MATEMATİK BÖLÜMÜ
Y I L D I Z T E K N İ K Ü N İ V E R S İ T E S İ
F E N - E D E B İ YAT FA K Ü LT E S İ
Prof. Yav
KSOY
uz A
CİLT 2
DİFERANSİYEL
DENKLEMLER
Ü N İ V E R S İ T E
Y A Y I N
N O :
Y T Ü . F E . D K - 2 0 1 7 . 0 9 0 5
YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BASIM-YAYIN MERKEZİ / İSTANBUL-2011
DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ – LİNEER
SİSTEMLER – HOMOGEN SİSTEMLER – MATRİSLER -
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ – KUVVET SERİLERİ -
SAYISAL YÖNTEMLER – OPERATÖRLER - GRAFİK
YÖNTEM – ÇEŞİTLİ ALANLARDA UYGULAMALAR
Yrd. Doç. Dr. E .Mehmet ÖZKAN
Yıldız Teknik Üniversitesi Yönetim Kurulu’nun
12.10.2017 tarih ve 2017/23 sayılı Toplantısında Alınan karara göre
Üniversitemiz Matbaasında 550 (Beşyüzelli) adet bastırılan,
“Diferansiyel Denklemler” adlı telif eserin her türlü
bilimsel ve etik sorumluluğu yayına hazırlayanlara aittir.
T.C.
YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ
FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ
Y.T.Ü. Kütüphane ve Dokümantasyon Merkezi Sayı
YTÜ.FE.DK-2017.0905
Baskı
Yıldız Teknik Üniversitesi
Basım-Yayım Merkezi-İstanbul
Tel: (0212) 383 34 43
DİFERANSİYEL DENKLEMLER
(Cilt 2)
Prof. Yavuz AKSOY
Yrd. Doç. Dr. E .Mehmet ÖZKAN
ISBN: 978-975-461-541-8
Bütün Hakları Saklıdır. c 2017, Yıldız Teknik Üniversitesi
Bu eserin bir kısmı veya tamamı, Y.T.Ü. Rektörlüğü’nün izni olmadan,
hiçbir şekilde çoğaltılamaz, kopya edilemez.
Prof. Yaşar ÖZDEMİR’in
ANISINA
DİFERANSİYEL DENKLEMLER ~ CİLT 2
2017
Prof. Yaşar ÖZDEMİR
KİMDİR ?
Yaşar ÖZDEMİR 1932 yılında, Ağrı ilinin Doğu Beyazıt ilçesinde dünyaya gelmiştir. Henüz
çocuk iken babasının işi gereği İstanbul’a gelmişler ve bundan sonraki yaşamı burada
geçmiştir. Öğrenimini sırasıyla Sultanahmet İlkokulu, Cağaloğlu Orta Okulu ve İstanbul Erkek
Lisesi’nde tamamlamıştır. Yükseköğrenimini 1954 yılından başlayarak İstanbul Üniversitesi
Fen Fakültesi Matematik Enstitüsü (Bölümü)’nde yapmıştır. 1962 yılında mezun olduktan
sonra, 1962-1964 yılları arasında askerlik görevini tamamlamıştır.
1964 yılında İstanbul Teknik Okulu’na matematik asistanı olarak kabul edildi. Bu kurumun
bütün değişim süreçlerini bizzat yaşadı ve görevlerine devam etti. Akademik çalışmalarını
devam ettirdi. 1974 yılında öğretim görevlisi oldu. Bu sırada, doçentlik çalışmaları ile ilgili
olarak Fransa’ya gitti. Dönüşünde doçentlik çalışmalarına hız verip 1979 yılında doçent oldu.
Bu görev daha sonra Yıldız Üniversitesi bünyesinde de devam etti. 1987 yılından itibaren,
Matematik Bölümü, Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Anabilim Dalı Başkanlığına yürüttü.
11.5.1989 tarihi itibariyle profesör olarak atandı. 1994 yılından itibaren üç yıl süreyle
Matematik Bölümü Başkanlığı yaptı. 1997 yılında emekli oldu.
Prof. Özdemir öğretim üyeliği süresi içinde lisans ve yüksek lisans eğitim programlarında şu
dersleri vermiştir: Diferansiyel ve İntegral Hesap, Matematik Analiz, Kısmi Diferansiyel
Denklemler, Operasyonel Hesap, İki Değişkenli Laplace Dönüşümleri, İleri Kısmi Türevli
Diferansiyel Denklemler, Özel Diferansiyel Denklemler
Üniversitenin bazı birimlerinde yönetim görevlerinde bulunmuştur. Atatürk İlkeleri ve İnkılap
Tarihi Bölümü Başkanlığı; Atatürk İlkeleri ve İnkılap Tarihi Araştırma ve Uygulama Merkezi
Müdürlüğü de yapmıştır. Yıldız Koruma ve Yaşatma Derneğinde, aktif olarak 1976-1994
yılları arasında yönetim kurulunda görev almış, bu yıllar içinde 2 yönetim dönemi, Dernek
Başkanlığı yapmıştır.
O, Aksoy’un 62 yıllık arkadaşı, Özkan’ın da öğretmenidir. Aksoy ile 1954 yılında başlayan
üniversite sınıf arkadaşlığı hiç kesintisiz devam etmiştir. 7 Ekim 2016 günü aramızdan ayrıldı.
Nurlar içinde yat sevgili kardeşim.
Ö N S Ö Z
NİHAYET
Bu kitabımın 1.cildi 1990 yılında yazıldı ve ilk baskısı o yıl yapıldı. Aynı zamanda bir ders
kitabı olması nedeniyle kısa sürede tükendi. Ancak uzun yıllar yeni bir baskısı yapılamadı. Bu,
o zamanki teknik olanaksızlıklardan kaynaklanan bir sonuçtu. Üniversitemiz Basım ve Yayın
Merkezi kurulduktan bir süre sonra, 2001 yılında kitabın 2.Baskısı yapılabildi. Bunu 2004
yılındaki 3. Baskısı, 2006 yılındaki 4.Baskısı ve nihayet 2011 yılındaki 5.Baskısı izledi. Bu 5
baskının toplam tirajı 4750 adet oldu. Kitap halen satılmaktadır.
Bu baskıların hepsinde kitabın 2.cildinden söz edildi ve konuları bile belirlenmişti. Oysa ders
notları olarak yazılım hazırdı. Yıllarca derslerde anlattığım konulardı. Ancak işin kitap olarak
düzenlenmesi o zamanlar bizim için bir sorun oldu. O kadar yoğun matematik ifadeleri ve
bunları yazabilmek için kullanılacak olan o kadar çok sembol düzenlemesi yapılması
gerekiyordu ki işimizi engelleyen işin bu kısmıydı.
Çok sabır ve dikkat gerektiren bu yazılım işi, sevgili öğrencim ve mesai arkadaşım Yrd. Doç.
Dr. E. Mehmet ÖZKAN tarafından yerine getirilmiştir. Kitaptaki iki konu onun tarafından
düzenlenmiştir. Kitabın oluşumunda böyle bir iş paylaşımı vardır. Kitabın oluşumuna katkıları
nedeniyle Yrd. Doç. Dr. E. Mehmet ÖZKAN’a çok teşekkür ediyorum.
İnanıyorum ki aranan-sorulan bu kitap, kısa sürede tanınacak ve kullanılacaktır. 1.cildin
önsözünde bir de Kısmî Türevli Diferansiyel Denklemler’ den söz edilmişti. Bu da belki, ileriye
dönük ayrı bir çalışma olabilir.
Bütün çalışmalarımızda olduğu gibi, bu kitabın yazılımı sırasında da birçok kaynak eserden
yararlanılmıştır. Bilimsel etik gereğince kaynak olarak kullanılan bu eserler ya dip not olarak
sayfa altlarında ya da kitabın sonunda listelenerek gösterilmişlerdir. Yararlandığımız bu eserler
için yazarlarına ve yayıncılarına teşekkür borcumuz vardır.
NİHAYET! Diferansiyel Denklemler Cilt 2 adlı kitabımızı gerçekleştirmiş olduk. Böylece
okuyucularımıza yıllar öncesinden verilmiş bir sözümüzü de yerine getirmiş olmanın
mutluluğunu yaşıyorum. Bu benim 34. kitabım olacak. Böylece yazarlık kariyerime çok önemli
bir kitapla son vermiş olacağım. Saygıyla, sevgiyle…
Beşiktaş, 14 Şubat 2017 Prof. Yavuz AKSOY
Çok değerli doktora danışmanım Prof. Yavuz Aksoy hocam,
Benden bir ikinci önsöz yazmamı rica ettiğinizde duyduğum sevinç ve sizin gibi kıymetli
hocama ve bir o derece, matematiğe adım atmış ve ilerleyen herkese rehber olabileceğine
inancımın tam olduğu bir kitabın muhteşem yazım gücüne gölge düşürmeme telaşı eşliğinde,
önsözlerin okuyucuya yazılması adetinden ayrılarak, ben size ithafen tüm okuyucularınıza
seslenmek isterim.
İnsanın özel bir minnettarlığı ifade etmek için kullandığı en harika ifadelerden biridir
“Teşekkürler...”. Ancak çoğu kez, bunun içinde, bu tek kelimenin söyleyebileceğinden daha
fazlası vardır. Kalpten geldiğinde, “teşekkürler” çok şey ifade eder: Hayatımı değiştirdiniz,
yoluma ışık kattınız, bana verdiğiniz katkının değerinin ölçüsünü sonsuz kıldınız, yapmak
zorunda olmadığınız ama yaptığınız her şey için beni müteşekkir yaptınız ve tüm bunları hem
şahsıma hem de öğrencilerime aşılayacak gücü ve buna ait hayat felsefesini öğrettiniz...
Ülkemizin, yaşamı boyunca 33 tane kitap yazarlığı yapmış yegâne matematikçisi ile hem mesai
paylaşımı hem de akademik anlamda alışverişte bulunmuş olmaktan sonsuz mutluluk
duyduğumu hem size hem de bu satırları okuyan sevgili okuyucuya en kalbi dileklerimle
belirtmek isterim.
Öğrencilerimizin her daim sordukları “Diferansiyel Denklemler Cilt 2” başlıklı kitap ne
zaman çıkacak sorusuna artık rahatlıkla sizin de belirttiğiniz gibi “Nihayet” cevabını
veriyorum. Yalnız bu “nihayet” kelimesi sadece bu soruya yanıt olacaktır. Sizin “Elveda”
yanıtınızı bu kitabınızla taçlandırmanızı şimdilik kısa bir mola olarak kabul ettiğimi de buraya
not düşmek isterim. Bizleri matematik anlattığınız kitaplardan tarih anlattığınız kitaplara,
şiirlerinizi paylaştığınız kitaptan çevirilerini yaptığınız matematik kitabına uzanan geniş
spektrumdan mahrum bırakmayacağınız temennisiyle, bölümümüze, üniversitemize, ülkemize
kattığınız değerden ve yetiştirdiğiniz binlerce öğrenci ve her birinin sizden almış olduğu bilgi
ve görgü ile dolaylı olarak dokunduğunuz aile üyeleri adına bu kitabı bizlerle paylaştığınız için
şükranlarımı sunarım.
Sevgi, saygı ve hürmetlerimle “Teşekkürler”...
12 Mayıs 2017, Beşiktaş Yrd. Doç. Dr. E. Mehmet ÖZKAN
İÇİNDEKİLER
ŞEKİL LİSTESİ
1.BÖLÜM
GENEL BİLGİLER VE TEOREMLER
[BAŞLANGIÇ BİLGİLERİ - HATIRLATMALAR]
01.01. Giriş / 1
01.02. Tanım / 1
01.03. Sınıflandırılma / 2
01.04. Bir Diferansiyel Denklemin Oluşumu / 2
01.05. Lipschitz Koşulu / 3
01.06. Çözüm Kavramı / 3
01.07. Varlık ve Teklik Teoremleri / 4
2. BÖLÜM
DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ
02.01. Giriş / 5
02.02. Tanım / 5
02.03. Çözüm Kavramı Ve Çeşitleri / 7
02.04. Mertebe / 8
02.05. Türeterek Yok Etme Yöntemi / 8
02.06. Kanonik Sistem / 10
02.07. Normal Sistem / 10
02.08. Teorem / 11
02.09. Wronskien ve Çözümlerin Lineer Bağımlılığı / 19
02.10. Teklik Teoremi / 21
02.11. Asal İntegraller / 22
02.12. Mertebe Düşürmeye Dair Teorem / 28
02.13. Sabit Katsayılı Homojen Denklem Sistemleri / 29
02.13.01. Karakteristik Denklemin Basit Kökleri Bulunması Hali / 30
02.13.02. Karakteristik Denklemin Çakışık Kökleri Bulunması Hali / 34
02.13.03. Karakteristik Denklemin Karmaşık Kökleri Bulunması Hali / 36
02.14. Alıştırma Problemleri ve Yanıtları / 39
3. BÖLÜM
SİSTEMLERİN İNCELENMESİNDE MATRİSLERİN KULLANILMASI
03.01. Giriş / 41
03.02. Bazı Tanımlar / 41
03.03. Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri / 44
03.04. Sabit Katsayılı Lineer Homojen Diferansiyel Denklem Sistemleri / 44
03.05. Sabit Katsayılı Lineer Homojen Olmayan Diferansiyel Denklem Sistemleri / 45
03.06. Homojen Olmayan Lineer Sistem için Yöntemler / 52
03.06.01. Sabitlerin Değişimi Yöntemi / 52
03.06.02. Köşegenleştirme Yöntemi / 53
03.07. Alıştırma Problemleri ve Yanıtları / 57
4. BÖLÜM
DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN VE SİSTEMLERİN İNCELENMESİNDE
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN KULLANILMASI
04.01. Giriş / 58
04.02. Dönüşüm Hakkında Bazı Tanım Ve Teoremler / 58
04.03. Laplace Dönüşümü için Varlık Teoremi / 60
04.04. Bazı Temel Fonksiyonların Laplace Dönüşümleri / 60
04.05. Bazı Özel Fonksiyonların Laplace Dönüşümleri / 63
04.05.01. Basamak Fonksiyonu / 63
04.05.02. Rampa Fonksiyonu / 63
04.05.03. Darbe Fonksiyonu / 63
04.06. Laplace Dönüşümünün Temel Özellikleri / 63
04.06.01. Lineerlik Özelliği / 63
04.06.02. Birinci Kaydırma Özelliği / 64
04.06.03. İkinci Kaydırma Özelliği / 64
04.06.04. Skala Değiştirme Özelliği / 65
04.06.05. Türetilmiş Fonksiyonların Laplace Dönüşümleri / 65
04.07. t
n
.f(t) nin Laplace Dönüşümünün Bulunması / 67
04.08. Periyodik Fonksiyonların Laplace Dönüşümü / 68
04.09. Başlangıç ve Son Değer Teoremleri / 70
04.09.01. Başlangıç Değer Teoremi / 70
04.09.02. Son Değer Toremi / 71
04.10. Ters Laplace Dönüşümü / 73
04.10.01. Tanım / 73
04.10.02. Learch Teoremi / 73
04.11. Ters Laplace Dönüşümünün Bazı Özellikleri / 74
04.11.01. Lineerlik Özelliği / 74
04.11.02. Birinci Kaydırma Özelliği / 74
04.11.03. İkinci Kaydırma Özelliği / 74
04.11.04. Skala Değiştirme Özelliği / 75
04.11.05. Türetilmiş Fonksiyonların Ters Laplace Dönüşümü / 75
04.12. Konvolüsyon Teoremi / 76
04.13. Laplace Dönüşümünün Diferansiyel Denklemlerin Çözümünde Kullanılması / 77
04.14. Laplace Dönüşümünün Diferansiyel Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümünde
Kullanılması / 81
04.15. Alıştırma Problemleri ve Yanıtları / 85
5. BÖLÜM
DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN İNCELENMESİNDE KUVVET SERİLERİNİN
KULLANILMASI
05.01. Giriş / 86
05.02. Kuvvet Serileri / 86
05.03. Taylor Açılımı Yöntemi / 87
05.04. Adi Nokta – Tekil Nokta. Frobenius Yöntemi / 90
05.05. Adi Nokta / 90
05.06. Düzgün Tekil Nokta / 95
05.07. Alıştırma Problemleri ve Yanıtları / 110
6. BÖLÜM
LEGENDRE VE BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ
06.01. Giriş / 111
06.02. Legendre Diferansiyel Denklemi / 111
06.03. Bessel Diferansiyel Denklemi / 114
7. BÖLÜM
DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN İNCELENMESİNDE SAYISAL HESABIN
KULLANILMASI
07.01. Giriş / 119
07.02. Başlangıç Değer Problemi / 119
07.03. Teorem (Varlık Teoremi) / 120
07.04. Teorem (Teklik Teoremi) / 120
07.05. Sınır Değer Problemi / 120
07.06. Seri Yöntemleri / 120
07.06.01. Taylor Serisi Yöntemi / 120
07.07.02. Picard İterasyon Yöntemi / 122
07.07. Tek Adım Yöntemleri / 123
07.07.01. Euler Yöntemi / 123
07.07.02. Düzeltilmiş Euler ve Huen Yöntemi / 125
07.07.03. Runge-Kutta Yöntemi / 125
07.08. Çok Adım Yöntemi / 128
07.08.01. Adams Yöntemi / 129
07.08.02. Adams – Bashforth – Moulton Yöntemi / 131
07.08.03. Milne Yöntemi / 132
07.09. Birinci Mertebeden Adi Difransiyel Denklem Sistemi / 133
8. BÖLÜM
DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİNİN İNCELENMESİNDE
OPERATÖRLERİN KULLANILMASI
08.01. Giriş / 138
08.02. Homojen Denklem Sisteminin Operatörler ile Çözümü / 139
08.02.01. F(D) = 0 Denkleminin Basit Kökleri Bulunması Hali / 141
08.02.02. F(D) = 0 Denkleminin Çakışık Köklerinin Bulunması Halı / 143
08.02.03. F(D) = 0 Denkleminin Karmaşık Köklerinin Bulunması Hali / 150
08.03. Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklem Sisteminin Operatörler
ile Çözümü / 160
08.03.01. Basit Halin İncelenmesi / 160
08.03.02. Genel Halin İncelenmesi / 164
08.04. Alıştırma Problemleri ve Yanıtları / 173
9. BÖLÜM
DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN GRAFİK YÖNTEM VE ALETLER
09.01. Grafik Yöntem / 175
09.02. Aletler / 175
09.03. Doğrultu Alanı / 176
09.04. y = f (x) Fonksiyonunun Grafikle İntegrasyonu / 177
09.05. Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü / 179
09.06. Yarım Adımlar Yöntemi / 182
09.07. İzoklin Yöntemiyle Integrasyon / 183
09.08. Nomogramların Kullanılması / 185
10. BÖLÜM
DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN VE SİSTEMLERİN ÇEŞİTLİ ALANLARDAKİ
UYGULAMALARI
10.01. Giriş / 190
10.02. Mekanikteki Uygulamalar / 190
10.02.01 Newton’un Hareket Yasaları / 190
10.02.02. c g s sistemi veya Santimetre, Gram, Saniye Sistemi / 191
10.02.3. f p s Sistemi veya Foot, Pount, Saniye Sistemi / 191
10.03. Elektrik Devrelerine Dair Uygulamalar / 193
10.04. Kimya ve Kimyasal Karışımlar İle İlgili Uygulamalar / 195
10.05. Çeşitli Artma ve Azalma Problemleriyle İlgili Uygulamalar / 198
10.06. Nüfus Artış Problemleri / 200
10.07. Geometri Kapsayan Fizik Problemleri / 201
10.08. Karma Örnekler / 203
BU CİLDİN HAZIRLANMASINDA YARARLANILAN ESERLER
ADLAR – DEYİMLER – SÖZCÜKLER DİZİNİ
ŞEKİL LİSTESİ
Şekil 2.1.
Elektrik devresi
Şekil 4.1.
Sı¸crama
süreksizliği
Şekil 9.1.
zoklin Eğrisi
Şekil 9.2.
( )
y
f x
fonksiyonunun grafikle integre edilebilmesi-1
Şekil 9.3.
( )
y
f x
fonksiyonunun grafikle integre edilebilmesi-2
Şekil 9.4.
2
3
4
1
y
x
x
fonksiyonunun integral eğrisi
Şekil 9.5.
3
2
2
y
x
x
x
fonksiyonunun integral eğrisi
Şekil 9.6.
Diferansiyel denkleminin integrali olan y = f(x) eğrisi
Şekil 9.7.
y’=- x Diferansiyel denkleminin integral eğrisi
Şekil 9.8.
Yarı adımlar yöntemi
Şekil 9.9.
İzoklin yöntemi
Şekil 9.10. y’ + x y = 0 Dif. denklemi için İzoklin yöntemi
Şekil 9.11. Nomogramların kullanılması
Şekil 9.12.
y’ = [x
2
– y
2
] / [x
2
+ y
2
] dif. denkleminin çözümü
Şekil 10.1. Paraşüt problemi
Şekil 10.2. Karıştırma problemi
Şekil 10.3. Artma azalma problemi
Şekil 10.4. Fizik problemi
Şekil 10.5. Toricelli Kanunu
Şekil 10.6. Akışkanlar mekaniği
1. BÖLÜM
GENEL BİLGİLER VE TEOREMLER
[BAŞLANGIÇ BİLGİLERİ – HATIRLATMALAR]
01.01. Giriş
Bu bölümde diferansiyel denklemler hakkında bilinmesi gereken temel tanımlar ve
teoremlerden söz edilecektir. Bunlar 1.Cild’in konuları olmakla birlikte, burada da
kullanılacağından hatırlanmasında mutlaka fayda vardır. Bu nedenle bilgilerimizin
tazelenmesi gerekmektedir. Sistemlerin yanı sıra, ayrıca birinci ya da ikinci mertebeden
denklemlerle ilgili yapılacak çalışmalarda, işlemler sırasında birçok yerde ilk ciltteki konu-
larla karşılaşılacağı görülecektir. Bu demektir ki bu iki kitap gerçekte bir bütündür; birbirinin
tamamlayıcısıdır.
Temel bilgiler denilince: tanımdan başlayarak, ifade edilişi, var oluşu, sınıflara nasıl ayrıl-
dığı, varlık ve teklik teoremleri, çözüm kavramı ve çeşitleri ve özellikleri gibi alt yapıya ait
bilgiler öngörülmektedir.
01.02. Tanım
Bir y = f(x) fonksiyonunun, x serbest değişkeni, y bağlı değişkeni ve onun sınırlı sayıda
herhangi mertebeye kadar türevleri arasında kurulmuş olan bir bağıntıya Diferansiyel
Denklem denir. Bu tanıma göre bir diferansiyel denklemin genel ifadesi şu şekildedir:
2
2
, ,
,
,...,
0
n
n
dy d y
d y
F x y
dx dx
dx
Buradaki tanım, genel anlamda tüm diferansiyel denklemleri kapsamış olsa da uygulamada
çok farklı durumlarla karşılaşılır. Özellikle çözüme yönelik formları oluştururken, daha farklı
ve özel düzenlerin tanımlandığına tanık olacağız. Buna bağlı olarak çözüm kavramı da ayrıca
konu edilmeyi gerektirecektir.
Yukarıdaki tanımda sözü edilen denklemlere, tek bir serbest değişken ile kuruldukları için Adi
Diferansiyel Denklem ya da sadece Diferansiyel Denklem denir. Diferansiyel denklem
denilince, kendiliğinden, Adi Diferansiyel Denklemler anlaşılacaktır.
z = f(x,y) gibi iki serbest değişkeni olan bir fonksiyon söz konusu ise bunun türevleri ∂z / ∂x ;
∂z / ∂y şeklinde ifade edileceğinden, bunlarla elde edilecek diferansiyel denklemler de bu tür
türevleri içerecektir. Bunlara Kısmî Türev denildiği için, bunlarla oluşacak diferansiyel
2
denklemlere de Kısmî Türevli Diferansiyel Denklemler ya da sadece Kısmî Diferansiyel
Denklemler denir. Aşağıda bu tür denklemler için iki örnek gösterilmiştir.
2
2
2
2
z
z
z
x
y
2
2
2
2
z
z
z
x
x y
y
Bu konunun diferansiyel denklemler teorisi içinde ayrı bir yeri vardır. Bu nedenle kitabımızın
konuları arasında yer almayacaktır.
01.03. Sınıflandırılma
Adi Diferansiyel Denklemler (Diferansiyel Denklemler), farklı şekillerde sınıflara ayrılarak
incelenirler. Bunlardan biri mertebelerine göre bir diğeri de katsayılarının sabit ya da değişken
oluşlarına göre yapılır.
Bir diferansiyel denklemdeki en yüksek türev mertebesi, aynı zamanda diferansiyel
denklemin mertebesi olur. Bir diferansiyel denklemde türev mertebesi bir ise, bunlar Birinci
Mertebeden Diferansiyel Denklemler olarak anılırlar. Eğer mertebe iki ya da daha büyük ise
Dostları ilə paylaş: |