Reja asosiy tushunchalar

1⁰. Musbat qatorlarning yaqinlashuvchi bo’lishi sharti. Biror (2) qator berilgan bo’lsin:

an a1  a2  an  (2)
n1
Agar a_n  0 (n 1,2,3) bo’lsa, u holda (2) qator musbat hadli qator yoki, qisqacha, musbat qator deb ataladi.

2—teorema. Ushbu a_n musbat qator yaqinlashuvchi bo’lishi uchun
n1
uning qismiy yig’indilari ketma—ketligi yuqoridan chegaralangan bo’lishi zarur va yetarli.

Zarurligi. a_n qator yaqinlashuvchi bo’lsin: ^limn A_n  A ( A— chekli
n1
son). U holda A_n ketma—ketlik yaqinlashuvchi binobarin chegaralan-gan, jumladan u yuqoridan chegaralangan bo’ladi.
Yetarliligi a_n qatorning qismiy yig’indilari ketma—ketligi A_n n1
yuqoridan chegaralangan bo’lsin.
Qatorning har biri hadi manfiy bo’lmagani uchun
An1  An an1  An
tengsizlik o’rinli, ya’ni A_n ketma—ketlik usuvchi. Shuning uchun 3—bobdagi 7—teoremaga ko’ra A_n ketma—ketlik chekli limitga ega: lim A_n  A. Bu
n

esa a_n qator yaqinlashuvchi ekanini bildiradi.
n1
4— misol. Ushbu

n1 n1 1 21  31  n1 
qatorni (uni umumlashgan garmonik qator deyiladi) _ 1 bo’lganda yaqinlashuvchi ekanligi ko’rsatilsin.
Ravshanki qismiy yig’indilardan tuzilgan

1. 
   1 1
   

A_n 1 _  _  _

2. 
   3 n
   

ketma—ketlik o’suvchi. Demak A_n  A_2n1 (n1,2,) Ayni paytda
 1 1 1   1 1   1  1   1
A2n 1  1 2  3  (2n1)  1 2  3 (2n)  (2n 1) 

 2²_  4²_  (2n²)_  1 2_¹_1 A_n
bo’ladi.
Oxirgi ikki munosabatdan ushbu
1 An 1 21 An
tengsizlik kelib chiqadi. Bundan  1 bo’lganda
A_n 1 (n 1,2,)
tengsizlik hosil bo’ladi. Bu esa A_n ketma—ketlikning yuqoridan chegaralanganligini bildiradi. 2—teoremaga ko’ra berilgan qator yaqinlashuvchidir.