t
e
t
dt

 




 
 
 
3
4
3
4
1
2
3
2
(
3)
3
3 sin 3
3 cos 3
3 cos3
3 sin 3
5
9
5
3
t
t
dy
D
y
y
c
t
c
t
e
c
t
c
t
e
t
dt



 


 



 
olarak uygulanırsa 
 
 
1
2
3
4
3
4
3
2
2
3 sin 3
3 cos 3
3 sin 3
3 cos 3
5
3
9
1
2
3
2
3 cos 3
3 sin 3
5
9
5
3
t
t
t
t
c
t
c
t
e
t
c
t
c
t
e
c
t
c
t
e
t e




 


 




 
olup, buradan ; 
 
 
1
3
4
2
3
4
3(
)sin 3
3(
) cos 3
0
c
c
c
t
c
c
c
t

 

 
  
bağıntısına varılır. Buradan da  
 
 
1
3
4
1
3
4
2
3
4
2
3
4
0
0
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
  
  


   
 

 
ilişkileri saptanır. Böylece 
2
3
4
3
4
3
4
3
1
2
2
( ) (
) cos3
(
)sin 3
5
3
9
27
1
2
( )
cos 3
sin 3
5
9
t
t
x t
c
c
t
c
c
t
e
t
t
y t
c
t c
t
e
t
  










 
çözümüne ulaşılır ki bu genel çözümdür. 

169 
 
Örnek. 
2
1
2
3
1
3
1
2
3
(
1)
2
3
1
0
0
D
y
Dy
Dy
Dy
y
y
Dy
Dy














 
diferansiyel  denklem  sistemi  de,  sabit  katsayılı  bir  lineer  sistem  olup,  genel  çözümünü 
araştıralım. Bu amaçla, öncelikle katsayılar determinantını hesaplayalım: 
 
 
2
2
(
1)
2
3
( )
0
1
2
3
0
1
D
D
D
D
D
D
D
D
D








;
 
            
   
1
2
2
2
3
1 2
3
0
0
1
(1) 0
0
1 2
3
0
0
1
1 1
0
1 2
3
0
0
1
0
0
D
D
y
D
D
D
D
D
y
D
D
D
D
D
y
D
D
D
 




 

 


 
 



 
bulunur. Bu sonuçlardan yararlanarak artık, Cramer teoremi gereğince 
 
 
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
0
(2
3 )
0
( )
2
3
1
(2
3 )
1
( )
2
3
0
(2
3 )
0
( )
2
3
y
y
D
D y
D
D
D
y
y
D
D y
D
D
D
y
y
D
D y
D
D
D
























 
diferansiyel denklemlerine ulaşılır. Bunlar ayrı ayrı integre edilirse 
 
 
3
3
3
2
2
2
1
1
2
2
3
4
3
5
6
;
;
3
x
x
x
x
y
c
c e
y
c
c e
y
c
c e



 
 

 
 
bulunacaktır. Diğer yandan bu çözümler birlikte göz önüne alınırsa altı tane farklı keyfi sabit 
kullanıldığı görülür. Oysa 
 
 
2
( ) 2
3
D
D
D



 
olduğu ve bu da 2. dereceden olduğundan, gerçekte incelenen sistemin mertebesi 2 dir. Öyleyse 
1
2
3
, ,
y y y  birlikte bu sistemin genel çözümünü oluşturacaksa, ancak ve ancak iki keyfi sabit 
içermelidirler.  Bu  amaçla 
1
2
3
, ,
y y y  çözümlerini  kullanarak  sisteme  gidelim.  Burada  ilginç 
olan,  bir  önceki  örnekte  olduğu  gibi,  sistemin  tek  bir  denklemiyle  sonuca  gidilmesindeki 

170 
 
güçlüktür.  Bu  nedenle  gerektiği  kadar  bağıntı  kullanılacaktır.  Aşağıdaki  işlemlerde  bunu 
izliyoruz. 
Sistemin 3. bağıntısı alınırsa : 
 
 
1
2
3
3
3
3
2
2
2
1
2
3
4
5
6
3
3
3
2
2
2
1
2
4
6
3
2
1
2
4
6
(
)
(
) 0
3
3
1 3
0
2
3 2
1
3
3
(
)
0
3
2
2
x
x
x
x
x
x
x
y
Dy
Dy
x
c
c e
D c
c e
D c
c e
c
c e
c e
c e
c
c
c
c e



















 

 


 
olup buradan 
 
 
1
1
2
4
6
2
4
6
1
1
0
3
3
3
3
3
0
(
)
2
2
2
c
c
c
c
c
c
c
c
 





 

 
elde edilir. Sistemin 2. bağıntısı alınırsa : 
 
 
1
3
3
3
2
2
1
2
5
6
3
3
2
2
2
5
6
3
2
5
2
6
0
(
)
0
3
0
2
3
(
)
0
2
x
x
x
x
x
Dy
y
D c
c e
c
c e
c e
c
c e
c
c
c e








 


 

 


 
olup buradan 
 
 
5
2
6
6
2
3
3
0;
0
2
2
c
c