Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler




  ℒ
 
sint
 
olur. 
 
04. 07.  
( )
n
t f t
 Nin Laplace Dönüşümünün Bulunması 
ℒ


( )
( )
f t
F s

 
ise   
 
    ℒ


 
( )
1
( )
n
n
n
n
d
t f t
F s
ds
 
  
 
 
 
       
(1) 
dir. Gösterelim:  
 
0
( )
( )
st
F s
e f t dt




   
dir. 
 
1
 in her iki yanını s ye göre türetelim : 
 


0
0
( )
( )
( )
st
st
F s
te f t dt
e
tf t dt





 





ℒ


( )
tf t

   
 
 
(2) 
 
dir. (2) ‘nin her iki yanını s ‘ye göre türetelim : 
 


 
2 2
0
0
( )
( )
1
( )
st
st
F s
te
tf t dt
e
t f t dt







 







= ℒ
 


2 2
1
( )
t f t

 
s ye göre türev alma işlemi sürdürülürse; 
 
 
 
( )
n
F
s

ℒ
 


2
1
( )
n
t f t

 
ve her iki yan  
 
1
n

 ile çarpılırsa; 
 
 
ℒ


 
 
( )
1
( )
n
n
n
t f t
F
s
 
 
 
bulunur. 
 
Örnek . 
ℒ
{tsin3t} = ? 
ℒ
{sin3t} = 
9
s
3
2

   
   ℒ{tsin3t} = 








9
3
2
s
ds
d
 = 


2
2
9
s
3
2

s
 = 


2
2
9
s
6

s
 
Örnek . 
ℒ
{
t
t
sin
} = ? 
 
ℒ
{sint} = 
1
s
1
2

  
   ℒ{
t
t
sin
} = 


0
dt 
t
t
sin
 
=
 



0
2
du 
1
u
1
 
 

68 
 
 
ℒ
{
t
t
sin
} = 

0
-1
u
tan
 = 
2

 
Örnek . 
ℒ


( )
( )
f t
F s

  ve  r > 0 olsun.  ℒ


( )
(
ln )
t
r f t
F s
r


 
olduğunu gösterelim : 
 
ℒ


0
0
( )
( )
( )
t
st
t
st t
r f t
e
r f t dt
e r f t dt












  
 
 
 
 
 
    


ln
ln
0
0
( )
( )
(
ln )
t s
r
st t
r
e e
f t dt
e
f t dt F s
r











 
bulunur. 
 
04.08. Periyodik Fonksiyonların Laplace Dönüşümleri 
( )
f t
,    T  periyoduna  sahip  bir  periyodik  fonksiyon  olsun. 
( )
f t
 ‘nin  tanımlı  olduğu  aralık 
üzerinde yer alan her t için 
(
)
( )
f t T
f t


  ilişkisi gerçeklensin. 
 
ℒ
{ƒ(t)} = 
sT
T
st
e
e




1
ƒ(t)dt 
0
  
 
dir. Gösterelim: 
 
ℒ
{ƒ(t)} =
0
( )
st
e f t dt



 
2
3
0
2
( )
( )
( )
....
T
T
T
st
st
st
T
T
e f t dt
e f t dt
e f t dt










 
yazalım  ve  son  satırda  yer  alan  integrallerden  ikincisinde   
t T u
 
,üçüncüsünde  
2
t
T u


olsun ve değişken dönüşümünü yapalım ve sonrasında  
 
(
)
( )
f u T
f u


,    
(
2 )
( )
f u
T
f u


,   ..... 
ilişkilerini dikkate alalım : 
 
 
ℒ
{ƒ(t)} =




2
0
0
0
( )
(
)
(
2 )
....
T
T
T
s u T
s u
T
st
e f t dt
e
f u T du
e
f u
T du













 
 
 
  
2
0
0
0
( )
( )
( )
....
T
T
T
st
sT
su
sT
su
e f t dt e
e
f u du e
e
f u du












 
 
 
  
2
0
1
....
( )
T
sT
sT
st
e
e
e f t dt





 





 
 
 
  
0
( )
1
T
st
sT
e f t dt
e





        
bulunur. 
Örnek . 
 
a) ƒ(t) = 















2
t
      
0
t
0
t  
sin
   ve  
( )
(
2 )
f t
f t



 dir.  ℒ{ƒ(t)}  yi bulalım.   

69 
 
 
 
 
 
 
 
 
ℒ
{ƒ(t)} = 
sT
T
st
e
e




1
ƒ(t)dt 
0
 = 
s
e

2
1
1











0dt
sintdt
2
0



st
st
e
e
 
 
 
ℒ
{ƒ(t)} = 
2
1
1
s
e





2
0
sin
cos
1
st
e
s
t
t
s











  
 
 
ℒ
{ƒ(t)} =
2
1
1
s
e



2
1
1
s
e
s













2
1
1
1
s
e
s





 
b)  ƒ(t)  = 
1
t         ,    0 t
a
1
-  t+2  ,    
t 2a
a
a
a


 








 




,       
( )
(
2 )
f t
f t
a


   ile  belirlenen  ve  üçgen  dalga 
fonksiyonu olarak isimlendirilen fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulalım. 
 
ℒ
{ƒ(t)}
2
2
0
1
( )
1
a
st
as
e f t dt
e





 
 
 
2
2
0
0
1
1
2
1
a
a
st
st
as
a
t
e
dt
e
t
dt
e
a
a






















 
    
                             
 
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
as
as
as
as
as
as
e
e
e
e
e
e
s
as
as
s
as
as









 









 





 



 
 




2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
as
as
as
as
as
e
e
e
e
as
e
as







 



 
 
 
 






2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
as
as
as
as
as
e
e
as
as
e
e
e












 
 
/ 2
/ 2
2
/ 2
/ 2
2
1
1
tanh
2
as
as
as
as
e
e
as
as e
e
as






 
 

5
 

4
 

3
 

2
 
 

 
 

70 
 
c)  ( )
t
f t
a
  ,  
0 t

< a  ,  
(
)
( )
f t a
f t


  ile belirlenen ve testere dişi dalga fonksiyonu 
olarak isimlendirilen fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulalım. 
ℒ
{ƒ(t)}
0
0
1
1
( )
1
1
a
a
st
st
as
as
t
e f t dt
e
dt
e
e
a










 
 
2
2
1
1
1
1
1
as
as
as
e
e
e
s
as
as














 
 
 




2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
as
as
as
as
as
e
e
e
e
as
s
as
s
e


















 
 
d)  ƒ(t)  =
  1      ,    0 t < 
 -1      ,    
t < 2a
a
a








 ,   
( )
(
2 )
f t
f t
a


 ile  belirlenen  ve  kare  dalga 
fonksiyonu olarak isimlendirilen fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulalım. 
 
ℒ
{ƒ(t)}
2
2
0
1
( )
1
a
st
as
e f t dt
e





 
 
2
2
0
1
1
1
1
a
a
st
st
as
a
e
dt
e
dt
e















 
 
      
2
2
1
1 1
1
1
1
as
as
as
as
e
e
e
e
s s
s
s







 



 


 





 



 
 
      



2
2
1
1 2
1
as
as
as
e
e
s
e







 
 
      
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
1
1
tanh
2
as
as
as
as
e
e
as
s e
e
s






 
 
04.09. Başlangıç Ve Son Değer Teoremleri 
04.09.01.  Başlangıç Değer Teoremi 
 
Limitlerin mevcut olması durumunda  
 
 
0
lim ( ) lim
( )
t
s
f t
sF s



 
dir. Gösterelim: 
 
 
 
 
 
ℒ


0
( )
( )
( )
(0)
st
f t
e f t dt sF s
f








    
 
 (1) 
dir.  (1)  de 
s
 
 için  limit  alalım. 
( )
f t

 nin  üstel  mertebeden  olması  durumunda 
lim
( ) 0
st
s
e f t


   dır, dolayısıyla 
( )
f t
 nin sürekli olması durumunda  
 
 
lim
( )
(0) 0
s
sF s
f


      
0
lim
( )
(0) lim ( )
s
t
sF s
f
f t




  olur. 
 

71 
 
 
Örnek . 
ƒ(t) = cos t  olsun.   
2
( )
1
s
F s
s


   olup   
2
0
limcos
lim
1
1
t
s
s
t
s
s





   
olur. 
 
Örnek . 
ƒ(t) = sin t  olsun.    
2
1
( )
1
F s
s


   olup    
2
0
1
limsin
lim
0
1
t
s
t
s
s





   
olur. 
04.09.02. Son Değer Teoremi 
Limitlerin mevcut olması durumunda  
 
 
 
0
lim ( ) lim
( )
t
s
f t
sF s



 
 
dir. Gösterelim: 
 
 
 
ℒ


0
( )
( )
( )
(0)
st
f t
e
f t dt
sF s
f








 
dır. Her iki yanın 
0
s

 için limitini alalım : 
 
 
 


0
0
0
lim
( )
lim
( )
(0)
st
s
s
e f t dt
sF s
f








 , 
 
 
 


0
0
0
lim
( )
lim
( )
(0)
st
s
s
e f t dt
sF s
f








 , 
 
 
 


0
0
( )
lim
( )
(0)
s
f t dt
sF s
f






 , 
 
 
 


0
lim ( )
(0) lim
( )
(0)
t
s
f t
f
sF s
f





 , 
 
 
 
 
0
lim ( ) lim
( )
t
s
f t
sF s



    bulunur. 
 
Örnek . 
ƒ(t)  =  cos  t    olsun.     
2
( )
1
s
F s
s


   ‘dir.  Fakat   
lim ( ) limcos
t
t
f t
t



 mevcut  olmayıp  son 
değer teoremi uygulanamaz. 
 
 
 
 
 

72 
 
Örnek . 
ƒ(t) = 
t
e

 olsun.  
2
1
( )
1
F s
s


   olup 
0
1
lim
lim
0
1
t
t
s
e
s
s






     dır. 
Örnek . 
2
( ) 7
t
f t
e


 
( )
f t
 ‘nin başlangıç ve son değerlerini bulunuz. 
 
 
ℒ


7
( )
( )
2
f t
F s
s



 
Başlangıç değer teoremiyle ; 
 
 
 
2
0
7
lim7
lim
2
t
t
s
e
s
s





    →    
7 7

 
Son değer teoremiyle ;  
2
0
7
lim7
lim
2
t
t
s
e
s
s





 →    
0 0

 
 
Örnek . 
 
ℒ









t
e
e
t
t
5
3
 = ? 
 
ℒ
{
t
e
3

} = 
3
1

s
  ,   ℒ{
t
e
5

} = 
5
1

s
   
 
ℒ
{ƒ(t)} = F(s)  
  ℒ{
t
ƒ(t)
 } = 


0
 ƒ(u)du 
 
 
ℒ









t
e
e
t
t
5
3
 = ℒ







t
e
t
3
-ℒ







t
e
t
5
 
 
 
ℒ









t
e
e
t
t
5
3
 = 



s
du 
3
u
1
 
-



s
du 
5
u
1
 
= 









R
s
R
R
s
R
5
u
du 
 
lim
3
u
du 
 
lim
 
 
ℒ









t
e
e
t
t
5
3
 = 
R
s
R
R
s
R
5
u
ln
lim
3
u
ln
lim







  
 
ℒ









t
e
e
t
t
5
3
 = 


5
s
ln
5
R
ln
3
s
ln
3
R
ln
lim









R
 
= 
 













3
s
5
s
ln
5
R
3
R
ln
lim
R
 
 
ℒ









t
e
e
t
t
5
3
 = 
3
s
5
s
ln
1
ln



 = 
3
s
5
s
ln


 
 
 
 
 

73 
 
Tablo 4.1. Laplace dönüşüm tablosu 
ƒ(t) 
F(s) = ℒ{ƒ(t)} 
1 
s
1
 
t 
2
1
s
 
t
n 
1
n
s
n!

 
e
at 
a
s

1
 
Sin at 
2
2
a
s
a

 
Cos at 
2
2
a
s
s

 
Sinh at 
2
2
a
s
a

 
Cosh at 
2
2
a
s
s

 
e
at
 ƒ(t) 
F(s – a) 
t
n
 ƒ(t) 
 
 
F(s)
1
n
n
n
ds
d

 

t
0
 ƒ(u)du   
s
  
F(s)
 
t
ƒ(t)
 


0
 ƒ(u)du   
ƒ(at) 






a
s
 
F
a
1
 
( )
n
f t  
s
n
F(s) – s
n-1
F(0) … – F
n-1
(0) 
 
 
04. 10. Ters Laplace Dönüşümü 
04.10.01. Tanım 
( )
f t  fonksiyonunun Laplace dönüşümü 
( )
F s
 olsun. Başka bir deyişle 
( )
F s
 nin, ℒ
-1


( )
F s
 
ile gösterilen ters Laplace döünüşümü ,  ℒ{ƒ(t)} = 
( )
F s
 özelliğine sahip bir 
( )
f t
 fonksiyo-
nudur. 
( )
f t
 ye  
( )
F s
 nin ters Laplace dönüşümü denir ve  ℒ
-1


( )
F s
= 
( )
f t
 ile ifade edilir. 
04.10.02. Learch Teoremi  
Her  sonlu 
0 t N
 
 aralığında  parça  parça  sürekli  ve 
t N

 için  üstel  mertebeden 
olan
( )
f t
 fonksiyonları  için 
( )
F s
’nin  ters  Laplace  dönüşümü  tek  türlü  olarak  belirlenir. 
Diğer bir deyişle   ℒ
-1


( )
F s
=
( )
f t
 tektir. 

74 
 
04.11. Ters Laplace Dönüşümünün Bazı Özellikleri 
04.11.01. Lineerlik Özelliği 
1
c
  ve  
2
c
 sabit büyüklükler ve  F(s) ve G(s)  ise ters Laplace dönüşümleri, sırasıyla,  f (t) ve 
g (t)  olan iki fonksiyon olsun. 
 
ℒ
-1


1
2
1
( )
( )
c F s
c G s
c

 ℒ
-1


2
( )
F s
c
 ℒ
-1


( )
G s

1
c
( )
f t

2
c
( )
g t
   dir.          
 
Örnek . 
ℒ
-1
2
2
3
2
3
2
6
9
s
s
s
s











 = ? 
 
ℒ
-1
2
2
3
2
3
2
6
9
s
s
s
s











=  ℒ
-1
3
2
s