Reja asosiy tushunchalar

5—misol. Quyidagi sin1^₂ sin ₂^₂ sin ₃^₂ sin _n^₂  qatorning yaqinlashuvchiligi tekshirilsin .
Bu qator hadlari uchun

0  _sin n^₂  _n^₂ (n _1,2,)
tengsizlik o’rinli bo’lishini ko’rsatish qiyin emas. Demak, berilgan qatorning har bir hadi yaqinlashuvchi ^ _n¹₂ qatorning mos hadidan kichik. 3—teoremaga
n 1
asosan berilgan qator yaqinlashuvchi.
4—teorema. Ushbu
lim ^an _ k (0 _ k _{ })
n bn
 limit mavjud bo’lsin. Agar: a) k _ ^va b_n qator yaqinlashuvchi bo’lsa , u
n1
 
holda a_n qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi; b) k 0 ^va b_n qator
n1 n1
 uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda a_n qator ham uzoqlashuvchi bo’ladi.
n1


1. 
   k _ bo’lib, b_n qator yaqinlashuvchi bo’lsin. Limit ta`rifiga
   

n1
ko’ra _0 son olinganida ham shunday n₀  N son topiladiki, barcha n  n₀ lar uchun

ya`ni
(k )b_n  a_n  (k )b_n (11)
tengsizliklar o’rinli bo’ladi.
 
Shartga ko’ra b_n qator yaqinlashuvchi. Shuning uchun (k )b_n
n1 n1
qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi. U holda (11) tengsizlikdan va 3–teore-
 madan a_n qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi.
n1


2. 
   k 0 bo’lib, b_n qator uzoqlashuvchi bo’lsin. Agar 0 k₁ k
   

n1
olsak, u holda ^{lim an}  k limit o’rinli ekanidan va k k₁ bo’lishidan, shunday
n bn
n₀  N son topiladiki, n  n₀ bo’lganda ^an  k₁ tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Demak n  n₀ bo’lganda b_{n } ¹ a_n tengsizlik bajariladi. Bundan 3—teoremaga k₁
 asosan a_n qatorning uzoqlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi.
n1
4—natija. Agar ushbu

aⁿ k lim 
n bn
  limit o’rinli bo’lib, 0k _ bo’lsa, u ^holda a_n ^va b_n qatorlar bir
n1 n1
vaqtda yaqinlashuvchi, yoki bir vaqtda uzoqlashuvchi bo’ladi.
6— misol. Ushbu
 ^n1 n1n
qatorni yaqinlashuvchilikka tekshiring.
Bu qatorni garmonik qator _n^1 ¹_n bilan taqqoslaymiz. Bu ikki qator umumiy hadlarni nisbatining limitini topamiz:

1

n 1 lim lim lim1. nn 1 n n n
n
Demak, 4—natijaga ko’ra berilgan qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
5—teorema. n_N ning biror n₀ qiymatidan boshlab barcha n _ n₀ lar uchun
an1  bn1 (12) an bn
  tengsizlik o’rinli bo’lsin. Agar : b_n qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda a_n
n1 n1
 qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi; b_n qator uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda
n1

a_n qator ham uzoqlashuvchi bo’ladi.
n1
Avval aytganimizdek (11.12) tengsizlik n _1,2, qiymatlarda baja-riladi deb hisoblash mumkin. Shunday qilib,
an1  bn1 (n1,2,)
an bn
tengsizlik o’rinli deb qaraymiz. Unda quydagi

a2  a3  an  b2  b3  bn
a1 a2 an1 b1 b2 bn1
tengsizlik kelib chiqadi. Bundan ushbu
a_n  ^a1 b_n (13) b₁
tengsizlikka ega bo’lamiz.
^Agar _n^1b_n qator yaqinlashuvchi bo’lsa , ^unda _n^1 ^a_b1¹ b_n qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi. Natijada (13) tengsizlik va 3—teoremaga asosan

a_n qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi.
(12) tengsizlik o’rinli bo’lganda a_n qatorning uzoqlashuvchi bo’lishidan b_n qatorning ham uzoqlashuvchiligi kelib chiqishi shunga o’xshash isbotlanadi.
3⁰. Musbat qatorlar uchun yaqinlashuvchilik alomatlari. Biz yuqorida musbat qatorlarni taqqoslash teoremalarini keltirdik. Garchi bu teoremalar yordamida tekshiriladigan qator hadlarini ikkkinchi qator hadlari bilan taqqoslab, qaralayotgan qatorning yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuvchiligi masalasi hal bo’lsa ham taqqoslash teoremalari ma`lum noqulayliklarga ega. Bunday noqulayliklardan biri berilgan qator bilan taqqoslana-digan qatorni tanlab olishning umumiy qoidasi yo’qligidir.
Berilgan qatorni geometrik hamda umumlashgan garmonik qatorlar bilan taqqoslab, qatorning yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuvchiligini ifodalaydigan alomatlarini keltiramiz:

a) Koshi alomati. Musbat qator a_n berilgan bo’lsin. Agar nN
n1
ning biror n₀ (n₀ 1) qiymatlardan boshlab barcha n _ n₀ qiymatlari uchun
a_n  q 1 ( a_n 1)
 tengsizlik o’rini bo’lsa, a_n qator yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo’ladi.
n1


Avval a_n qator uchun n  n₀ bo’lganda a_n  q 1 tengsizlik
n1
o’rinli bo’lsin. Bu tengsizlik ushbu a_n  qⁿ tengsizlikka ekvivalentdir . 3—
 teoremaga ko’ra a_n qator yaqinlashuvchi bo’ladi.
n1

Agar barcha n  n₀ lar uchun a_n 1 ya’ni a_n 1 tengsizlik o’rinli
 bo’lsa, u holda berilga qatorning har bir h^{adi uzoqlashuvchi}  1 qatorning
n1
 mos hadidan kichik bo’lmaydi. Yana o’sha 3—teoremaga ko’ra, a_n qator
n1 uzoqlashuvchi bo’ladi.
Amaliy masalalarni hal qilishda ko’pincha, Koshi alomatining quyi-dagi limit ko’rinishidan foydalaniladi.
Agar ushbu

lim ⁿ a_n  k
n
 limit mavjud bo’lsa, u holda a_n qator k 1 bo’lganda yaqinlashuvchi,
n1
k 1 bo’lganda esa uzoqlashuvchi bo’ladi.

7—misol. Quyidagi 1_ 2__3_2 _ 43  n1 n  qatorning
  
 3 5 7  2n1
yaqinlashuvchiligi ko’rsatilsin.
Berilgan qator uchun

n an   n1 n  n1 , lim n an   2n1 2n1 ^n
bo’ladi.
Demak , Koshi alomatiga ko’ra berilgan qator yaqinlashuvchi.