Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

1
( )
1
1
(
1) 0
3
1
2



 





 



 
olduğu  hesaplanır.  Buna  göre  karakteristik  denklemin  kökleri 
1
2
3
1,
0,
1



 

   olur. 
Şimdi bu köklerin her biri için temel çözüm takımları tek tek belirlenmelidir. 
1
1

   için: 
1
( )
( )
( 1) 0



 
     olup, bu değer için karakteristik sistem  
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0
0
3
3
0
k
k
k
k
k
k
k
k
k
  

   

  


     olup,  
bunu sağlayan bir keyfi değer takımı 
1
2
3
1,
0,
1
k
k
k
 

  olarak bulu-nur. Bunlar için temel 
çözüm takımı  
1
1
1
( )
, ( ) 0 *
0, ( )
t
t
t
x t
e
y t
e
z t
e



 



 şeklinde oluşur. 
2
0

  için: 
2
( )
( )
(0) 0



 
 
  olup, bu değer için karakteristik sistem  
1
2
3
1
3
1
2
3
2
0
0
3
2
0
k
k
k
k
k
k
k
k
 


  

  


 
şeklinde  oluşur.  Bunlardan 
1
2
3
k
k
k
      ilişkisi  bulunur.  Keyfi  olarak 
1
1
k
   alınırsa 
2
3
1,
1
k
k
 
  olur. Böylece 
2
0

  a karşın oluşan temel çözüm takımı 
2
2
2
( ) 1, ( )
1, ( )
1
x t
y t
z t

 
   şeklini alır. 
3
1

  için: 
3
( )
( )
(1) 0



 
 
  olup, bu değer için karakteristik sistem  
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
0
0
3
0
k
k
k
k
k
k
k
k
k
  

   

   

 

34 
 
 
 
şeklinde  oluşur.  Bunlar  arasında  oluşan 
1
3
2
0,
k
k
k

    şeklindeki  ilişkiden,  keyfi  olarak 
2
1
k
  alınırsa 
3
1
k
  olacağından, üçüncü temel çözüm takımı da  
3
3
3
( ) 0.
0,
( )
,
( )
t
t
t
x t
e
y t
e
z t
e



 
 
olarak bulunmuş olur. 
 
Bu  çalışmalardan  sonra  artık  diferansiyel  denklem  sisteminin  genel  çözümünün  yazılması 
aşamasına gelinmiştir. 
1
2
3
,
,
C C C  herhangi üç keyfi sabiti gösterdiklerine göre genel çözüm : 
1
2
1 1
2 2
3 3
1 1
2 2
3 3
2
3
1 1
2 2
3 3
1
2
3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
t
t
t
t
x t
C e
C
x t
C x t
C x t
C x t
y t
C y t
C y t
C y t
y t
C
C e
x t
C z t
C z t
C z t
z t
C e
C
C e



 











  












 
olarak bulunur. 
02.13.02.Karakteristik Denklemin Çakışık Kökleri Olması Hali: 
(2.14) sistemini incelerken oluşan 
( ) 0



 karakteristik denkleminin 
1
2
3
, ,
  
 köklerinden 
ikisi  ya  da  üçü  birden  birbirine  eşit  olması  durumunda,  çözüm  takımları  belirlenirken 
yapılacak  seçim  artık  basit  köklerde  olduğu  şekilde  olamaz.  Çünkü  biliyoruz  ki  bu  şekilde 
oluşacak  çözüm  takımları  birbirine  lineer  bağımlı  olamazlar.  Bu  nedenle  ve  bu  durumda 
çözüm takımları oluşturulurken aşağıda açıklandığı şekilde hareket edilmelidir.  
( ) 0



 denkleminin kökleri, diyelim ki 
1
2
3
,
 

  şeklinde bulun-muştur. Burada da her 

 
değeri için ayrı ayrı hesaplamalar yapılacaktır. Sadece farklı olan, eşit olan köklerden biri için 
uygun bir düzenleme yapmaktan ibarettir. Bunu nasıl yapılacağını, adi diferansiyel denklem-
lere ait bilgilerimiz yardımıyla çözümleyeceğiz. Bu amaçla, Cilt 
.

 sayfa 199 daki açıklamalar 
bir kez daha gözden geçirilmelidir. 
1
 
  ve 
2
 
 için, basit köklerde olduğu şekilde işlemler yürütülür. Farklı uygulama 
2

 ile 
çakışık olan 
3
 
  yapılacaktır. Bunun için yapılacak düzenlemede, önerilen çözüm takımı 
t
 
ile çarpılı olmalıdır. Böylece 
0
w
  olması koşulu en basit şekilde sağlanacaktır. Problemin 
işlenişi  önceki  örneklerde  görüldüğü  şekilde  gerçekleşecektir.  Aşağıdaki  örnek,  konunun 
pekiştirilmesine katkı sağlayacaktır. 
Örnek.  
3
dx
x y
dt
dy
x
y
dt

  



 

 
sistemini inceleyelim. Sistemin bir çözüm takımı 
1
2
( )
, ( )
t
t
x t
k e
y t
k e




     
 olsun. 

35 
 
 
 
1
2
,
t
t
dx
dy
k e
k e
dt
dt






 
olup bunlar birlikte denklem sistemini sağlamalıdır. Buna göre 
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
(
1)
0
(
3)
0
3
t
t
t
t
t
t
k e
k e
k e
k
k
k
k
k e
k e
k e











 








  

 




 
olur.  Böylece  karakteristik  sistem  bulunmuştur. 
1
2
0
k
k

   için  bu  sistem  kendiliğinden 
sağlanır ki bu aşikar çözümdür. Bunun için çözüm takımından 
( )
( ) 0
x t
y t


 olur ki bu da 
diferansiyel denklem sisteminin aşikâr çözümüdür. 
Şimdi diğer çözümlerin araştırılmasına geçilebilir. Bunun için öncelikle karakteristik denklem 
bulunmalıdır. 
2
1
1
( )
(
1)(
3) 1
4
4 0
1
3












  

 


 
olup  bu  ise 
2
1,2
(
2)
0
2



 
 
  köklerini  verir.  Böylece  çakışık  köklerle  karşılaşılmış 
olur.  Çözüm  takımları  her  iki  kök  için  ayrı  ayrı  hesaplanmalıdır.  Ancak  buradaki  ikircikli 
durum çakışık kökten kaynaklanır. Bunun için gerekli açıklama aşağıda yapılacaktır. 
1
2

   ilk kök için: 
1
( )
( )
( 2) 0



 
     olup buna karşı gelen çözüm takımı  
2
2
1
1
1
2
( )
, ( )
t
t
x t
k e
y t
k e




  olsun. Karakteristik sistem 
1
2
1
2
0
k
k
k
k

    verir. Keyfi olarak 
1
1
k

 seçilirse 
2
1
k
  olur. Böylece ilk çözüm takımı  
2
2
1
1
( )
, ( )
t
t
x t
e
y t
e




 olarak belirlenir. 
2
2

   çakışık kök için :
2
( )
( )
( 2) 0



 
     olur. Bu kez çözüm takımı öncekinden 
farklı olarak düzenlenmelidir. Biliyoruz ki çözüm takımını oluşturan fonksiyonlar için 
0
w
  
olmalıdır.  Bunun  anlamı, 
( ), ( )
x t y t
  nin  lineer  bağımlı  olamayacaklarıdır.  Bu  açıklamalar 
dikkate alınarak, çakışık kök 
2

   için çözüm takımı bu kez  
2
2
2
1
1
2
2
2
( ) (
)
,
( ) (
)
t
t
x t
k t l e
y t
k t l e






şeklinde düzenlenmelidir. Bunlar diferansiyel denklem 
sistemini sağlamalıdır.  
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2(
),
(
)
t
t
t
dx
dy
k e
k t l
k e
k t l e
dt
dt









 
olup, terimler 
2t
e

 ile sadeleştirilir ve gerekli düzenleme yapılırsa  
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
(
)
0
(
)
0
k
k t l
l
k
k
k t l
l
k

   



   

 
sistemine ulaşılır. Buradan 
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
0
1
1
(
),
(
)
2
2
k
k
k
k
l
k
k l
k
k

  




 

36 
 
 
 
ilişkileri  bulunur. 
1
2
k
k
  için 
1
1
2
,
0
l
k l

  oldukları hesaplanır. Keyfi olarak 
1
1
k
 seçilirse 
1
2
1
2
1,
1,
1,
0
k
k
l
l



  bulunur. Artık bu ikinci köke karşı gelen çözüm takımının 
2
2
2
2
( ) (
1)
,
( )
t
t
x t
t
e
y t
te


 

  
olduğu  yazılabilecektir.  Bu  sonuçlardan  yararlanarak  diferansiyel  denklem  sisteminin  genel 
çözümünün ifade edilebilmesi artık olanaklıdır. 
1
C  ve 
2
C  keyfi sabitler olmak üzere 
2
2
1
2
2
2
1
2
( )
(
1)
( )
t
t
t
t
x t
C e
C t
e
y t
C e
C te









 
bulunur. 
 
02.13.03 Karakteristik Denklemin Karmaşık Kökleri Olması Hali: 
(2.14)  sistemini  incelerken  karşılaşılacak  bir  durum  da 
( ) 0



  karakteristik  denkleminin 
kökleri  arasında  karmaşık  (kompleks)  sayılar  bulunabilmesidir.  Burada  hemen 
anımsatılmalıdır ki bu tür sayılar daima eşleniği ile birlikte var olurlar Örneğin 
1 2i
  kök ise, 
mutlaka o problemde 
1 2i
  de köktür. 
Bu  dikkate  alınarak,  bu  sistemin  genel  çözümünü  yazabilmemiz  için  bulmamız  gereken 
çözüm takımları önceki çalışmalarımızdan farklı bir yapısal imajı gerektirmektedir. 
1
2
3
( )
, ( )
, ( )
t
t
t
x t
k e
y t
k e
z t
k e






 
olarak önerilen çözüm takımı için belirleyici işlemler önceki çalışmalarımızda olduğu şekilde 
yürütülür.  Farklılık 
( ) 0



karakteristik  denkleminin  köklerinin  karmaşık  sayılar  içermesi 
halinde  ortaya  çıkar.  Seçilen  modelde 
( )


,  3.dereceden  bir  cebirsel  denklem  olacağı  için, 
bunun  bir  kökü  reel,  diğer  iki  kökü  karmaşık  sayılar  olacaktır.  Şunu  da  biliyoruz  ki, 
tekrarlarsak,  karmaşık  sayılar,  mutlaka  eşlenik  kökleriyle  birlikte  bulunurlar  Yani 
2
1
i
 
 
olmak üzere, 
+i kök ise 
i
 

 da diğer köktür. Bu ayrıntı, problem çözerken bize kolaylık 
sağlayacaktır. Kökler 
1
2,3
,
i
   






 olsunlar. 
1
1
1
1
11
1
21
1
31
(
)
(
)
(
)
2
12
2
22
2
32
(
)
(
)
(
)
3
13
3
23
3
33
( )
, ( )
, ( )
( )
, ( )
, ( )
( )
, ( )
, ( )
t
t
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
x t
k e
y t
k e
z t
k e
x t
k e
y t
k e
z t
k e
x t
k e
y t
k e
z t
k e



 
 
 
 
 
 




















 
ile bunların türevleri birlikte (2.14) denklem sistemini sağlarlar. 
Buradan  her  kök  ya  da  her  çözüm  takımı  için  karakteristik  sistem  ayrı  ayrı  düzenlenerek 
araştırmaya devam edilir. Örneğin 
3
i
 

 
  için  
1
1
1 2
1 3
2 1
2
2
2 3
3 1
3 2
3
3
[
(
)]
0
[
(
)]
0
[
(
)]
0
a
i
k
b k
c k
a k
b
i
k
c k
a k
b k
c
i
k




 




















 

37 
 
 
 
karakteristik  denklem  sistemi  oluşur.  Bu  denklemlerin  ortak  özelliği,  hepsinin  
1
2
3
0
k
k
k


  için aşikâr olarak sağlanacak olmasıdır. 
Buna  karşın  çözüm  takımından 
( )
( )
( ) 0
x t
y t
z t



  olur  ki  bu  da  diferansiyel  denklem 
sisteminin aşikar çözümüdür. 
Problemin  çözümünün  ayrıntılarının  diğer  açıklamaları  aşağıda  yer  verilmiş  olan  örnek 
üzerinde yapılacaktır. 
Örnek. 
1
2
1
2
dx
x y
dt
dy
x
y
dt


 
 
lineer-homojen diferansiyel denklem sistemi verilmiştir. İnceleyelim: 
Temel çözüm takımı 
1
2
( )
, ( )
t
t
x t
k e
y t
k e




  olsun.  Türevleriyle  birlikte  sistemde  yerlerine  konursa, 
sadeleştirmeler sonunda  
1
2
1
2
1
(
)
0
2
1
(
)
0
2
k
k
k
k


 




  


 
olur. 
2
1
1
1
2
( )
(
)
1 0
1
2
1
2









 


 
dan 
1,2
1
2
i



 bulunur. Görüldüğü gibi kökler bir çift eşlenik karmaşık sayıdır. 
1
1
2
i

 
 için : 
1
1
( )
( )
(
) 0
2
i



 
 
 
 olup, bunun için sistemden hareket edilerek 
2
1
k
ik

 
bulunur. Keyfi olarak 
1
1
k
 alınırsa 
2
k
i

 olur. Böylece 
1

 köküne karşı gelen çözüm takımı  
1
1
(
)
(
)
2
2
1
1
( )
, ( )
i t
i t
x t
e
y t
ie




       
olur.  

38 
 
 
 
2
1
2
i

 
 için : 
2
1
( )
( )
(
)
0
2
i



 
 
 
 olup, bunun için sistemden hareketle 
2
1
k
ik
   
bulunur. Keyfi olarak 
1
1
k
  alınırsa 
2
k
i
 
 olur. Böylece  
2

  köküne karşı da çözüm takımı 
1
1
(
)
(
)
2
2
2
2
( )
, ( )
i t
i t
x t
e
y t
ie



 
  
şeklinde  oluşur.  Artık  genel  çözümü  yazmak  olanaklıdır. 
1
c ve 
2
c   herhangi  iki  keyfi  sabit 
olmak üzere 
1
1
(
)
(
)
2
2
1 1
2 2
1
2
1
1
(
)
(
)
1 1
2 2
2
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
i t
i t
i t
i t
x t
c x t
c x t
x t
c e
c e
y t
c y t
c y t
y t
c ie
c ie





















 
bulunur. 
Uyarı 1. 
Karmaşık  sayılarla  ilgili  çalışmalarda  genellikle  trigonometrik  ifadeler  yeğlenmektedir.  Bu 
şekilde  daha  basit  ifadeler  elde  edilebilmektedir.  Bunu  yapabilmek  için,  karmaşık  sayılara 
ilişkin 
cos
sin
inx
e
nx i
nx



  bağıntısından  yararlanmak  gerekecektir.  Bunun  yardımıyla, 
keyfi  sabitler  de  uygun  düzenlenerek 
i
  sanal  sayısından  bağımsız  bir  sonuç  ifade  edile-
bilecektir. Bunu problemimizin sonucuna uygulayalım: 
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
*
*
[
]
*
*
[
]
[ (cos
)
(cos
sin )]
[ (cos
)
(cos
sin )]
[(
)
t
t
t
it
it
it
it
t
t
t
it
it
it
it
t
t
t
x c e
e
c e
e
x e c e
c e
y c ie
e
c ie
e
y e c ie
c ie
x e c
t isint
c
t i
t
y e c i
t isint
c i
t i
t
x e
c
c





























 
 







1
2
1
2
1
2
1
2
cos
(
) sin ]
[ (
) cos
(
) sin ]
t
t i c
c
t
y e i c
c
t
c
c
t





 




 
olur.  Burada 
1
K   ve 
2
K   keyfi  sabitleri,   
1
2
1,
1
2
2
(
)
c
c
K c
c i
K




  olarak  seçilirse 
diferansiyel denklem sisteminin genel çözümü  
1
2
1
2
1
2
2
1
( )
[
cos
sin ]
( )
[
cos
sin ]
t
t
x t
e K
t K
t
y t
e K
t K
t









 
olarak,  önceki  sonuca  göre  çok  daha  sade  bir  şekilde  düzenlenmiş  olur.  Çözümde 
i
  sanal 
sayısının görülmediğine dikkat edilmelidir. 

39 
 
 
 
Uyarı 2. 
Yukarıda, karmaşık köklerin eşlenik çiftler halinde bulunacağı anımsatılmıştır. Bu özellikten 
yararlanarak, bu tür bir problem, çok daha kısa yoldan çözümlenebilir. 
1
1
2
i

 
 için çözüm takımı 
1
1
(
)
(
)
2
2
( )
, ( )
i t
i t
x t
e
y t
ie




  şeklinde  oluştuğu  görülmüştür. 
1
1
2
i

 
  ile   
2
1
2
i

 
  kökleri 
karşılaştırılırsa farkın sadece  
1

 deki 
i

 yerine 
2

 de 
i

 olduğu görülür. Öyleyse yukarıdaki 
çözüm takımında 
i

 yerine 
i

 
konarak, ikinci çözüm takımı, hiçbir hesaba gerek kalmaksızın yazılabilecektir: 
1
1
(
)
(
)
2
2
( )
, ( )
i t
i t
x t
e
y t
ie



 
 
Uyarı 3. 
Lineer-homojen  sistemlerin  yukarıdan  beri  yapılan  incelemesi  oldukça  güçlükler  arz  eder; 
uzun hesapları gerektirir. Oysa bu denklem sistemlerinin operatörler yardımıyla çözümü bazı 
kolaylıklar sağlamaktadır. Bu konu da kitabımızda yer alacaktır.  
02.14. Alıştırma Problemleri ve Yanıtları 
Aşağıdaki denklem sistemlerini türetme-yok etme yöntemini kullanarak çözünüz: 
1)  
'( )
'( )
x t
y t
y t
x t
 
 
 
 
Yanıt:  
1
2
1
2
( )
1
( )
1
t
t
t
t
x t