Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler


 

 


  
 
             (3.12) 
formülü  ile  hesaplanır.  Bu  çözümde 
0
t t
  yazarak  başlangıç  koşulunun  sağladığı  kolayca 
görülebilir. 
 
 
 
 
 
 
1
,
t s
t
s


 

, 
 
,
t t

   
Matrisini tanımlarsak bu çözümü, 
 
 
 
   
0
0
,
,
t
o
t
x
t t x
t s g s ds
 


 
 
 
 
                        (3.13) 
biçiminde ifade edebiliriz. 
Özel olarak, eğer 
g a

 sabit bir vektör ise (3.13) formülü çok basit bir biçim alır. Önce 
g
 
sabit olduğundan ; 
 
 
 
 
 
 
0
1
1
0
0
t
t
x
t
t x
t
s ds a




 

 








 
yazılabilir. Diğer yandan, 
 
 
   
   
 


 
1
1
1
0
t
t
t
t
t
t







   

 

  
bağıntısından 

  
 olduğu göz önünde bulundurarak 
 
 
 


 
 
 
 


1
1
1
1
1
t
t
t
t
t









 
  
  
  
yazabiliriz. Son bağıntıyı 
0
t ve  t  arasında integre ederek 
x
x a
   
 sisteminin çözümünü 
 
 
 
 
 
 
1
1
1
1
0
0
0
,
x
t t x
t
t
a
t
t
a




 
 


 


 
 


1
1
0
0
,
t t
x
a
a


 
 
 
 
biçiminde ifade etmiş oluruz. 
03.06.02. Köşegenleştirme Yöntemi 
Bu  yöntem  yalnızca  köşegenleştirilebilir  bir  matris  için  uygulanabilir.  x
y
   lineer 
dönüşümü ile sistem 
 
 
x
y
y g
y
Dy h



    


  

54 
 
 
biçimine  dönüşür.  Yukarıda, 
D
 köşegen  matris  ve 
1
h
g

 
 dir.  Bu  kez  birinden  bağımsız 
n tane  homojen  olmayan  diferansiyel  denklem  integrasyonu  ile  karşı  karşıyayız.  Çözüm 
bileşenlerle yazıldığında 
 
 
 
 
j
j
j
t
t
t
i
j
j
y
C e
e
e
h t dt







, 
1, 2, ,
j
n


 
bulunur.  
Buna göre; 
 
 
 
 
 
j
j
t
t
j
j
u t
e
e
h t dt





, 
 
1, 2, ,
j
n


 
tanımlanırsa, ilk denklemin çözümü  x
y
   dönüşümden 
 
 
 










1
2
1
1
2
2
1
2
1
n
t
j
t
n
t
n
j
j
j
j
t
n
n
e
C
u
e
C
u
x
v v
v
v C e
u
e
C
u




























 
olur. Yukarıdaki toplamın birinci terimi homojen çözüme, diğeri ise özel çözüme karşı gelir : 
 
 
 
1
j
n
t
h
j j
j
x
C v e




, 
1
n
p
j
j
j
x
v u



 
Bu çözümü sabitlerin değişimi yöntemiyle elde edilen çözümle karşılaştırın. 
 
Örnek . 
1
2
3
2
x
x
x
t
       
2
2
1
3
x
x
x
t
t
     
 
2
3
1
2
4
3
x
x
x
t
t
      
 
sisteminin 
 
0
0
x
  başlangıç koşulunu sağlayan çözümü bulunuz. 
Bu örnekte 
 
 
0
1
1
1 0
1
1
1 0






  









, 
2
2
2
4
3
t
g
t
t
t
t











  


 
dir. Önce homojen çözümü veya temel çözüm matrisini bulalım : 
1,2
3
1
1
1
1
0
1,
2
1
1









    

 


 



 

55 
 
özdeğerlerine  karşı  üç  tane  lineer  bağımsız  özvektör  bulabiliriz.  Yani,  katsayılar  matrisi 
köşegenleştirilebilir. 
1


 için 


1
2
3
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
v
v
v
v




   

   
    




   

   




   
 
Sisteminin çözüm tabanı 
 
 
1
1
1 , 0
0
1


   


   



   


   

   


 
seçilebilir. 
2


için 
 
 


1
2
0
1
1
v
v
 
 
   

  
 
 
 
alabiliriz. Buna göre temel çözüm matrisi 
 
 
 
2
2
2
0
0
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
t
e
e
e
e








 







 
olacaktır. Aşağıdaki büyüklükleri hesaplamamız gerekir: 
 
 
 
2
1
2
2
2
2
2
1
2
3
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
t
e
e
e
e
e
e





















, 






2
1
2
5 3
3
1
4 6
3
3
5 6
t
t
t
t
t e
g
t
t e
t e






  






  







. 
Özel çözüm : 
 
 
 
   
 
2
1
2
2
2
2
3
2
1
4
1
3
1
1
3
t
t
p
t
e
t
t
t
x
t
t g t dt
t
e
t
t
t
t
e
t








 

















 

 
 
  












 
















 
ve genel çözüm : 
 
 
 
2
2
1 2
1
1
t
x
t c
t
t
t





 






 


, 
1
2
3
C
c
C
C




  




 

56 
 
biçimindedir. Son olarak 
c  keyfi sabit vektörünü belirlemek için 
 
0
0
x
  koşulunu 
kullanalım : 
 
 
 
 
1
1
0
1
2 3
0
1
0
0
1
4 3
1
0
1
1 3
c
c

   
  

   
  





 
 
   
  

   
  




   
  

. 
c  vektörünü yukarıdaki genel çözümde yazarsak ; 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
3
4
1
t
t
t
t
t
t
e
e
t
x
e
e
t
e
e
t
t












 





 

 






  




 
çözümünü veya çözümün 
 
 
2
1
2
1
2
1
3
3
t
t
x
e
e
t

 

 
 
 
 
2
2
2
2
1
1
3
3
t
t
x
e
e
t

 

 
 
 
 
2
2
3
4
1
4
1
3
3
t
t
x
e
e
t
t



  
 
bileşenlerini elde etmiş oluruz. 
Örnek . 
 
 
1
2
1
2
2
7
4
4
t
x
x
x
x
e





 
 
1
2
1
2
3
7
9
3
2
t
x
x
x
x
e


 



 
sisteminin 
 
1
0
0
x
 , 
 
2
0
1
x
  koşullarını sağlayan çözümünü bulunuz. 
Sistem  normal  biçimde  verilmediği  halde,  basit  bir  kaç  matris  işlemi  ile  bu  biçime 
indirgeyebiliriz. Bunun için sistemi önce 
1
2
3
1
C


 




,  
7
4
7
9
D



 




, 
4
3
2
t
t
e
f
e



 




  
matrislerini tanımlayıp 
Cx
Dx
f
 

 vektör biçiminde yazalım. 
C
 tekil olmayan bir matristir. 
Verilen sistemin her iki yanını 
1
C

 ile önden çarparsak 
x
x g
   
, 
1
C D

  
, 
1
g C f


 
normal biçimini elde ederiz. Bu örnekte 
1
1
2
4
3
C D



  
 




, 
1
2
t
e
g C f

 

  
 
 
dir. 

 matrisinin özdeğerleri reel ve birbirinden farklıdır:  
 

57 
 
1
1

 , 
2
5

    temel matris kolayca 
 
5
5
2
t
t
t
t
e
e
t
e
e






 



 
olarak bulunur. Sabitlerin değişimi yöntemi ile verilen koşulları sağlayan çözümün 
5
1
23
19
2
4
90
18
3
5
t
t
t
x
e
e
te

 



 
5
2
23
8
2
2
45
9
3
5
t
t
t
x
e
e
te

 



 
şeklinde bulunacağını görmek, okuyucuya bırakılmıştır. 
 
03.07 Alıştırma Problemleri ve Yanıtları 
Aşağıdaki lineer homojen diferansiyel denklem sistemleri aynı zamanda birer normal sistem 
olup,  bu  sistemlerin  aşikar  çözümleri  bilindiğine  göre,  başkaca  çözümünün  var  olup 
olmadığını araştırınız ve genel çözümünü bulmaya çalışınız: 
1) 
'( ) 4
2
'( ) 4
y x
y
z
z x
y



 
Yanıt: 
2
2
1
2
2
2
1
2
( )
cos
sin 2
( )
(cos 2
sin 2 )
(sin 2
cos 2 )
x
x
x
x
y x
C e
x C e
x
z x
C e
x
x
C e
x
x






 
2)  
'( )
'( ) 2
3
x t
y
y t
y
x
 


 
Yanıt:  
3
1
2
3
1
2
( )
( )
3
t
t
t
t
x t
C e
C e
y t
C e
C e






 
3)  
'( )
'( )
'( )
2
x t
x y
y t
y z
z t
y
 
 
 
   
Yanıt:  
2
1
2
3
2
1
3
2
1
3
( )
( )
2
( )
4
t
t
t
t
t
t
t
x t
C e
C e
C e
y t
C e
C e
z t
C e
C e






 

 

 
4) 
'( ) 4
'( ) 4
s t
s r
r t
s



   
Yanıt:  
2
2
1
2
2
2
1
2
( )
( ) 2
2 (2
1)
t
t
t
t
s t
C e
C te
r t
C e
C
t
e





 
5) 
'( ) 3
4
'( )
'( )
2
x t
y
z
y t
z
z t
x y


 
  
 
Yanıt: 
2
3
1
2
3
2
3
1
2
3
2
3
1
2
3
( )
5
5
( )
2
( )
4
3
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x t
C e
C e
C e
y t
C e
C e
C e
z t
C e
C e
C e















 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. BÖLÜM 
 
DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜNDE LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN 
KULLANILMASI 
 
 
04.01. Giriş 
Bu  bölümde  yine  diferansiyel  denklemlerin  çözümlerine  yönelik  olmak  üzere  farklı  bir 
uygulama  yapacağız.  Bu  kez  Laplace  dönüşümünü  kullanarak  çözümleri  araştıracağız.  Bu 
amaçla,  dönüşüm  unsurlarını  kullanabilmek  için  yol  ve  yöntemler  geliştireceğiz  ve 
önereceğiz.  Laplace  dönüşümü  hakkında  okuyucumuzun  yeterli  bilgisi  bulunduğu 
düşünülmektedir. Ancak yine de bu dönüşüm uygulaması hakkında başlangıçta temel bilgiler 
verilecektir. Böylece Laplace dönüşümü hakkında bir alt  yapı oluşturulmasına çalışılacaktır. 
Görüyor ve anlıyoruz ki konular geliştikçe ve çeşitlendikçe, araç olarak kullandığımız konular 
hakkında yeterli bilgi sahibi olmanın zorunlu olduğu anlaşılıyor.  
 
04.02. Dönüşüm Hakkında Bazı Tanım Ve Teoremler  
Bir f (t) fonksiyonunun integral dönüşümü 
 
 
 


( )
( )
( , ) ( )
b
a
T f t
F s
k s t f t dt



 
olarak  tanımlanır.  Bu  ifadedeki  k(s,t)  fonksiyonuna  integral  dönüşümün  çekirdeği  denir. 
F(s) fonksiyonu verildiğinde f(t) ye ters integral dönüşümü denir ve  T
-1 
[F(s)]  ile gösterilir. 
Laplace dönüşümü integral dönüşümlerin ilk örneklerinden biridir. Çekirdek ve sınırlar 
  
 
 
k(s, 
t) = 
st
e

 ,           a 
= 
0,  b 
= 
∞ 
olarak tanımlanır. Diğer önemli bir integral dönüşüm  
 
  k(s, 
t) = 
ist
e

 ,          a 
= 
−∞ , b 
=
∞ 
ile verilir.  Bu tür dönüşüme Fourier dönüşümü  denir ve diferansiyel  denklemler kuramında 
önemli bir yer tutar. Ancak biz burada yalnızca Laplace dönüşümlerini kullanacağız. 
f, t > 0 zaman değişkeninin tek-değerli bir fonksiyonu ve s bir (reel veya kompleks olabilir) 
parametre olsun. f (t) ‘nin Laplace dönüşümü  

59 
 
 
 
 
F(s) = ℒ


0
( )
( )
st
f t
e f t dt




 
integrali ile tanımlanır. Buradaki integral Riemann anlamında öz-olmayan bir integraldir ve 
 
 
 
0
lim
( )
M
st
M
e f t dt



             
limiti anlaşılacaktır. Eğer integral yakınsak ise yani yukarıdaki limit sonlu bir sayı ise Laplace 
dönüşümü tanımlıdır; eğer değilse dönüşüm tanımlı olamaz.  
Teorem  : 
 
Bir  T 
0
  için 
( )
t
f t
Me


    veya     
( )
t
e
f t
M



,      t 

 T 
olacak biçimde M > 0 ve  
α    sabitleri  varsa 
( )
f t
 fonksiyonuna  α  üstel  mertebedendir  denir  ve
( )
(
)
t
f t
O e


 yazılır. 
Polinomlar, üstel fonksiyonlar, sin t  ve  cos t  trigonometrik fonksiyonları  üstel mertebeden 
olduğu halde, 
2
( )
t
f t
e

 fonksiyonu üstel mertebeden değildir.  Çünkü  α  ne kadar büyük 
seçilirse seçilsin  
                                          
2
lim
t
t
t
e e



 
limiti süratle sonsuza gidecektir. 
Teorem : 
Eğer  bir 
0
lim ( )
t
f t


 limiti  varsa  ve 
f
 fonksiyonu  [0,

)  aralığında  sonlu  sayıda  sıçrama 
süreksizliği dışında her sonlu (0, T) aralığında sürekli ise fonksiyona [0,

) aralığında parça 
parça sürekli fonksiyondur denir. 
                y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                     x
 
Şekil
 4.1. 
Sı¸crama Su¨reksizli˘gi
 
 
Parça parça sürekli bir fonksiyonu bir aralık üzerinde integre etmek için sürekli olduğu alt 
aralıklarda  integre  edip  toplamak  yeterli  olacaktır.  Parça  parça  sürekli  bir  fonksiyon 
integre  edilebilir.  Analizden  bilinen  bu  sonucu  kullanarak  aşağıdaki  teoremi  ifade 
edebiliriz. 
 

60 
 
04.03. Laplace Dönüşümü için Varlık Teoremi 
Eğer 
( )
f t
 fonksiyonu [0,

) aralığında parça parça sürekli ve α üstel mertebeden ise, s > α 
için Laplace dönüşümü vardır ve mutlak yakınsar.  
İspat : 
( )
f t
 fonksiyonu parça parça sürekli olduğundan [0, M) sonlu aralığı üzerinde sınırlı 
olur ve  
 
0
0
0
0
( )
( )
( )
t
st
st
st
t
e f t dt
e f t dt
e f t dt










 
yazarak  Laplace  dönüşümünün  yakınsaklığını  yukarıdaki  ikinci  integralin  yakınsaklığına 
indirgemiş oluyoruz. Varsayımdan 
f
 üstel mertebeden olduğundan  
 
0
0
0
(
)
( )
( )
st
st
s
t
t
t
t
e f t dt
e
f t dt
M e
dt






 





 
0
(
)
lim
T
s
t
T
t
M
e
s


 




 
yazılabilir ve integral ancak s > α için yakınsak olur. 
Varlık  teoremi  bir  yeter  koşuldur.  Yani  teoremin  varsayımları  gerçeklendiğinde  teorem 
Laplace  dönüşümünün  var  olduğunu  anlatmış  olur.  Ancak  tersi  doğru  değildir  yani  gerek 
koşul  değildir.  Varsayımların  gerçeklenmemesi  durumunda  Laplace  dönüşümü  var  olabilir 
veya olmayabilir. 
Örnek. 
 
t > 0 ve negatif olmayan tamsayı n için ℒ
 
n
t
dönüşümünün var olduğunu gösterin. 
Herhangi bir α > 0 için  
0
!
!
n n
n
t
r
t
t
e
n
n







 eşitsizliği 
!
n
t
t
n e


olarak yazılabildiğinden 
n
t
 
üstel mertebeden bir fonksiyondur, o halde Laplace dönüşümü vardır. 
Örnek.  
 
ℒ


sin
n
t
at
 
ve  ℒ


cos
n
t
at
 dönüşümlerinin var olduğunu gösterin. 
ℒ


sin
n
t
at
 
ve  
cos
1
at

  olduğundan verilen fonksiyonlar üstel mertebeden olur. Varlık