Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

aşağıda  görülen  üç  değişkenli  üç  denklemli  homojen  diferansiyel  denklem  sistemini  göz 
önüne  alalım.  Burada  oluşturacağımız  ilke  ve  özellikleri  n  bilinmeyenli,  n  denklemli  bir 
denklem sistemi için de ifade edebiliriz. Seçtiğimiz sistem şu olsun:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11
12
13
21
22
23
31
32
33
                                                             (2.5)       
dx
a t x a t y a t z
dt
dy
a t x a t y a t z
dt
dz
a t x a t y a t z
dt









 
Bu  sistemin  x(t)  =  0,  y(t)  =  0,  z(t)  =  0  olan  bir  çözümü  vardır  ki  bu  aşikâr  ya  da  trivial 
çözümdür.  Asıl  amacımız  bundan  başka  çözümlerinin  bulunup  bulunmadığını  araştırmaktır. 
Varsayalım ki sistemin çözüm takımı aşağıdaki gibi bulundu: 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
,  y
,  z
,  y
, z
                                                                      
2.6                
,  y
,  z
x t
t
t
x t
t
t
x t
t
t
 
Bunlarla  oluşturulan  determinanta  Wronskien  denir  ve  W  ile  gösterilir.  Bununla  anlatılmak 
istenilen aşağıda gösterilmiştir: 


     
 
   
     
 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
  y
  z
, ,
  y
  z
                                                     2.7
  y
  z
x t
t
t
W W x y z
x t
t
t
x t
t
t


 
Wronskien, yukarıda örnek olarak seçtiğimiz çözüm takımının lineer bağımlı olup olmadığını 
test etmek için kullanılır. Bunun için aşağıdaki teorem dikkate alınmalıdır. 
Teorem.  Seçtiğimiz  homojen  sistemin  çözüm  takımını  yukarıda  sembolik  olarak  ifade 
etmiştik.  Bu  çözüm  takımında  yer  alan  çözümler  ayrı  ayrı 
a t b
  aralığında  sürekli 
fonksiyonlar  olsunlar.  Bu  çözümlere  ait  Wronskien 
0
t = t   için  sıfıra  eşit  ise 
W 0
 dır  ve 
çözümler lineer bağımlıdır demektir. Şimdi 
1
2
3
, ,
c c c  keyfi sabitlerini göz önüne alalım; ancak 
hepsi birden sıfır olmasın. Bunların içinde olduğu aşağıdaki sistemi inceleyelim:  
2
3
1
2
3
3
1
2
1
5
3
6
9
2
4
3
9
x
x
x
x
x
x
y
c e
c e
c
x
z
c e
c e


 




 




20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
+ c
+c
0
+c y
+c y
0                                                             2.8
z
+c
+c z
0
c x t
x t
x t
c y t
t
t
c
t
z t
t












 
Bunu cebirsel anlamda düzenlenmiş bir sistem olarak görebiliriz.
 
0
t t
  için, 
 
 
 
     
     
     
1
0
2
0
3
0
1
0
2
0
3
0
1
0
2
0
3
0
y
 y
y
0
z
 z
 z
x t x t x t
W
t
t
t
t
t
t


 
olması  gerektiğini  yazacağız.  Bu,  sistemin  katsayılar  determinantıdır.  Sistemin  aşikâr 
çözümden  başka  çözümleri  olmasının  gerek  şartıdır.
1
2
3
, ,
c c c  ün bu determinant yardımıyla 
belirlenmesi halinde, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
+ c
+c
+c y
+c y
                           
z
+c
+c z
x t
c x t
x t
x t
y t
c y t
t
t
z t
c
t
z t
t
 


 


 


 
fonksiyonlarını  oluşturursak,  başta  göz  önüne  alınan  homojen  sisteminin, 
a t b
   
aralığındaki  bir   
0
t t
   değeri  için  sıfıra  eşit  olan  çözümleri  bulunur.  Bu  çözümler,  hepsi 
birden aynı zamanda sıfır olmayan 
c
 keyfi sabitleri için gerçekleşiyorsa, 
t
 ne olursa olsun, bu 
ancak ve ancak 
W 0
  olması ile olanaklıdır. Bu koşul varsa, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
,  y
,  z
,  y
,  z
    
,  y
,  z
x t
t
t
x t
t
t
x t
t
t
 
çözüm  takımlarının  lineer  bağımlı  olmasını  gerekir. 
Bu  lineer  bağımlılık  bir  önceki  sistemde 
görülmektedir.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
+ c
+c
0
+c y
+c y
0                                                            2.9
z
+c
+c z
0
c x t
x t
x t
c y t
t
t
c
t
z t
t












 
Buradaki  bağıntılar,  hepsi  birden  sıfır  olmayan  c
1
,  c
2
,  c
3
  keyfi  sabitleri  için 
gerçekleşeceğinden, her t değeri için bu görülmektedir. Bunlar arasında c
1
, c
2
, c
3
 yok edilirse 
W  ≡  0  olur.  Bu  tür  sistemlerin  bir  çözümü  daima  vardır.  Bu  çözümün  genel  çözümü 
tanımlayabilmesi  için,  bilinmeyen  fonksiyon  sayısına  eşit  sayıda  çözümün  lineer  bağımsız 
olması gerekir. 

21 
 
 
 
 
02.10 Teklik Teoremi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


11
12
13
21
22
23
31
32
33
                                                                  2.10                 
dx
a t x a t y a t z
dt
dy
a
t x a
t y a
t z
dt
dz
a t x a
t y a t z
dt









 
sisteminin çözümünü 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
+ c
+c
+c y
+c y
                           
z
+c
+c z
x t
c x t
x t
x t
y t
c y t
t
t
z t
c
t
z t
t
 


 


 


 
 
şeklinde göz önüne almıştık. Buna Genel Çözüm denir. Bu çözüm tektir. Bu teoremin amacı bu iddiayı 
kanıtlamaktır.  
 
a 
 t  b aralığında, t = t
0
 için x = 1, y = 0, z = 0 olsun. Bu koşulları birlikte sağlayan bir ve yalnız bir 
çözüm vardır ki o da: x
1
(t), y
1
(t), z
1
(t) dir. Bu çözüm (a,b) kapalı aralığında geçerlidir. Benzer şekilde 
düşünerek, bu kez x = 0, y = 1, z = 0 alınırsa buna karşı gelen çözüm x
2
(t), y
2
(t), z
2
(t) ve benzer şekilde 
x = 0, y = 0, z = 1 alınırsa bu kez çözüm x
3
(t), y
3
(t), z
3
(t) olur. Bunlar tek türlü belirlenebilirler ve 
lineer bağımsızdırlar. 
Gerçekten de, 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
1
1
1
0
  y
  z
1     0      0
    y
    z
              
          
0     1      0
1 0
0     0      1
    y
    z
x t
t
t
W t
x t
t
t
W t
x t
t
t



 
 
olduğu görülür. Bu sonuç, lineer bağımsız en az bir çözüm takımının var olduğunu ve bunun 
tek türlü belireceğini ifade eder. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
,  y
,  z
,  y
,  z
    
,  y
,  z
x t
t
t
x t
t
t
x t
t
t
 
 
çözüm takımının lineer bağımlı olması gerekir. Bu lineer bağımlılık bir önceki düzenlemedeki 
fonksiyonlar  ile  belirlenmektedir.  Burada  hepsi  birden  sıfır  olmayan  c
1
,c
2
,c
3
  sabitleri  için 
gerçekleşmektedir.  Her  t  değeri  için  bunun  varlığı  görülmektedir.  Bunlar  arasında  c
1
,  c
2
,  c
3
 
yok  edilirse,  W  ≡  0  olur.  Sistemin  temel  çözüm  takımı  (esaslı  çözüm  takımı)  her  zaman 
mevcuttur.  Bunların  genel  çözüme  ait  olabilmesi  için,  bilinmeyen  fonksiyon  sayısına  eşit 
sayıda çözümün lineer bağımsız olması gerekir ki bu da W ≠ 0 olmasını gerektirir.  
 

22 
 
 
 
 
02.11. Asal İntegraller  
 
 
        


1
1
1
2
2
1
1
( , ,....., )
( , ,....., )
....................................
2.11
....................................
( , ,....., )
n
n
n
n
n
dy
f x y
y
dx
dy
f x y
y
dx
dy
f x y
y
dx



 
şeklindeki  bir  normal  sistemin  çözümünün  araştırılmasında  kullanılan  yöntemlerden  biri  de 
Asal İntegraller’ den yararlanmaktır. n. mertebeden bu normal sistemin genel çözümü 
 
 
        
1
1
1
2
2
1
1
( , ,......., )
( , ,......., )
...................................
(2.12)
...................................
( , ,......., )
n
n
n
n
n
y
F x c
c
y
F x c
c
y
F x c
c



 
olsun. Bu çözüm takımında 
1
2
, ,.....,
n
c c
c  gibi n tane keyfi sabit bulunmaktadır. Eğer bu çözüm 
takımı 
1
2
, ,.......,
n
c c
c  sabitlerine göre çözülürse, 
 
 
        
1
1
1
1
( , ,........., )
.....................................
(2.13)
( , ,........., )
n
n
n
n
c
G x y
y
c
G x y
y


 
şeklindeki bağıntılar elde edilir. Bu şekilde bulunan  
1
1
2
1
1
( , ,..., ) ;  
( , ,..., ) ;...; 
( , ,..., ) ;  
n
n
n
n
G x y
y
G x y
y
G x y
y
 
ifadelerinden her birine (2.11) sisteminin bir Asal İntegrali denir. (2.12) ile (2.13) bağıntıları 
yazılış  bakımından  farklı  olmakla  birlikte  gerçekte  aynı  bağıntılardır.  Öyleyse  (2.13) 
bağıntıları  da  (2.11)  sisteminin  çözü-müdür.  Bunlar  lineer  bağımlı  olamazlar.  Ancak 
bunlardan herhangi bir sayıda alınmak suretiyle meydana getirilecek bir fonksiyon da yine bir 
Asal  İntegraldir.  Örneğin 
1
2
3
, ,
c c c   asal  integrallerinin  bir  lineer  kombinezonudur. 
, ,
    
sabitler olmak üzere,   
1
2
3
1
2
3
( , , )
ise
k
c c c
c
c
c
c








1 2
3
1
1
2
1
3
1
1
( , , )
( , ,..., )
( , ,..., )
( , ,..., )
( , ,..., )
k
n
n
n
k
n
c
c c c
G x y
y
G x y
y
G x y
y
G x y
y








 
gibi yine 
1
, , ,..............
n
x y y
y    nin yeni bir fonksiyonunu verir. Bu ise  

23 
 
 
 
(2.13) deki asal integrallerle aynı anlamda bir fonksiyondur. 
Bir normal sistemin, birbirinden bağımsız asal integrallerinin sayısı, bağlı fonksiyon sayısına 
eşittir.  Böyle  bir  sistemin  çözümünde,  (2.12)  de  görüldüğü  gibi  n  tane  keyfi  sabit  vardır. 
Bunlar için ifade edilen (2.13) deki asal integraller de doğal olarak n tane olacaktır. 
Asal integrallerin bulunması  bazen kolay  bazen  güçtür. Bunların hesabı için genel bir kural 
yoktur. Ancak uygulamada en çok kullanılan şekli aşağıda açıklanmıştır. 
(2.11) sistemi, her bağıntı dx için çözülerek yeniden düzenlenirse, 
1
2
1
1
2
1
1
..........
( , ,....,
)
( , ,....,
)
( , ,....,
)
n
n
n
n
n
dy
dy
dy
dx
f x y
y
f x y
y
f x y
y




 
yazılabilir. Bu da yeni bir düzenlemeyle, 
1
0
1
1
1
1
..........
( , ,....,
)
( , ,....,
)
( , ,....,
)
n
n
n
n
n
dy
dy
dx
F x y
y
F x y
y
F x y
y



 
şeklinde ifade edilebilir ki buna Yardımcı Sistem veya Sistemin Simetrik Şekli denir.  Orantı 
özellikleri de kullanılarak, yardımcı sistemden, 
1
0
1
0
1
2
2
1
1
1
1
1
;.......;
;
;......;
;
.........;
n
n
n
n
n
n
n
n
F dx F dy
F dx F dy
F dy
F dy
F dy
F dy
F dy
F dy







 
gibi bağıntıların yazılması suretiyle elde edilecek bu diferansiyel denklemlerin hiçbiri çözüme 
elverişli değilse, aşağıdaki yöntemin denenmesi bazen olumlu sonuçlar vermektedir. 
1
2
, , ,......,
n
x y y
y   ler  için 
0 0
1 1
2 2
.......
0
n n
k F
k F k F
k F




   bağlantısı  sağlanacak  şekilde 
0
1
, ,.........,
n
k k
k  gibi 
(
1)
n

 adet sabit ya da fonksiyon mevcut olsun. Bunlar için, 
              k
o
 dx + k
1
 dy
1
 + k
2
 dy
2
 + … + k
n
 dy
n
 = dF 
olacak  şekilde  bir 
1
2
( , , ,........, )
n
F x y y
y   fonksiyonu  bulunabiliyorsa,  yardımcı  sistemden, 
orantı özelliği kullanılarak, 
               
0
1
1
2
2
0 0
1 1
2
2
........
.........
0
n
n
n
n
k dx k dy
k dy
k dy
dF
k F
k F
k F
k F









 
yazılabilir. Bu oranın, kaldırılabilir bir belirsizlik göstermesi halinde, yani ancak  
0
dF
  ise 
bir  anlamı  olabilir. 
0
dF
   olması  halinde  bu  oran  tanımlı  olamaz.  Demek  ki  incelenmeye 
değer durum 
0
dF
  olması halidir. Bu ise, 
                    
1
2
0
( , , ,............, )
n
dF
F x y y
y
c
 
  
gibi bir bağıntı verir ki, yardımcı sistemle belirtilen sistemin asal integralidir. 
Örnek. 
2
1
dx
dy
dz
x
y
z




  
sisteminin asal integrallerini bulalım. Bu en basit durumdur. Çünkü burada 
oranlar her değişken için ayrı ayrı düzenlenmiştir. En kolay uygulama şudur:  

24 
 
 
 
1
1
1
2
2
2
   
   
   
    ln
ln(
2) ln
2
2
(
2);
  
 
  
  -ln(z-1) ln(
2) ln
2 1
2
1
1
(
2)
1
  
(
2)  
  
1
(
2)
dx
dy
dx
dy
y
x
c
x
dy
x
y
y c x
dx
dz
dx
dz
x
c
x
z
x
z
c x
c x
z
z
c x





 


 



 


 

















 
Böylece 
 ve 
y
z
  fonksiyonları,  serbest  değişken  seçilen 
x
  için  çözümlenmiş  olmaktadır. 
Ancak sistemin çözümünü ifade için sonuçta  
1
2
2
(
2)
1
(
2)
(
2)
y c x
c x
z
c x






 



 
yazılmalıdır. 
 
Örnek. 
1
dx
dy
dz
x y z
z


 
 
sistemini, asal integrallerini belirleyerek çözelim. 
1
dx
dy
dx dy
dy
dz
x y z
z
x y
z





 

 
olur. Buradan aşağıdaki düzenlemelere geçilebilir: 
1
1
(
)
1
(
)
ln
ln(
) ln
(
)
dx dy
d x y
dz
x y
x y
d x y
dz
z
x y
C
z C x y
x y













 




2
2
;
1
2
dy
dz
z
dy zdz
dy
zdz
y
C
z





 



 
Bu iki asal integral birlikte ifade edilerek genel çözüm bulunmuş olur: 
1
2
2
(
)
2
2
z C x y
y z
C




 

 
Örnek. 
1
(
)
dx
dy
dz
x
y
x y z



  
 
veriliyor.  Simetrik  şekliyle  verilen  bu  diferansiyel  denklem  sistemini,  asal  integrallerini 
bularak çözelim. 

25 
 
 
 
Öncelikle,   
1
dx
dy
x
y


   seçimi yapılırsa: 
1
1
1
ln(
1) ln
ln
(
1)
dx
dy
x
y
x
C
y
y C x



 

 



 
bulunur.  Ancak  diğer  asal  integrali  bulmak  bu  kadar  kolay  olmayacaktır.  Bu  kez  aşağıda 
açıklandığı gibi hareket edilir: 
0
1
2
, ,
k k k   sabitleri ya da değişkenleri için, 
0
0
1
2
1
2
0
1
2
0
1
2
(
)
(
)
(
1)
(
)
0
k dx
k dx k dy k dz
k dy
k dz
dF
k x y
k y
k x y z
k x
k y k x y z








 
 

 
 
olmalıdır. Burada paydanın sıfır olabilmesi koşulunu   
k
o
(x+1) + k
1
y – k
2
(x+y+z) = 0  için değerlendirelim. Keyfi seçilen  
k
0
 = k
1
 = k
2
 = 1 için: x +1 + y – x – y – z = 1 – z         
olup, bu değerler için 
(
)
1
1
(
)
dx dy dz
d x y z
dz
z
z
x y z


 




  
   İlişkisine ulaşılır. Buradan: 
2
2
2
2
2
2
2
(
) (
) (
1)
1
1
1
(
)
(
1)
2
2
2
(
1)
(
)
(2
)(
1)
x y z d x y z
z
dz
x y z
C
z
z
x y z
C
z x y x y
C
 
 


 




  

 
   
 
bulunur. Bu da sistemin ikinci asal integrali olur. Böylece sistemin çözümü 
1
2
(
1)
(2
)(
1)
y C x
z x y x y
C




 
   

 
şeklinde ifade edilmiş olur. 
 
Örnek. 
4
3
4
2
2
3
dx
dy
dz
y
z
x
z
y
x





 
denklem sistemini asal integrallerini bularak integre edelim: 
0
1
2
, ,
k k k   keyfi seçilmiş herhangi sabitler ya da değişkenler olmak üzere: 
0
1
2
0
1
2
0
(4
3 )
(4
2 )
(2
3 )
0
0
k dx k dy k dz
dF
k
y
z
k
x
z
k
y
x









 

26 
 
 
 
şeklinde ifade edelim. 
Buradan 
1
2
0
2
0
1
(4
3 )
(4
2 )
(3
2 )
0
k
k x
k
k y
k
k z

