Qoraqolpoq davlat universiteti

munla,ilarnung dekart kunaYtJ.tayeu yoki mYFPU kunaytmayei deb ataladu yea A x V kabu yozuladu.
l-misol. A={l,2,3}, V={2,4}
Bo'lsin. U :xolda
A U V = {l, 2, 3, 4}, A  V = {2};
A'\.B={l, 3}, V'\.A={4}, A~B={l, 3, 4};
Ax B={(l, 2), (1,4), (2,2), (2,4), (3,2),
(3, 4)}
buladi.
7- t a’rif. Agar A tuplam U tunlamnung
Yani A U bulea, ushbu I'\.A = {x :X  U , x A}
tuplam A toplamni U toplamga to'ldiruvchi to'plam deb
ataladi SA yoki SuA kabi belgilanadi.

quyidagi xossalar o'rinlidir:
1. C (CA)=A
2. C(A U B)=CA
 C(A  B)=CA  CB
4. A\CA= , A CA=U ( bo'sh to'plam)
2-misol Ushbu
A\B=A  CB
tenglik orinli ekanini isbotlang
Ikki toplamning bir-biriga tarifga asosan berilgan tenglikning o'rinli bo'lishi tarifiga asosan berilgan tenglikning o'rinli bo'lishini korsatish uchun
A\B A CB va A CB A\B
Munosabatlarning bajarilishini ko'rsatish yetarli.
Misol va masalalar
Quydagi munosabatlarning urinli bulishini kursating!
1. A n V cAcAUB.
2. A n (A U v)= A.
3. A n (V U S) = (A n V) U (A n S).
4. A U (V n S) = (A U V) n (A U S).
5. A" (V n S) = (A" V) U (A" S).
6. A" (V U S) = (A" V) n (A "S).
7. A U (SA n V) = A U V.
8. A" (V" S) = (A"- V) U (A n S).
9. (A'" V) U (V "- A) = (A U V) "-(A n V).
10. (A "-V) U (V "-A) = (A U V) n (SA U SV).
Q - barcha ratsional sonlardan iborat tuplam BUlsin.
6- t a ’ rif. Ratsuonal sonlar tunlamu Q ning I\IS/rtla-ri A yea A' tynlahtlar
1) A =#= \25, A' =#= o,
2) A U A' = Q,
3) V- a Ye A, V- a' Ye A' '* a < a' shartlarni I\anoatlantursin . .u :{olda A yea A' tuplamlar Q tunlamda kesim bajaradi deyuladi yea bu kesim
(A, A') kabu belgilanadu. A tgnlam kesimnung I\UYU sin­fi, A' tuplam kesimnung YUI\ORU sinfU deYuladu.
Q tuplamda bajarilgan )\ar l\anday kesim Fal\at ikki turli bulishi mumkin:
1) I\UYI sinfida eng katta element yoki YUI\ORI sinfida eng kichik element mavjud bulgan kesim. Bunday kesim ra­snonal kesnm deb ataladi.
2) I\UYI sinfida eng katta, Ei1ement mavjud bulmagan BaYUI\ORI sinfida eng kichik element majud bulmagan kesim.
Bunday kesim nrratsnonal kesim deb ataJ1adi.
Biz 1- turdagi kesimga unga moye eng katta yoki eng kichik ratsional sonni mos I\UYAMIZ. Bu kelishuvga kura 2- turdagi kesim uchun biror ratsiona sonni MOS I\uyib bulmaYdi.
7- t a ’ rif. Ratsional sonlar tunlami Q da bajarul­
gan ukkinchu tur kesim (irratsuonal kesim) urraTSional
sonni anuk,laydu deYuladu. Berilgan kesim (A, A') aNIK,Jlagan son a. = (A, A') ku­rinishda )\am yoziladi. Ratsional va irratsional sonlar bitta
UMUMIY nom bilan x.ak.shiY sonlar deYiladi. Barcha )\aI\I­I\IY sonlar TUPJIami R :x.arfi bilan belgilanadi.
Haqiqiy sonlar to‘plami!)quyidagi xossalarga ega:
1°haqiqiy sonlar tuplami tartiblangan tuplam.
2°.haqiqiy sonlar tuplami zich tuplam.
3°.haqiqiy sonlar tuplami TULI!) (uzluksiz) tuplam.
3- m i s o l. U shbu xa = 2 teng lamani !)anoat lantiruvchi
Haqiqiy sonning mavjudligini korsating
A'={r:rEQ, >2},
A={r:rEQ, {1}- А *Ф, А' =1= Ф.
2) v а Е А, v а' Е А' =>- aZ < 2 < (а')3 =>-aZ < (а')З=>-az) Ai A' = Q.
Bu kesim biror a ~a!)i!)iy sonni aNII;Jlaydi 1 a = (A, A').
Endi A tuplamda eng katta, A' tuplamda esa eng kichik element (son) mavjud emasligini kursatamiz.
A' tuplamda go sonni (go> 1) olib, uning yordamida ushbu go _.!.. ratsional son ni i;araYmiz. (Bunda n natural son
n 3 g~ ( [3 g~ ] n> 3 tengsizlikni I\anoatlantirsin n = z + '0-2 -2 + 1 deb olish mumkin).
Bu esa A' tuplamning elementlari orasida eng kichigi mavjud emasligini kursatadi. Xuddi shu yul bilan A tuplamning elementlari orasida eng katrasi mavjud emas­ligi kursatiladi. Demak, (A, A') ikkinchi tur kesim bulib, u a irratsional sonni anni;laYdi.
Shunday sonlar ustida arifmetik amallar bajarish I\OI­dasidan foydalanib aZ = 2 ekanligini ko'rish mumkin.
Sonlarga, masalan, V 1 + 112", V {/3 + 112 sonlarga mos kesimlarni tushurish ham qiyin emas.
3-§. Xaqiqiy sonning absalyut qiymati
Biror x Ye R (x =J= O) SON ni olaYlik. Ranshanki, x, - x sonlaridan biri albatta musbat buladi. Bu musbat son x sonning absolyut I\iymati deb ataladi va uni
I x I ko'rinishida begilanadi.Nol sonning absolyut I\iymati deb nol sonining uzi olinadi.
|x I = {x, agar x;;. O bo‘lsa -x, agar x < O bolsa
Xaqiqiy sonning absolyut qiyiymatiI quyidagi xossalarga
ega:
10. V xЕ R son uchu n
Ixl;;. O, 'x/ = I-xl, x ~ 'x/, -x ~ IXJ
munosabatlar urinlidir.
20. Ushbu 'xl :a>*-aO) Ixl ~a-<==*-a~x~a munosabat lar urinlidir.
30. Ushbu I x + u I ~ I x 1 + I u 1, 'X-U/ ;;.llx\-lyll, Ix'YI=lx/'lyl, I ~ I = l:.l (u =J= O). uU!
munosabatlar urinlidir.
4- §. SONLI TUPLAMLARNING ChЕGARALARI
Elementlari x;aI\IK;IY sonlardan iborat tuplam sonli tuplam deb ataladi. Masalan,
{x:xER, a~x~b}=[a,b], (1)
{x : x Ye R, a < x < } = (a, ), (2)
{x:xER, a ~ x< } = [a, ), (3)
{x; x Ye R, a < x ~ } = (a, ] (4)
tuplamlar sonli tUplamlardir. (1) tuplam segment yoki kes­
ma, (2) tuplam interval, (3) Ba (4) tuplamlar yarim inter­
vallar deb ataladi.
Biror Ye tuplam (Ye s R) berilgan BUlsin.
8- t a ’ rif. 'Agar shunday M son (t son) mavjud bul­saki, V x Ye Ye uchun x ~ M (x ~ t) mengsizluk bajarilsa, Ye munla.m. Yuflorudan (l-};Uyudan) chegaralangan deYuladu.
9- t a ’ rif. Agar v /'.1 son (U t son) olunganda )faM shunday o Ye Ye topileaki >(xo
{0} О учу н з: о Е Е, О > a - 8.
2- t ye o r ye m a. x.ar I\anday I\uyidan chegaralangan tuplam uchu n uni I\uyidan chegaralovchi sonlar orasida eng kattasi mavjud.
12- t a ’ rif. k.uYidan chegaralangan Ye mtJnla.m. uchun uni fluyidan chegaralovchu yeonlaRNllng eng kammasi munlamnung a1iLSH fluYU chegarayei deb amaladu va inf Ye kabu belgula­
nadi.
Ravshanki,
inf Ye = -<=* {1) V х
Е Еучун х ~ Ь
2) V 8 > O uchun z: o Ye Ye, O < + 8.
4- m i ye o l. Agar Ye tuplam (Ye s R) Yul\oridan chegaralan­gan bulib, 1 s Ye bulsa, u xrsh.a sup E1 ~ supE bulishini kureatiig. Ye tuplam yuk;oridan chegaralangan, Ye 1 S Ye bulgani sa­babli 1 tuplam xam yuk;oridan chegaralangandir.
Demak, 1- teoremaga kura, Sl1pE1 va supE lar mavjud. -UJIaRNI moye ravishda a va bila n belgilaylik: supE1 = a, supE =b
Endi a =s bulishini isbotlaYmiz. Teskarisini faraz I\i.t:aYlik, ya’ni a> BUlsin. U xrlda x;ar doim a> sx > tengsizlikni I\anoatlantiruvchi sx ratsional sonni topishmumkin.
a =sup 1 bulgani uchun, shunday a* Va 1
mavjud­ki, a* > sx, demak, a* > buladi. Ammo a"va 1va 1 c
bulgani uchun a* =s . Shunday qilib< а* =с тенгсиз­liklarga ega boladi
tengsizlikka zid. De­mak, a =s , ya’ni supE1 =s supE b)'ladi.
Misol va masalalar
11. VZ sonni aNII\LOVCHI kesim tuzing.
12. Ushbu 2 = 2 tenglama ratsiona.TJ sonlar tuplamida
yechimga ega emasligini kursating .
13. Kesim yordamida V2 + Vs = Vf8 ekanini kursa­ting.
14. Kesim yordamida V2 . Vz = V6 ekanini kursating.
15. Kesim yordamida V2 + (-V2") = O bulishini kur­
sating.
16. Ushbu 5 = 3 tenglamani qanoatlantiruvchi xaqiqiy sonning mavjudligini ko'rsating.
Berilgan A va V tUp.TJamlarga kura A i V, A n V, A"'-V, V "'- A tuplamlarni toping.
17. A = {xER: -5x+ 6 =s O}, V = {xЕ R: 2x2 -5x < O}.
18. A = {xЕ R:]xl + Ix-11 =s 3}, V = {x Ye R: 2 - 5 I x 1+ 6 < O}.
19. A = {(x, y)ER X R: jx 1+IY] =s 1}, v = {(x, u) Ye R x R: x + u ?o
1}.
20. A = {(x, u) Ye R x R: xu =s O}, V = {(x, u) Ye R x R: u}.
21. A = {x Ye R: 1 < I x -31 =s 2}, B={xER:2Ix {0} уЗ},
В = {(х, у) Е R х R: 2 > u2}.
23. A = {(x, u) Ye R X R: sin (x -u) = O}, V = {(x, u) Ye R x R: cos (x + u) = O}.
24. A = {(x, u) Ye R x R: I cos xu I ?o l},
V={(x, y)ER x R:lcosxyl =s l}.
25. A = {(x, u) Ye R x R: 2 + u2 = O}, V = {(x, u) Ye R x R: 2 - u2 = O}.
26. Agar A s V bulsa, inf A ?o ipf V ekanini ko'rsating.
gan bulib, {x + u}To'plam esa {x +u: x Ye A, u Ye V} YIFIN­
dilardan iborat tuPJIam BUlsin. Unda
sup {x + u} = sup {x} + sup {u}, inf {x + u} = inf {x} + inf {u}
bulishini isbotlang.
28. A = {x} va V = {u} manfiy bulmagan \aI\IK;IY son­lar to'plamlari berilgan bulib, {x· u} tuplam esa {x· u: xЕA, u Ye V} kupaytmalardan iborat TUPJIam BUlsin. Unda sup {x u} = sup {x}· sup {u}, inf {x u} = inf {x}· inf {u} BU.pishini isbotlang.
29. A = {x} x,aK;II\IY sonlar tuplami berilgan bo'lib {- x} tuplam - x sonlardan (x Ye A) iborat tuplam Bo'lsin.Unda
sup {-x} = - inf {x},
inf {-x} = - sup {x}
bu lishini kursating .
30. Ushbu
{:}={: :mEN, nEN, mtuplamning aNII\ YUI\ORI chegarasi sup {: } 'Yea anik; I\UYI che­
garasi inf { :} larni toping.

II-BOB
SONLAR KETMA-KETLIGI VA UNING LIMITI

1§ -sonlar ketma ketligi tushunchasi
Faraz qilaylik
t x;ar bir natural son n Ye N ga birorx; n va R sonni mos qoyuvchi akslantirish bo'lsin.
Ifoda haqiqiy sonlar ketma ketligi deyiladi ({x } kurinishda belgilanadi).
n (n= 1, 2, 3, ... ) sonlar (1) ketma-ketlikning ~ad­.lari deyiadi
1- t a ' rif. Agar shunday uzgarmas i\tl yeoni mavjud bul­saki, V n Ye N uchun n ~ M (xn ~ M) bulea, u {olda {x } kemlyu-kemlik Yuf\oridan (f\uyidan) chegaralangan deYuladu. Bu ta'rifni I\ishacha z: M Ye R, V n Ye N: N ~ M (xn ~ M) kabi ifodalash mumkin. Masalan, -1, -2, -3, .. <, -n, ... ketma- ketlik YuI\oridan, 1, 4, 9, .. <, n2, •• <
ketma- ketlik esa quyidan chegaralangan.
Misol va masalalar
Quyidagi ketma- ketliklarning chegaralanganligini isbotlang:

Quydagi ketma ketliklarning chegaralanmaganliklarini isbotlang

4-tarif O'suvchi va kamayuvchi ketma ketliklar manaton ketma ketliklar deyiladi.

Masalan:
1,2,2,3,3,..................

Ketma-ketliklar bo'ladi.
Yuqoridagi tarifdan bevosita uchun

Misol va masalalar:



2- §.Sonlar ketma-ketligining limiti

sonlar ketma- ketligi J\amda biror a son (a ~ R) berilgan
bulein.
5- ta’rif. Agar v 8 > O bo'lganda -1a ,ch shunday namural PO = PO (8) son mopulsaku, barcha p> po natural sonlar uchun

Tengsizluk bajarilsa, {x,,} ketma- ketlik yaqinlashuvchi deyiladi, a son esa {x,,} ketma- ketlikning limiti deb ataladi va

Kabi belgilanadi va bu tarifni

Kabi ifodalash mumkin.
kabu belgulanadu.
Bu tO = [~] DЕ'yilsa, u xrlda V n > PO uchun
Ix"":""a l=/_n 1 \=_I_<_I_{1} О сонга кура шундай натурал ПО (по = ПО (е) Е N) сон топилишини курсатиш керакки, n >
PO bulgan barcha natural n sonlar uchun (demak, topilgan PO sondan keyin keladigan natural sonlar uchun) a’rifni k;isk;acha
Ixtiyoriy musbat 8 sonni OJ1aYlik. Unda bu 8> O songa
kura shunday natural PO (po = PO (ye) Ye N) son topilishini
kursatish kerakki, n >
PO bulgan barcha natural n sonlar uchun (demak, topilgan PO sondan keyin keladigan natural sonlar uchun) tengsizlik bajarilsin. Yuk.orida aytilgan PO sonni TOPIsh,
odatda I n I <8 tengsizlikni yechish ORk.ali amalga oshiri­
ladi:
Демак, ПО натурал сон сифатида [~ ] + 1 = по олинса,
унда V n >PO uchun!(yi" -O!=yg~<8 buladi. Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan
buladi.
e s p. a t m a. Shuni ta’kidlash .1Ozimki, ketma· ketlik limiti
ta’rifidagi berishan
8> O ga kura topiladigan
PO = PO (8) natural sonlar (ya’ni V n > po uchun I p - a I {7} ПО учун п > Ye (xp {10} ПО
учун
х n =2Уn >Ye
tengsizlik bajarilsin.Bu esa (-
Nt x = lit 21 n = + 00 n
n-700
n----700
ekanini bildiradi.
{x } na {U } ketma-ketliklar berilgan bulein.
I\uyidag
i



BUladi.
4) agar v n Ye N uchu n n ~ Un bulsa, a ~ buladi.
Es l a t m a. Agar V n Ye N uchun n < Un bulsa, a < BUJ1ISHI
shart emas. Masalan, N = --, u = - koma- ketliklar uchun
N < u n va a = = O.

u yerda biz foydalangan lit _~ = O, lit (1 + ~
\) = 1 munosabatlar bevosita limit
ta’rifiga kura isbot ~ilinadi. ll-misol. Ushbu

garalangan bulsa, uning chekli limiti mavjud BUJladi.
Agar {x } ketma- ket.lik kamayuvchi - bu lib, I\uyidan chega-
ralangan bulsa, uning chekli limiti mavjud BUladi.
13- m i
s
o
l.
Birinchi
x;adi
o = 2,
keyingi x;adlari
keTJ1IKNING limiti mavjud ekanligini kursating va shu li­
mitni toping.

teNGSIZJJIK bajaRIJJib, bu beRIJJgan ketma- keTJJIKNING ka­
maYUBCHI bulishini bildiradi. Shunday k;ilib, berilgan ket­
ma- ketlik kamayuvchi va k;uyidan chegaralangan ekan. Unda
ketma-ketlik chekli JJimitga ega BUJJadi. Bu limitni S bi­
lan belrilab teng likda limitga utsak, u ~olda
ketma-ketlikning yak;inlashuvchi ekanini isbotlang.

Agar v Ye> O songa kura po > ~
- 1 deyilsa, u ~ol,n,a
8 n > t >
po bulganda
Ix -x 1<_I_<_I_{5} n) булганда1 1
r 2 (n+l) -х \ = n+ 2
+ n+3 + ... + 2(n+l);;;;' n + I 1
;;;;. 2(n+1) = 2 >VO
6uladi. Demak, berilgan ketma-ketlik limitga ega emas;


6⁰. A (BC)=( AB) C Mιsallar

1.1 ( A  C)  (B  D)  ( A  B)  (C  D); 1.2 (B \ C) \ (B \ A)  A \ C; 1.3 C( \ B)  CA  B 1.4 ( A  B) \ C  ( A \ C)  (B \ C) 1.5 ( A  B) \ C  ( A \ C)  (B \ C 1.6 AB  ( A  B) \ ( A  B)

1.11 A \ C  ( A \ B)  (B \ C) 1.12 A \ (B \ C)  ( A \ B)  ( A  C) 1.13 ( A \ B) \ C  ( A \ B) \ (B \ C) 1.14 ( A  B) \ C  ( A \ C)  (B \ C) 1.15