1-misol. kasrni sodda ratsional kasrlar yig`indisiga keltiring.
Yechish: Buning uchun kasr maxrajini ko`paytuvchilarga ajratamiz, uni x3+1=(x+1)(x2–x+1) ekanligidan foydalanamiz. Berilgan kasirni maxraj ko`paytuvchilari bo`yicha ularning ko`rsatkichidan bitta kam ko`rsatkichli nj`malum koeffitsentli sodda kasirlarga ajratamiz:
,
x–1=A(x2–x+1)+(Bx+C)(x+1), x–1=(A+B)x2+(–A+B+C)x+(A+C); hosil bolgan tenglikning chap va o`ng ko`phadlarining darajalari bo`icha mos koeffitsientlarni tenglashtirib,
sistemani olamiz. Uni yechib, larga ega bo`lamiz. Demak,
.
Kasr maxrajini ko`paytuvchilarga ajratish: > with(genfunc): factor(x^3+1); > with(genfunc):factor((x-1)/(x^3+1));
Kasrni sodda kasrlarga ajratish: > rgf_pfrac((x-1)/(x^3+1),x);
2-misol. ni sodda ratsional kasrlar yig`indisi ko`rinishiga keltiring.
x4+2x3+x2=x2(x2+2x+1)=x2(x+1)2.
(3) ga asosan quyidagicha:
Noma`lum koeffitsientlarni x ga ma`lum qiymatlar berish yo`li bilan ham topish mumkin bo`lib, ko`p hollarda bu qulaylik tug`diradi.
Oxirgi tenglikda:
x=0 desak, 1=A10+A21+A30+A40 A2 =1; x=–1 desak, 1=A10+A20+A30+A41 A4 =1; x=1 desak, 1=4A1+4A2+2A3+A4 4A1+2A3 = –4; x=–2 desak, 1=–2A1+A2 –4A3+4A4 –2 A1–4A3 = –4;
A1=–2, A2=1, A3=2, A4=1. Demak, berilgan kasirni sodda ratsional kasirlarga ajratilgan ko`rinishi quyidagicha: