Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

bu  tür  denklemler  Yüksek  Mertebeden  Diferansiyel  Denklemler  olarak  adlandırılacaklardır.  
Örneğin,  x  dx  +,y  dy  =  0  birinci  mertebeden  bir  diferansiyel  denklem,  y”  +  3y’  –  2y  =  x  
ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem olur. Denklemlerin bir başka sınıflandırılması da 
katsayıların  sabit  ya  da  değişken  oluşuna  göre  yapılır.  Bir  diferansiyel  denklemin  bazı 
koşullara  bağlı  çözümü  söz  konusu  ise  bu  tür  problemlere  Sınır  Değer  Problemi  ya  da 
Başlangıç Değer Problemi denir.  
 
01.04.  Bir Diferansiyel Denklemin Oluşumu 
Diferansiyel  denklemlerin  çok  yaygın  uygulama  alanları  vardır.  Doğrudan  matematiğin  bir 
konusu  olmakla  birlikte,  uygulama  alanlarında  teknolojiden,  ekonomiye;  fizikten, 
mühendisliğin  çeşitli  alanlarına  kadar  pek  çok  yerde  onunla  karşılaşmak  olanaklıdır.  Bu 
konuda,  çok  ayrıntılı  bilgiler  içeren  bir  son  bölüm  yaptık.  Orada  bu  denklemlerin  nasıl 
kurulduğunu  ve  çözümleriyle  nasıl  yorumlandığını  görmek  olanaklıdır.  Biz  şimdilik  burada 
sadece ilk bilgileri vermekle yetineceğiz. Bu konuda çok daha ayrıntılı bilgilere ulaşmak için 
1.Cildin 3. sayfasında, alt bölüm 1.3. deki örnekleri incelemek faydalı olacaktır. 
İlk ve en basit diferansiyel denklem y’ = y dir. y = y(x) dir. Bu bağıntı ile “türevi kendisine 
eşit  bir  fonksiyon  var  mıdır  ?“  sorusuna  yanıt  aranmaktadır.  Bunun  çözümü  sonucunda  e
x
 
fonksiyonuna  ulaşılır.      Burada  e,  matematik  analizin  temel  sayısı  olup  değeri  e  = 
2.7182818284590459…  şeklinde  uzayıp  giden  ve  sonuncu  ondalığı  halen  bilinmeyen  bir 
aşkın (transandant) sayı’dır.  
Bir y = f(x)  fonksiyonu türetilirse y’ = f ’(x) olur. f ‘(x), x in yeni bir fonksiyonu olup bunu 
g(x)  ile  gösterelim:  y’  =  g(x)  olur.  İşte  bu  bir  diferansiyel  denklemdir.  Bir  örnek  olarak 
gösterelim: 
y = f(x) = 2x
2
 – 7x   →   y’ = g(x) =  4x - 7   →   dy = (4x – 7) dx 
y’ = g(x) yeniden türetilirse y” = g’(x) = h(x)  olur. Bu ise ikinci metrebeden bir diferansiyel 
denklem demektir.   

3 
 
 
 
Bir diferansiyel denklemin derecesi, denklemdeki en yüksek mertebeden türevin derecesidir.  
01.05.  Lipschitz Koşulu 
Bir düzgün bölgede, apsisleri x, ordinatları y
1
 ve y
2
 olan iki keyfi nokta seçilmiş olsun. Aynı 
D bölgesinde sürekli bir f(x,y) = 0 fonksiyonunun var olduğunu kabul edelim. Keyfi seçilen 
her nokta çifti için 
|f(x,y
2
) – f(x,y
1
)| < ℓ |y
2
 – y
1
|                                                                 
ilişkisi  gerçekleşecek  şekilde  bir  ℓ  pozitif  sayısı  bulunabiliyorsa,  f(x,y)  fonksiyonu,  D 
bölgesinde y ye göre Lipschitz Koşulu’nu sağlamış olur.  
0 < Ө < 1 olmak üzere, Ortalama Değer Teoremi 
        f(a+h , b+k) - f(a,b) = h.f
x
(a+ Өh , b+Өk) + k.f
y
(a+Өh , b+Өk) 
  (1.1)             
şeklinde ifade edilir. Buradan (1.1) ifadesini elde etmek için uygun olan seçim :   
a = x  ; b = y
1
  ;  h = 0  ;  k = y
2
 – y
1
  dir. Bu kabullere göre 
          f(x,y
2
) – f(x,y
1
) = (y
2
 – y
1
) f
y
(x, y
1
 + Ө (y
2
-y
1
)) 
   
(1.2) 
olur.  Bunun  sol  yanı  (1.1)  ile  aynıdır.  Demek  ki  Lipschitz  Koşulu,  Ortalama  Değer 
Teoremi’nin  bir  sonucudur.  Bu  iki  bağıntı  karşılaştırıldığında  f(x,y)  fonksiyonunun  kısmi 
türevleri de sürekli olduğundan aşağıdaki ifade yazılabilir.  
f
y
(x , y
1
 + Ө (y
2
 – y
1
)) < ℓ 
olacağından ℓ sabiti f
y
 nin üst sınırı olarak belirlenir. Bu ise |∂f / ∂y| ≤ ℓ demektir. Buna göre :   
                                                           y
2
                         y
2                                               
 
|f(x,y
2
) – f(x,y
1
)| =  | ∫ [(∂f / ∂y) dy|  ≤  ∫ |∂f / ∂y| dy ≤ ℓ |y
2
 – y
1
| 
                                                          y
1     
                      y
1
 
olur. 
 
01.06.  Çözüm Kavramı 
Bir  diferansiyel  denklemin  çözümü  denilince,  onu  özdeş  olarak  sağlayacak  fonksiyonun 
bulunması  anlaşılacaktır.  Bir  diferansiyel  denklemin  çözümünü  bulmak  için,  denklemin 
türüne  uygun  çözüm  yöntemleri  uygulanır.  Bunlar  çok  farklı  olabilmektedir.  Çözümün  de 
çeşitleri vardır. Aksi söylenmedikçe çözüm, Genel Çözüm olarak anlaşılacaktır. Özel Çözüm 
başlangıç  koşullarına  bağlı  çözüm  olup,  başlangıç  koşulları  denklemle  birlikte  verilmiş 
olmalıdır. Ayrıca Tekil (Singüler) Çözüm ve Yalnız (İzole) Çözüm de diğer çözüm çeşitleridir. 
Genel  çözüme  Genel  İntegral  de  denilmektedir.  Genel  çözümün  temel  özelliği,  çözüm  olan 
fonksiyonda  denklemin  mertebesine  eşit  sayıda  keyfî  sabitin  bulunması  zorunluluğudur.  En 
basit anlatımla f(x,y,y’) = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümü,  F(x,y,C) = 0 şeklinde, 
bir  keyfi  sabit  içeren  bir  fonksiyon  olacaktır.  F(x,y,C)  =  0  çözümü,  diferansiyel  denklemi 
özdeş olarak sağlayacaktır. Bu konunun diğer ayrıntıları hakkında bilgi edinmek için 1. Cilt’te 
20.sayfadan  itibaren  yapılan  açıklamalar  gözden  geçirilmelidir.  Ayrıca,  “  n.mertebeden  bir 
diferansiyel denklemin genel çözümünde n tane keyfi sabit bulunur ! “ teoremini, adı geçen 
kitabın 34.sayfasında bulmanız olanaklıdır.   

4 
 
 
 
01.07. Varlık Ve Teklik Teoremleri 
Bir diferansiyel denklemin çözümünün varlığı ve tekliği, diferansiyel denklemler teorisinin en 
önemli  konularından  ikisidir.  Bu  konuda  yapılmış  çeşitli  ispatlar  bulunmaktadır.  Biz 
kitabımıza  Picard  –  Lindelöf  tarafından  yapılmış  teoremi  koyduk  [Bkz  :  1  Cilt  ,  sayfa  29]. 
Burada  bu  teoremin  ayrıntılarına  girmeyeceğiz.  Sadece  teoremin  ifadesini  vermekle 
yetineceğiz :  
f(x,y)  fonksiyonu,  düzgün  kapalı  bir  D  bölgesinde  sürekli  ve  tanımlı  bir  fonksiyon  ise,y’  = 
f(x,y) diferansiyel denkleminin y
0
 = y(x
0
) koşulunu sağlayan bir ve yalnız bir çözümü vardır 
ve bu çözüm tektir.     
 

 
 
 
 
 
2. BÖLÜM 
 
 
DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ 
 
 
02.01. Giriş 
Bu  bölümde  Diferansiyel  Denklem  Sistemleri  konu  edilecektir.  Sistem  kavramı  birden  çok 
bağıntıyı bir arada göz önüne almayı gerektirir. Bu da kendine özgü bir inceleme alanı yaratır. 
Ayrıca  çeşitli  özellikler  dikkate  alınarak,  genel  bir  tanımdan  daha  özel  yapıdaki  sistemlere 
doğru  analizler  yapılabilmektedir.  Buna  göre  çözüm  çalışmaları  da  çeşitlenmiş  olmaktadır. 
Konu ile ilgili alanlarda bu tür denklemlere çokça rastlanabilmektedir. Bunlarla ilgili örnekler 
verilecektir. 
02.02.Tanım 
Tek bir serbest değişkenin birden çok fonksiyonunu birlikte ele alalım. Bu değişken ve buna 
bağlı değişken ve onun belirli bir mertebeye kadar türevleri arasında kurulmuş bu bağıntılar n 
tane  olsun.  Bu  bağıntılar  topluluğunu  Adi  Diferansiyel  Denklem  Sistemi  denir.  Ancak 
diferansiyel denklemlerde olduğu gibi, pratikte bu Diferansiyel Denklem Sistemi olarak anılır. 
Denklem  sistemindeki  bağıntılar  birlikte  ele  alınacağı  için  bu  tür  sistemlere  Simultane 
Diferansiyel Denklem Sistemi de denilmektedir. Sonuç olarak, Diferansiyel Denklem Sistemi 
denilince bu kavramlar bir bütün halinde böyle anlaşılacaktır. 
t serbest değişkeninin n tane farklı fonksiyonu  x
1
 = x
1
(t), x
2
 = x
2
(t), …, x
n
 = x
n
(t) dir. Serbest 
değişken,  bu  fonksiyonlar  ve  bunların  belirli  bir  mertebeye  kadar  türevlerini  içeren  n  tane 
bağıntı aşağıdaki gibi olsun : 
 
𝑓 (t,𝑥 ,𝑥 ′,𝑥 ″,…, 𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ″,…)=0       
𝑓 (t,𝑥 ,𝑥 ′,𝑥 ″,…,𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ″,…)= 0   
……………………………………   
 
 
 
 
 
 
(2.1) 
 …………………………………… 
𝑓 (t,𝑥 ,𝑥 ′,𝑥 ″,…,𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ″,…)=0                                                 
 
Bu sistemde fonksiyonlar ve bütün türevleri 1.dereceden olduğu için ayrıca bu tür sistemlere 
Lineer Diferansiyel Denklem Sistemi ya da sadece Lineer Sistem denir. 

6 
 
 
 
Burada  dikkat  edilmesi  gereken  diğer  husus,  bilinmeyen  ve  denklem  sayısının  (n  tane)  eşit 
olmasıdır.  Bunların  farklı  olması  hallerinde  oluşacak  sistemler,  bu  çalışmada  konu 
edilmeyecektir.  Ayrıca  bu  tür  simultane  sistemlerin  bazı  yapısal  özelliklerine  göre  ortaya 
çıkacak ayrıcalıklı durumları, örneğin lineer olup olmadığı, homojen olup olmadığı, sabit ya 
da değişken katsayılı olup olmadığına bakılarak, kendi içinde bir sınıflandırma yapılmaktadır. 
Bu  sınıflandırma  çözüm  yöntemlerin  çeşitlenmesine  ve  özel  bazı  yöntemlerin  oluşmasına 
neden  olmaktadır.  Bunları  konu  ilerledikçe  göreceğiz.  Ayrıca,  matematik  analizin  diğer  ve 
farklı  konularından  yararlanarak  ilginç  çözüm  yöntemleri  geliştirilecektir.  Örneğin  bu  tür 
sistemlerin  çözümünde  Matris  Analizini  kullanmak  ya  da  Laplace  Dönüşümlerinden 
yararlanmak, sanırım çalışmamıza ilginç bir boyut katacaktır. Bir matematikçi olarak, bu gibi 
konuları geliştirirken, hayli bilgi birikimine gereksinim olduğu anlaşılmaktadır. Matematikçi 
için  bu  gibi  çalışmalar  bir  amaç  iken,  uygulayıcılar  için  bu  bilgileri  kullanmak,  bir  araç 
olmaktadır.        
 
Örnek.
1
 
Aynı  mamulün  satışını  yapan  A  ve  B  firmaları,  toplam  satışları 
  ve 
oranlarında 
paylaşmaktadırlar.  Yani  A  nın  piyasadaki  hissesinin  oranı    iken  B  ninki    olmak  üzere, 
 dir. Her iki firma da piyasadaki hissesini reklam yoluyla arttırmaya çalışmaktadır. A 
ve B nin yıllık reklam harcamaları sırasıyla s
1
 ve s
2
  liradır. A firmasının piyasa hisse-sinin 
değişme hızının (
) izafi reklam harcaması ile B nin piyasa hissesinin çarpımından B nin 
izafi  reklam  harcaması  ile  kendi  piyasa  hissesi  çarpımının  farkı  ile  orantılı  değiştiği  kabul 
edilmektedir. 
Bu açıklamalara ve kabule göre, k
1
 ve k
2
  sabit katsayılar olmak üzere, A ve B firmaları için 
aşağıdaki ilişkiler oluşturulabilecektir: 
1
1
2
2
1
2
1
2
k s
k
s
dx
y
x
dt
s
s
s
s








 
2
2
1
1
1
2
1
2
k s
k s
dy
x
y
dt
s
s
s
s








 
Bu bağıntılar, görülen ortak gösterimler yardımıyla, aşağıda görülen bir diferansiyel denklem 
sistemi şeklinde ifade edilmiş olacaktır. 
1
1
1
2
2
2
2
2
      
         
   
 
 
  ,  
dx
y
x
k s
dt
dy
k
s
x
y
dt
k s
s
s
























 
 
 
 
                                                      
1
 Bülent KOBU, İşletme Matematiği, Cilt 2, İÜ Yayınları No.1699,  3.Baskı, 1981, s.164        
x
y
x
y
  1
x y
 
dx
dt

7 
 
 
 
Örnek.
2
 
Şekil  2.1.  de  görülen  elektrik  devresinde  A  anahtarı  uzun  süre  açık  bırakıldıktan  sonra  t=0 
anında kapatılmaktadır. Endüktanslarda herhangi bir enerjinin depo edilmediğini, yani i
1
(0)=0 
ve  i
2
(0)=0  kabul  ederek,  anahtar  kapatıldıktan  sonra  endüktanslardan  geçecek  olan  i
1
(t)  ve 
i
2
(t) akımlarının, zamanın fonksiyonu olarak değişim ifadelerini bulunuz.
 
 
Şekil 2.1. 
Elektrik devresi
 
 
Kirchhoff  kanunu sırası ile ABCD ve ABEF gözlerine uygulanırsa: 




1
1
2
1
2
1
2
2
10 20
30
0.5
10 20
10
1
di
i i
i
dt
di
i i
i
dt







 
   olup, yeniden düzenleyelim: 
 
 
 
 
 
olur. 
Burada verilmiş  olan iki örnek, değişik uygulama alanlarında nasıl  kullanıldığını göstermek 
içindi. Burada sadece denklemlerin kuruluşu ile ilgili bir çalışma yapılmış olup, bunların nasıl 
çözüleceğine dair uygulamalar son bölümde yer alacaktır. 
 
02.03. Çözüm Kavramı ve Çeşitleri 
(2.1) sistemini sağlayan n tane fonksiyon  
𝑥 =
1

 
t
, 𝑥 =
 
2
t

, … ,𝑥 =
 
n
t

 
olsun.  Bu  fonksiyonlar,  (2.1)  sistemindeki  her  bağıntıyı  özdeş  olarak  sağlayacaktır.  Bunlar 
topluca, sistemin bir çözüm takımı olurlar. Çözüm olan bu fonksiyonlar ayrıca lineer bağımsız 
olmalıdırlar.  
                                                      
2
 Raşit MOCAN, Diferansiyel Denklemler ve Diferansiyel Denklem Sistemleri, Yıldız Üniversitesi Yayını 
No.137 1977,s.236 
1
1
2
2
1
2
0.5
50
20
10
20
30
10
di
i
i
dt
di
i
i
dt







8 
 
 
 
Diferansiyel  denklemlerin  çözümünde,  keyfi  sabitlerin  bulunması  kuralı  sistemler  için  de 
geçerlidir.  Keyfi  sabitleri  içeren  bir  çözüm  Genel  Çözüm  olarak  adlandırılır.  Eğer  sistemle 
birlikte yeterince başlangıç koşulu verilmiş ise bunlar yardımıyla keyfi sabitler belirlenir. Bu 
şekilde oluşacak çözüme ise Özel Çözüm denir.  
Diferansiyel  denklem  sisteminin  bir  çözümü  de,  Tekil  (Singüler)  Çözüm’  dür.  Genel 
çözümden elde edilemeyen ve keyfi sabit bulundurmayan çözüm takımı, tekil çözüm olarak 
adlandırılır.      
 
02.04. Mertebe  
Bir  diferansiyel  denklem  sistemindeki  her  bilinmeyen  fonksiyonun  en  yüksek  türev 
mertebelerinin toplamı, sistemin mertebesi olur. Örneğin,            
 
2
2
2
2
2
2
2
dx
d y
x
y t
dt
dt
d x
dy
x y t
dt
dt

 



 
 
diferansiyel  denklem  sisteminde  x(t)  fonksiyonunun  mertebesi  2  (ikinci  denklemde)  ve  y(t) 
fonksiyonunun  metresi  de  2  (birinci  denklemde)  olduğundan  sistemin  mertebesi  2  +  2  =  4 
olur.  
 
Genel  olarak,  (2.1)  sistemini  meydana  getiren  x
1
(t),  x
2
(t),  …,  x
n
(t)  bilinmeyen 
fonksiyonlarının, sistem içinde hangi bağıntıda olursa olsun, en yüksek mertebeleri sırasıyla 
m
1
, m
2
, … , m
n
 ise (2.1) sisteminin metre-besi m
1
 + m
2
 + … + m
n
 toplamı olacaktır. 
 
02.05. Türeterek Yok Etme Yöntemi 
Bu  yöntemin  esas  amacı,  sistemdeki  bağıntıları  türetmek  suretiyle bağıntı  sayısını  artırarak, 
bunlar  arasında  uygun  seçilmiş  denklemlerle  yapılacak  işlemler  yardımıyla  bilinmeyen 
fonksiyonlardan  birini  yok  etmektir.  Bu  şekilde  tek  bir  bilinmeyen  fonksiyona  bağlı  bir 
bağıntı  elde  edilir  ki  artık  bu  bir  diferansiyel  denklemdir.  Bu  denklem  çözülürse 
(çözülebilirse) bu yolla bilinmeyenlerden biri belirlenmiş olur.    
Diğer bilinmeyenin belirlenmesi için iki seçenek vardır:   
1) İlk uygulamada olduğu gibi hareket etmek;   
2)  Bulunan  ilk  sonucun  uygun  olduğu  düşünülen  denklemde  yerine  konularak,  o  bağıntıyı 
yeni değişkene göre düzenlemek…  
Ancak bu uygulamalarda, keyfi sabitlerle ilgili bazı özel işlemlere gereksinme vardır. Farklı 
uygulamalar görülür. Burada anlatılmak istenilen çözüm kavramını aşağıda verilen sistem ile 
açıklayalım:  
 
 

9 
 
 
 
 
      


, , ,
,
0
                                                        2.2
, , ,
,
0
dx dy
F t x y
dt dt
dx dy
G t x y
dt dt

 





 




 
diferansiyel denklem sisteminde iki bağıntı bulunmaktadır. Bunları türetelim:     
                         
 
          
 
2
2
2
2
2
2
2
2
0
                       2.3
0
F
F dx
F dy
F d x
F d y
t
x dt
y dt
x dt
y
dt
G
G dx
G dy
G d x
G d y
t
x dt
y dt
x dt
y
dt










































 
olur. (2.2) ve (2.3) denklemlerinden herhangi işlemlerle 
, ', ''
y y y
 çözülerek uygun görülen bir 
bağıntıda yerlerine konursa, bu bağıntı düzenlendiğinde 
                                    
( , , ', '') 0
H t x x x

                                                                                (2.4)   
elde  edilir.  Bu  bağıntı  x  bilinmeyenine  göre  düzenlenmiş  2.mertebeden  bir  diferansiyel 
denklemdir. Çözümü iki keyfi sabit içerecektir. Çözüm: 
1
2
( , ,
)
x
f t C C

 
olur.  Bundan  sonra  y  bilinmeyeni  belirleme  için,  yukarıda  açıklanan  yollardan  biri  seçilir. 
Ancak  seçilen  yolda  işlemler  açısından  zorlukla  karşılılırsa,  diğer  yol  kullanılmalıdır.  x 
belirlendiğine  göre  y için işlemlere  yeniden başlanmalıdır. (2.2) ve (2.3) denklemlerinde bu 
kere 
, ', ''
x x x
 bulunarak, uygun bir bağıntıda yerlerine yazılırsa 
( , , ', '') 0
G t y y y

  
diferansiyel  denklemi  elde  edilir.  Bu  denklem  çözülür.  Çözümünde  iki  keyfi  sabit 
bulunacaktır. Öyle çözüm 
3
4
( ,
,
)
y F t C C

 
olur. Bunlar sistemin çözüm takımı olacaktır. Ancak sistemin mertebesi 2 olduğu için çözüm 
takımında  ancak  iki  keyfi  sabit  bulunmalıdır.  Şimdi  yapılması  gereken  keyfi  sabitler 
arasındaki  ilişkileri  düzene  sokmaktır.  Bu  dört  keyfi  sabit  birbirlerinden  lineer  bağımsız 
olamazlar.  Bu  amaçla  bulunan  x  ve  y  çözümleri  seçilen  bir  bağıntıda  yerlerine  konarak, 
gerekli düzenlemeler yapılırsa 
C
3
 = u (C
1
, C
2
)   ;  C
4
 = v (C
1
, C
2
) 
bulunur. Böylece y çözümü 
y = F[t , u(C
1
, C
2
) , v(C
1
, C
2
)] 
olup,  C
1
  ve  C
2
  keyfi  sabitlerini  içerecek  şekilde  bulunmuş  olur.  Sonuçta  sistemin  genel 
çözümü: 
x = f (t, C
1
 , C
2
) 
y = F[t, u(C
1
,C
2
) , v(C
1
,C
2
)] 

10 
 
 
 
olur. İleride bu tür sistemlerin çözümüne dair örnekler verilecektir 
02.06. Kanonik Sistem 
Aşağıdaki özelliklere sahip bir sisteme Kanonik Sistem denir.  
1) Bilinmeyen fonksiyon sayısı ile denklem sayısı eşit olacak, 
2) Sistemdeki her denklem, bilinmeyen fonksiyonlardan birinin en yüksek türev mertebesine 
göre çözülmüş olacak. 
Bu özellikte bir sistem örneğin  
1
1
1
1
1
2
3
3
2
1
1
1
1
2
3
3
3
1
1
1
1
2
3
3
( , ,
,
, , ,
)
( , ,
,
, , ,
)
( , ,
,
, , ,
)
x
F t x x x x x x
x
F t x x x x x x
x
F t x x x x x x

 



 



 


 
görünüşündedir.  Bu  sistem  öne  sürülen  iki  koşula  da  uymaktadır.  Aşağıdaki  örnek  konuya 
açıklık getirmektedir: 
2
x
x
y
y
y
x y
t




 



  
 
Dinamikte  bir  noktanın  hareket  denklemleri  bir  diferansiyel  denklem  sistemi  oluşturur.  Bu 
denklem sistemi şudur: 
2
1
2
2
2
2
2
3
2
, , , ,
,
,
, , , ,
,
,
, , , ,
,
,
d x
dx dy dz
m
F t x y z
dt
dt dt dt
d y
dx dy dz
m
F t x y z
dt
dt dt dt
d z
dx dy dz
m
F t x y z
dt
dt dt dt



 



















 
Bu sistem, kanonik sistemin bütün özelliklerine sahiptir. 
 
02.07. Normal Sistem 
Aşağıda belirtilmiş özelliklere sahip bir sisteme Normal Sistem denir.  
1) Bilinmeyen fonksiyon sayısı ile denklem sayısı eşit olacak, 
2)  Sistemde  her  bilinmeyen  fonksiyonunun  ancak  ve  ancak  birinci  metre-  beden  türevleri 
bulunabilecek, 
3) Sistemin her bir denklemi, bilinmeyen fonksiyonlardan birinin, birinci mertebeden türevine 
göre çözülmüş olacak… 
Aşağıdaki örnek bu koşullara uyan bir sistemi temsil etmektedir: 

11 
 
 
 






1
2
3
, , ,
, , ,
, , ,
dx
F t x y z
dt
dy
F t x y z
dt
dz
F t x y z
dt



 
Normal  sistem,  kanonik  sistemin  özel  bir  durumunu  temsil  etmektedir.  Dikkat  edilirse, 
sistemdeki  denklemlerden  her  biri  bilinmeyen  fonksiyonlardan  birine  göre  çözülerek