Reja eng quvvatli me'zonlar

Eng quvvatli me'zonlar. Neyman Pirson Kolmagorov mezoni, kvadrat Pirsonnin Xi mezoni.
REJA
1. Eng quvvatli me'zonlar
2.Biologik hodisalarni miqdoriy o'rganish
Biologik hodisalarni miqdoriy o'rganish, albatta, bu hodisalarni tushuntirish mumkin bo'lgan farazlarni yaratishni talab qiladi. U yoki bu gipotezani sinab ko'rish uchun bir qator maxsus tajribalar o'tkaziladi va olingan faktlar shu gipotezaga muvofiq nazariy jihatdan kutilgan ma'lumotlar bilan solishtiriladi. Agar mos kelsa, bu gipotezani qabul qilish uchun etarli sabab bo'lishi mumkin. Agar eksperimental ma'lumotlar nazariy jihatdan kutilganga to'g'ri kelmasa, taklif qilingan gipotezaning to'g'riligiga katta shubha bor. Haqiqiy ma'lumotlarning kutilgan (faraziy) ma'lumotlarga muvofiqligi xi-kvadrat mezoni bilan o'lchanadi:  xususiyatning amalda kuzatilgan qiymati men- ma'lum bir guruh uchun nazariy jihatdan kutilgan raqam yoki belgi (indikator), k Data ma'lumotlar guruhlari soni. Bu mezon 1900 yilda K. Pirson tomonidan taklif qilingan va uni ba'zan Pirson mezoni deb ham atashadi. Vazifa. Ota -onalardan biridan, ikkinchisidan faktorni meros qilib olgan 164 bola orasida 46 ta omil, 50 ta omil, 68 ta ikkalasi ham bor edi. Guruhlar orasidagi kutilgan chastotalarni 1: 2: 1 nisbatda hisoblang va Pirson testidan foydalanib, empirik ma'lumotlar bilan kelishuv darajasini aniqlang. Yechim: Kuzatilgan chastotalar nisbati 46:68:50, nazariy jihatdan kutilgan 41:82:41. Keling, ahamiyatlilik darajasini 0,05 ga teng qilib belgilaymiz. Erkinlik darajasi 5,99 ga teng bo'lgan bu darajadagi ahamiyatga ega bo'lgan Pirson mezonining jadval qiymati topildi. Shunday qilib, eksperimental ma'lumotlarning nazariy ma'lumotlarga muvofiqligi haqidagi gipotezani qabul qilish mumkin. E'tibor bering, xi-kvadrat mezonini hisoblashda biz taqsimotning ajralmas normalligi uchun shartlar qo'ymaymiz. Chi-kvadrat testi biz taxmin qilishda erkin bo'lgan har qanday tarqatish uchun ishlatilishi mumkin. Bunda bu mezonning qandaydir universalligi bor. Pirson testining yana bir qo'llanilishi - empirik taqsimotni Gauss normal taqsimoti bilan solishtirish. Shu bilan birga, uni taqsimot normalligini tekshirish mezonlari guruhiga kiritish mumkin. Faqatgina cheklov shundaki, bu mezondan foydalanganda umumiy qiymatlar soni (variant) etarlicha katta bo'lishi kerak (kamida 40), alohida sinflardagi qiymatlar soni (intervallar) kamida 5 bo'lishi kerak. Aks holda, qo'shni intervallarni birlashtirish kerak. Oddiy taqsimotni tekshirishda erkinlik darajalari sonini quyidagicha hisoblash kerak. FISHER MEZONI. Bu parametrik test odatdagi tarqalgan umumiy populyatsiyalarning xilma -xilligi haqidagi nol gipotezani tekshirish uchun ishlatiladi. Yoki. Kichik namunaviy o'lchovlar uchun, talabalar testidan foydalanish, agar farqlar teng bo'lsa, to'g'ri bo'lishi mumkin. Shuning uchun, namunaviy o'rtacha qiymatlarning tengligini tekshirishdan oldin, Student testining haqiqiyligiga ishonch hosil qilish kerak. qayerda N. 1 , N. 2  namuna o'lchamlari,  1 ,  2  bu namunalar uchun erkinlik darajalari soni. Jadvallardan foydalanganda shuni ta'kidlash kerakki, kattaroq dispersiyali namuna uchun erkinlik darajasi jadvalning ustun raqami, kichikroq dispersiya uchun esa jadval satrining raqami sifatida tanlanadi. Matematik statistika jadvallaridan  ahamiyatlilik darajasi uchun biz jadval qiymatini topamiz. Agar shunday bo'lsa, tanlangan ahamiyatlilik darajasi uchun farqlar tengligi gipotezasi rad etiladi. Misol. Kobaltning quyonlarning tana vazniga ta'sirini o'rgangan. Tajriba ikki guruh hayvonlarda o'tkazildi: eksperimental va nazorat. Tajribali kobalt xloridning suvli eritmasi shaklida dietaga qo'shimchalarni oldi. Tajriba davomida kilogramm ortishi grammda edi: Boshqaruv ). Sinov qilinayotgan gipotezaning o'ziga xos formulasi har bir holatda farq qiladi. Bu postda \ (\ chi ^ 2 \) mezonining immunologiyadan (faraziy) misol yordamida qanday ishlashini tasvirlab beraman. Tasavvur qiling -a, biz tanaga tegishli antitellar kiritilganda mikrob kasalligining rivojlanishini bostirish samaradorligini aniqlash uchun tajriba o'tkazdik. Hammasi bo'lib, tajribaga 111 ta sichqon jalb qilindi, biz ularni ikki guruhga, jumladan 57 va 54 ta hayvonlarga ajratdik. Sichqonlarning birinchi guruhiga patogen bakteriyalar, so'ngra bu bakteriyalarga qarshi antikorlari bo'lgan qon zardobi kiritildi. Ikkinchi guruh hayvonlari nazorat vazifasini o'tagan - ularga faqat bakterial in'ektsiya berilgan. Bir muncha vaqt inkubatsiyadan so'ng, 38 sichqon o'lib, 73 tirik qolgani ma'lum bo'ldi. O'lganlarning 13 nafari birinchi guruhga, 25 nafari ikkinchi guruhga tegishli (nazorat). Bu tajribada sinab ko'rilgan null gipotezani quyidagicha shakllantirish mumkin: zardobni antikor bilan yuborish sichqonlarning omon qolishiga ta'sir qilmaydi. Boshqacha qilib aytganda, biz sichqonlarning omon qolish darajasidagi farqlar (birinchi guruhda 77,2%, ikkinchi guruhda 53,7%) mutlaqo tasodifiy va antikorlarning ta'siri bilan bog'liq emasligini ta'kidlaymiz. Bunday jadvallar favqulodda vaziyatlar jadvali deb ataladi. Bu misolda jadvalning o'lchami 2x2: ikkita toifadagi ob'ektlar mavjud ("Bakteriyalar + sarum" va "Faqat bakteriyalar"), ular ikkita mezon bo'yicha o'rganiladi ("O'lik" va "Omon qolgan"). Bu favqulodda vaziyatlar jadvalining eng oddiy holati: albatta, o'rganilgan sinflar soni ham, xususiyatlar soni ham ko'p bo'lishi mumkin. Yuqorida keltirilgan null gipotezani sinab ko'rish uchun, agar antikorlar sichqonlarning omon qolishiga hech qanday ta'sir qilmasa, vaziyat qanday bo'lishini bilishimiz kerak. Boshqacha aytganda, siz hisoblashingiz kerak kutilgan chastotalar favqulodda vaziyatlar jadvalining mos keladigan hujayralari uchun. Buni qanday qilish kerak? Tajribada jami 38 ta sichqon o'ldi, bu umumiy hayvonlarning 34,2% ni tashkil qiladi. Agar antikorlarni yuborish sichqonlarning omon qolishiga ta'sir qilmasa, har ikkala eksperimental guruhda ham o'limning bir xil foizini, ya'ni 34,2%ni kuzatish kerak. 57 va 54 ning 34,2% qancha ekanligini hisoblab, biz 19,5 va 18,5 ni olamiz. Bu bizning eksperimental guruhlarimizda kutilayotgan o'lim ko'rsatkichlari. Kutilayotgan omon qolish darajasi xuddi shunday hisoblab chiqilgan: 73 ta sichqon jami omon qolganligi yoki ularning umumiy sonining 65,8 foizi, kutilgan omon qolish darajasi 37,5 va 35,5 bo'ladi. Keling, kutilgan chastotalar bilan yangi favqulodda vaziyatlar jadvalini tuzaylik:

Ko'rib turganingizdek, kutilgan chastotalar kuzatilganlardan ancha farq qiladi, ya'ni. Antikorlarning kiritilishi patogen mikroorganizm bilan kasallangan sichqonlarning omon qolishiga ta'sir qilgandek. Biz bu taassurotni Pirsonning moslik testi yordamida aniqlashimiz mumkin \ (\ chi ^ 2 \): \ [\ chi ^ 2 = \ sum _ () \ frac ((f_o - f_e) ^ 2) (f_e), \] bu erda \ (f_o \) va \ (f_e \) mos ravishda kuzatilgan va kutilayotgan chastotalar. Yig'ish barcha jadval katakchalari ustida bajariladi. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan misol uchun bizda bor \ [\ chi ^ 2 = (13 - 19,5) ^ 2 / 19,5 + (44 - 37,5) ^ 2 / 37,5 + (25 - 18,5) ^ 2 / 18,5 + (29 - 35,5) ^ 2 / 35,5 = \] Olingan qiymat \ (\ chi ^ 2 \) null gipotezani rad etish uchun etarlimi? Bu savolga javob berish uchun mezonning tegishli kritik qiymatini topish kerak. \ (\ Chi ^ 2 \) uchun erkinlik darajalari soni \ (df = (R - 1) (C - 1) \) deb hisoblanadi, bu erda \ (R \) va \ (C \) - son jadval konjugatsiyasidagi qatorlar va ustunlar. Bizning holatda \ (df = (2 -1) (2 - 1) = 1 \). Erkinlik darajalari sonini bilib, endi qchisq () standart funktsiyasi yordamida \ (\ chi ^ 2 \) kritik qiymatini osonlikcha bilib olamiz: Shunday qilib, faqat 5% hollarda bir darajali erkinlik bilan \ (\ chi ^ 2 \) mezonining qiymati 3,841 dan oshadi. Bizning 6,79 bahoimiz bu tanqidiy qiymatdan sezilarli darajada oshadi, bu bizga antikorlarni yuborish va yuqtirilgan sichqonlarning omon qolishi o'rtasida hech qanday bog'liqlik yo'q degan gipotezani rad etish huquqini beradi. Bu gipotezani rad etib, biz 5%dan kam ehtimollik bilan xato qilish xavfini tug'diramiz. Shuni ta'kidlash kerakki, \ (\ chi ^ 2 \) mezonining yuqoridagi formulasi 2x2 favqulodda vaziyatlar jadvallari bilan ishlashda biroz yuqori baholangan qiymatlarni beradi. Sababi \ (\ chi ^ 2 \) mezonining tarqalishi uzluksiz, ikkilik xususiyatlarning chastotalari ("o'ldi" / "omon qoldi") ta'rifi bo'yicha diskret. Shu nuqtai nazardan, mezonni hisoblashda, deb ataladigan narsani kiritish odat tusiga kiradi. uzluksizlikni tuzatish, yoki Yatesning tuzatishi : \ [\ chi ^ 2_Y = \ sum _ () \ frac ((| f_o - f_e | - 0.5) ^ 2) (f_e). \] "Yates bilan chi-kvadrat testi" uzluksizligini to'g'irlash ma'lumotlari: sichqonlar X-kvadrat = 5.7923, df = 1, p-qiymati = 0.0161 Ko'rib turganingizdek, R avtomatik ravishda uzluksizlik uchun Yates tuzatishini qo'llaydi ( Pirsonning Yates bilan Chi-kvadrat testi uzluksizligini tuzatish). Dastur tomonidan hisoblangan \ (\ chi ^ 2 \) qiymati 5,79213 edi. Biz 1% dan yuqori ehtimollik bilan xatoga yo'l qo'yib, antikor ta'sirining yo'qligi haqidagi gipotezani rad eta olamiz (p-qiymati = 0.0161). Ki-kvadrat test-eksperimental natijalar va ishlatilgan statistik model o'rtasidagi kelishuvni tekshirishning universal usuli. PIRSON MASOFASI X 2 A.M. Pyatnitskiy Rossiya davlat tibbiyot universiteti 1900 yilda Karl Pirson model bashoratlari va eksperimental ma'lumotlar o'rtasidagi kelishuvni sinab ko'rishning oddiy, ko'p qirrali va samarali usulini taklif qildi. Uning "ki-kvadrat testi" eng muhim va tez-tez ishlatiladigan statistik testdir. Modelning noma'lum parametrlarini baholash va modelning kelishuvi va eksperimental ma'lumotlarni tekshirish bilan bog'liq muammolarning aksariyati uning yordami bilan hal qilinadi. O'rganilayotgan ob'ekt yoki jarayonning apriori ("tajribadan oldingi") modeli bo'lsin (statistikada ular "nol gipoteza H 0" haqida gapiradi) va ushbu ob'ekt bilan o'tkazilgan tajriba natijalari. Agar model etarli bo'lsa (u haqiqatga mos keladimi) qaror qabul qilish kerakmi? Tajriba natijalari haqiqat qanday ishlashi haqidagi fikrlarimizga zid keladimi yoki boshqacha aytganda H 0 rad etilishi kerakmi? Ko'pincha bu muammoni kuzatilgan (O i = Kuzatilgan) va kutilayotgan modelga (E i = Kutilgan) ko'ra, ma'lum hodisalar sodir bo'lishining o'rtacha chastotalarini solishtirish bilan kamaytirish mumkin. Kuzatilgan chastotalar doimiy (!) Shartlar ostida o'tkazilgan N mustaqil (!) Kuzatishlar qatorida olingan deb ishoniladi. Har bir kuzatuv natijasida M hodisalardan biri qayd qilinadi. Bu hodisalar bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkin emas (ular juft bo'lib bir -biriga mos kelmaydi) va ulardan biri albatta sodir bo'ladi (ularning kombinatsiyasi ishonchli hodisani tashkil qiladi). Barcha kuzatuvlarning jami (O i) = (O 1, ... O M) chastotalar jadvaliga (vektoriga) tushiriladi, u tajriba natijalarini to'liq tavsiflaydi. O 2 = 4 2 -raqamli voqea 4 marta sodir bo'lganligini bildiradi. O 1 + ... O M = N chastotalar yig'indisi. Ikki holatni ajratish juda muhim: N - sobit, tasodifiy emas, N - tasodifiy. Tajribalarning umumiy soni N uchun chastotalar polinomli taqsimotga ega. Keling, ushbu umumiy sxemani oddiy misol bilan tushuntirib beraylik. ODDIY GIPOTEZALARNI TEKSHIRISH UCHUN XI-KVADRAT TESTINI QO'LLASH. Modelga (nol gipoteza H 0) o'lim to'g'ri ekanligini aytsin - hamma yuzlar p i = 1/6, i =, M = 6 ehtimoli bilan bir xil tez -tez tushadi. Suyak 60 marta tashlanganidan iborat bo'lgan eksperiment o'tkazildi (N = 60 mustaqil sinov o'tkazildi). Modelga ko'ra, 1,2, ... 6 nuqta ko'rinishidagi barcha kuzatilgan O i chastotalari o'rtacha qiymatlariga yaqin bo'lishi kerak deb kutamiz E i = Np i = 60 ∙ (1/6) = 10. H 0 ga ko'ra, o'rtacha chastotalar vektori (E i) = (Np i) = (10, 10, 10, 10, 10, 10). (O'rtacha chastotalar tajriba boshlanishidan oldin to'liq ma'lum bo'lgan gipotezalar oddiy deb ataladi.) Agar kuzatilgan vektor (O i) (34,0,0,0,0,26) ga teng bo'lsa, u darhol model noto'g'ri ekanligi aniq - suyak to'g'ri bo'lishi mumkin emas, chunki faqat 1 va 6 marta 60 marta yiqilgan. To'g'ri o'lishi uchun bunday hodisaning ehtimoli ahamiyatsiz: P = (2/6) 60 = 2.4 * 10 -29 . Biroq, model va tajriba o'rtasida bunday aniq tafovutlarning paydo bo'lishi istisno hisoblanadi. Kuzatilgan chastotalar vektori (O i) (5, 15, 6, 14, 4, 16) bo'lsin. Bu H 0 ga mos keladimi? Shunday qilib, biz ikkita chastota vektorini (E i) va (O i) solishtirishimiz kerak. Bunday holda, kutilayotgan chastotalar vektori (E i) tasodifiy emas, lekin kuzatiladigan vektorlar (O i) tasodifiy - keyingi tajribada (60 ta yangi tortishish seriyasida) u boshqacha bo'lib chiqadi. Masalaning geometrik talqinini kiritish va chastota makonida (bu holda 6 o'lchovli) ikkita nuqta koordinatali (5, 15, 6, 14, 4, 16) va (10, 10, 10, 10, 10, 10). Ular H 0 ga mos kelmaydigan deb hisoblanishi uchun bir -biridan etarlicha uzoqmi? Boshqacha aytganda, bizga kerak: Endi masofalarni hisoblash formulasi tanlanganidan so'ng, qaysi masofalarni "unchalik katta emas" deb hisoblash kerakligini aniqlash kerak (H 0 ga mos). Masalan, biz hisoblagan masofa haqida nima deyishimiz mumkin 15.4 ? Agar biz tajribalarni to'g'ri o'lik holda o'tkazgan bo'lsak, qaysi holatlarda (yoki ehtimol) 15,4 dan katta masofani olamiz? Agar bu foiz kichik bo'lsa (<0.05), то H 0 надо отвергнуть. Иными словами требуется найти распределение длярасстояния Пирсона. Если все ожидаемые частоты E i не слишком малы (≥5), и верна H 0 , то нормированные разности (O i - E i )/E i 1/2 приближенно эквивалентны стандартным гауссовским случайным величинам: (O i - E i )/E i 1/2 ≈N (0,1). Это, например, означает, что в 95% случаев| (O i - E i )/E i 1/2 | < 1.96 ≈ 2 (правило “двух сигм”). Tushuntirish... O'lchovlar soni I i bilan jadvalning yacheykasiga tushadi, bu parametrlar bilan binomial taqsimotga ega: m = Np i = E i, σ = (Np i (1-pi)) 1/2, bu erda N o'lchovlar soni (N "1), pi - bitta o'lchovning bu katakka tushish ehtimoli (esda tutingki, o'lchovlar mustaqil va doimiy sharoitda bajariladi). Agar pi kichik bo'lsa, u holda: σ≈ (Np i) 1/2 = E i va binomial taqsimot Puassonga yaqin, bunda kuzatuvlarning o'rtacha soni E i = λ va standart og'ish σ = λ 1/2 = E i 1/2. Λ≥5 uchun Poisson taqsimoti normal N ga yaqin (m = E i = λ, p = E i 1/2 = λ 1/2) va normallashtirilgan miqdor (O i - E i)/E i 1/2 ≈ N (0, 1). Pirson tasodifiy o'zgaruvchini χ 2 n - "n darajali erkinlikdagi chi -kvadrat" ni n mustaqil standart normal rv kvadratlarining yig'indisi sifatida aniqladi: χ 2 n = T 1 2 + T 2 2 +… + T n 2, qaerda, barcha T i = N (0,1) - n O. R. bilan. v. Keling, statistikada bu eng muhim tasodifiy o'zgaruvchining ma'nosini aniq tushunishga harakat qilaylik. Buning uchun, tekislikda (n = 2 uchun) yoki kosmosda (n = 3 uchun), biz koordinatalari mustaqil va standart normal taqsimotga ega bo'lgan nuqtalar bulutini ifodalaymiz f T (x) ~ exp (-x 2) /2). Samolyotda, ikkala koordinataga mustaqil ravishda qo'llaniladigan "ikkita sigma" qoidasiga ko'ra, 90% (0,95 * 0,95≈0,90) nuqta kvadrat ichida (-2) f χ 2 2 (a) = Sexp (-a / 2) = 0,5 exp (-a / 2). Erkinlik darajasi n (n> 30) etarlicha ko'p bo'lsa, chi-kvadrat taqsimoti normalga yaqinlashadi: N (m = n; σ = (2n) ½). Bu "markaziy chegara teoremasi" ning natijasidir: cheksiz dispersiya bilan bir xil taqsimlangan miqdorlarning yig'indisi atamalar sonining ko'payishi bilan oddiy qonunga yaqinlashadi. Amalda shuni esda tutish kerakki, masofaning o'rtacha kvadrati m (χ 2 n) = n ga teng va uning dispersiyasi σ 2 (χ 2 n) = 2n. Bundan xulosa qilish mumkinki, qaysi xi -kvadrat qiymatlari juda kichik va juda katta deb hisoblanishi kerak: taqsimotning ko'p qismi n -2 ∙ (2n) n dan n + 2 ∙ (2n) ½ oralig'ida joylashgan. . Shunday qilib, Pirsonning n + 2 ∙ (2n) ½ dan oshadigan masofalari nihoyatda katta (H 0 ga zid) hisoblanishi kerak. Agar natija n + 2 ∙ (2n) ½ ga yaqin bo'lsa, u holda siz va qaysi ki-kvadrat qiymatlari qanday nisbatda paydo bo'lishi mumkinligini aniqlaydigan jadvallardan foydalanishingiz kerak. Erkinlik darajasi (n .d .f.) Uchun to'g'ri qiymatni qanday tanlashni bilish muhimdir. N oddiygina raqamlar soniga teng deb taxmin qilish tabiiydek tuyuldi: n = M. Pirson o'z maqolasida shunday taklif qilgan. Zar misolida bu n = 6 degan ma'noni anglatadi. Biroq, bir necha yil o'tgach, Pirsonning xato qilgani ko'rsatildi. Erkinlik darajalari soni har doim bitlar sonidan kam bo'ladi, agar tasodifiy o'zgaruvchilar O i. Zar misol uchun, O i yig'indisi 60 ga teng va faqat 5 ta chastotani mustaqil ravishda o'zgartirish mumkin, shuning uchun to'g'ri qiymat n = 6-1 = 5. N ning bu qiymati uchun n + 2 ∙ (2n) ½ = 5 + 2 ∙ (10) ½ = 11.3 ni olamiz. 15.4> 11.3dan boshlab, H 0 gipotezasi - o'lim to'g'ri, rad qilinishi kerak. Xato aniqlangandan so'ng, mavjud jadvallar 2 ni to'ldirish kerak edi, chunki dastlab n = 1 holati yo'q edi, chunki eng kichik raqamlar = 2. Ma'lum bo'lishicha, Pirson masofasi distribution 2 n = 1 taqsimotga ega bo'lgan holatlar bo'lishi mumkin. Misol... 100 ta tanga tashlashda gerblar soni O 1 = 65, dumlari O 2 = 35. Raqamlar soni M = 2. Agar tanga nosimmetrik bo'lsa, u holda kutilgan chastotalar E 1 = 50, E 2 = 50. X 2 Pirson = S(O i -E i) 2/E i = (65-50) 2/50 + (35-50) 2/50 = 2 * 225/50 = 9. Olingan qiymatni normal 2 n = 1 tasodifiy o'zgaruvchining taxminiy qiymatlari bilan solishtirish kerak, bu standart normal qiymat kvadrat 2 n = 1 = T 1 2 ≥ 9 ó T 1 ≥3 yoki T 1 ≤-3. Bunday hodisaning ehtimoli juda kichik P (χ 2 n = 1 ≥9) = 0.006. Shuning uchun tangani nosimmetrik deb hisoblash mumkin emas: H 0 rad etilishi kerak. Erkinlik darajalari soni raqamlar soniga teng bo'la olmasligi, kuzatilgan chastotalar yig'indisi har doim kutilganlarning yig'indisiga teng bo'lishidan dalolat beradi, masalan O 1 + O 2 = 65 + 35 = E 1 + E 2 = 50 + 50 = 100. Shuning uchun, O 1 va O 2 koordinatali tasodifiy nuqtalar to'g'ri chiziqda joylashgan: O 1 + O 2 = E 1 + E 2 = 100 va markazgacha bo'lgan masofa bu cheklov bo'lmaganidan kamroq bo'ladi, va ular butun samolyotda joylashgan edi. Darhaqiqat, E 1 = 50, E 2 = 50 matematik taxminlarga ega bo'lgan ikkita mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ularning amalga oshishi har doim 100 ga teng bo'lmasligi kerak - masalan, O 1 = 60, O 2 = 55 qiymatlari. maqbul bo'lsin. Tushuntirish... Keling, M = 2 uchun Pirson mezonining natijasini Moivre Laplas formulasi bilan sodir bo'layotgan hodisalar chastotasining tasodifiy tebranishlarini baholaganda, $ \ mathbb K = N / \ frac {1} {1} $ mustaqil mustaqil Bernulli testlarida (K - muvaffaqiyatlar soni): χ 2 n = 1 = S(O i -E i) 2 / E i = (O 1 -E 1) 2 / E 1 + (O 2 -E 2) 2 / E 2 = (Nν -Np) 2 / (Np) + (N ( 1-ν) -N (1-p)) 2 / (N (1-p)) = = (Nν-Np) 2 (1 / p + 1 / (1-p)) / N = (Nν-Np) 2 / (Np (1-p)) = ((K-Np) / (Npq) ) 2 = T 2 T = (K -Np) / (Npq) ½ = (K -m (K)) / p (K) ≈N (0,1) qiymati σ (K) = (Npq) ½ ≥3 bilan. Ko'ramizki, bu holda Pirsonning natijasi binomial taqsimotga normal yaqinlashuvni qo'llash natijasi bilan bir xil bo'ladi. Hozircha biz oddiy gipotezalarni ko'rib chiqdik, ular uchun kutilgan o'rtacha E i chastotalari oldindan to'liq ma'lum. Murakkab gipotezalar uchun erkinlik darajasini to'g'ri sonini qanday tanlashni quyida ko'rib chiqing. MURAKKAB GIPOTEZALAR UCHUN XI-KVADRAT TEST To'g'ri o'lik va tanga misollarda, kutilgan chastotalarni tajribadan oldin aniqlash mumkin edi (!). Bunday gipotezalar "oddiy" deb nomlanadi. Amalda "murakkab farazlar" ko'proq uchraydi. Shu bilan birga, kutilayotgan E i chastotalarini topish uchun bir yoki bir nechta miqdorni (model parametrlarini) oldindan baholash kerak va buni faqat eksperimental ma'lumotlar yordamida amalga oshirish mumkin. Natijada, "murakkab gipotezalar" uchun kutilgan E i chastotalari kuzatilgan O i chastotalariga bog'liq bo'lib chiqadi va shuning uchun ular tajriba natijalariga qarab o'zgarib turadigan tasodifiy o'zgaruvchiga aylanadi. Parametrlarni tanlash jarayonida Pirson masofasi kamayadi - parametrlar model va tajriba o'rtasidagi kelishuvni yaxshilash uchun tanlanadi. Shuning uchun erkinlik darajalari soni kamayishi kerak. Model parametrlarini qanday baholash mumkin? Baholashning turli xil usullari mavjud - "maksimal ehtimollik usuli", "momentlar usuli", "almashtirish usuli". Biroq, Pirson masofasini minimallashtirish orqali qo'shimcha mablag 'jalb qilmaslik va parametrlar bahosini topmaslik mumkin. Kompyuterdan oldingi davrda bu yondashuv kamdan-kam ishlatilgan: hisob-kitoblarni o'zlashtirish noqulay va, qoida tariqasida, analitik echimga qaramaydi. Kompyuter hisob -kitoblarida, odatda, sonlarni minimallashtirish oson va bu usulning afzalligi uning ko'p qirraliligi. Shunday qilib, "ki-kvadratni minimallashtirish usuli" ga ko'ra, biz noma'lum parametrlarning qiymatlarini tanlaymiz, shunda Pirson masofasi eng kichik bo'ladi. (Aytgancha, topilgan minimalga nisbatan kichik masofalarda bu masofadagi o'zgarishlarni o'rganib, baholash aniqligi o'lchovini taxmin qilish mumkin: ishonch oralig'ini yaratish.) Parametrlar va bu minimal masofaning o'zi topilgach, yana u etarlicha kichikmi degan savolga javob berish uchun talab qilinadi