Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

2. Chiziqli bo‘lmagan tenglamani ildizlarga ajratish.
Tenglama ildizlarini ajratish – bu ildizlarning mavjudligini va sonini aniqlash hamda ularning har biri yotgan yetarlicha kichik [a,b] kesmani topishdan iborat. Birinchi qadamda ildizlarning soni va turi aniqlanadi, ularning sonlar o‘qida taqsimlanishini baholanadi. Keyin esa ana shu ildizlar yotgan interval yoki ularning taqribiy qiymatlari topiladi. Ildizlarni ajratish uchun ko‘pincha quyidagi teoremalardan foydalaniladi (ularni isbotsiz keltiramiz). 1-teorema (Boltsman–Koshi teoremasi). Agar f(x) funksiya [a,b] kesmaning chetlarida har xil ishorali qiymatlarga ega bo‘lsa, u holda bu kesmaning ichida (1.1) tenglama hech bo‘lmaganda bitta ildizga ega. Agar (a,b) intervalda f(x) hosila mavjud bo‘lib, u o‘z ishorasini almashtirmasa, u holda bu ildiz yagona. 2-teorema. f(x) funksiya [a, b] kesmada analitik funksiya bo‘lsin. Agar [a, b] kesmaning chetki nuqtalarida f(x) funksiya har xil ishorali qiymatlarini qabul qilsa, u vaqtda (1.1) tenglamaning a va b nuqtalar orasida yotadigan ildizlarning soni toqdir. Agar f(x) funksiya [a, b] kesmaning chetki nuqtalarida bir xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u vaqtda (1.1) tenglamaning ildizlari yoki [a, b] kesmada yotmaydi yoki ularning soni juftdir (karraliligini hisobga olgan holda). Transendent tenglamalar ildizlarining soni ixtiyoriy bo‘lishi mumkin. 8 Chiziqli bo‘lmagan tenglamalar uchun ildizlarni ajtatishning umumiy usuli yo‘q. Buning uchun ma’lum bir qadam bilan o‘zgaruvchi x larda f(x) funksiyaning qiymatlarini hisoblab ko‘rish mumkin. Agar yonma-yon ikkita a va b nuqtalarda f(x) funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qilsa, ya’ni, masalan, f(a)< 0 va f(b) > 0 bo‘lsa yoki f(a)·f(b)  0 shart bajarilsa, u holda [a,b] kesmada f(x) funksiya uzluksiz bo‘lganligi uchun uning shu kesmada hech bo‘lmaganda bitta ildizi mavjud bo‘ladi. Diqqat qiling, f(a)·f(b) yechiladi. Bundan tashqari bu funksiyaning hosilasi biror sababga ko‘ra mavjud bo‘lmagan barcha nuqtalar topiladi (masalan funksiya ifodasining maxraji nolga teng, logarifm ostida nol paydo bo‘ladi va hokazo). Ana shu nuqtalar (kritik nuqtalar) yoki ularga juda yaqin bo‘lgan nuqtalarda f(x) funksiyaning ishorasi, ya’ni signf(x) tekshiriladi. Shundan keyin kritik 9 nuqtalar (sonlar o‘qining chetki - va  nuqtalari ham) atrofida funksiyaning ishorasi aniqlanadi, bu qatordan jadval tuziladi. Bu qatorda funksiyaning f(xi) qiymatlari ishorasining almashinishlari soni ildizlar sonini bildiradi, chetlarida signf(x) har xil bo‘lgan va o‘zida ildizlarni lokallashtirgan intervallar aniqlanadi. Ildiz yotgan intervalni qisqartirish maqsadida ekstremum nuqtalardan tashqari shunday qo‘shimcha nuqtalar kiritiladiki (masalan, kesmaning chegaralaridan biri  bo‘lganda), natijada ildiz lokallashtiriladi. Agar f(z) = 0 tenglamaning kompleks ildizlarini topish talab etilsa, u holda z = x + iy almashtirish olinib, bu tenglama f 1 (x,y) +i f2 (x,y) = 0 ko‘rinishga keltiriladi, bu yerdan esa ikkita f 1 (x,y) = 0 va f 2 (x,y) = 0 tenglamalar sistemasi yechilib, shu egri chiziqlarning kesishish nuqtalari topiladi. Topilgan kesishish nuqtalarning mos absissa va ordinatalari f(z)=0 tenglama ildizlarining mos haqiqiy va mavhum qismlarini ifodalaydi. Chiziqli bo‘lmagan tenglama ildizlarini ajratishning quyidagi analitik usullari mavjud: Bosh usul – bu tenglamaga kirgan funksiyalarning xossalarini bilish usuli. Masalan, (x 2–3x+5)/(2+x 2 )=0 tenglamaning maxrajini qarab o‘tirishga hojat yo‘q, chunki u hech qachon nolga aylanmaydi. Kichik parametr usuli. Faraz qilaylik, f(z)=0 ni quyidagicha f(z)=Q(z)+(z)=0 ifodalash mumkin bo‘lsin, bunda (z) << Q(z) va Q(z) ning ildizlari ma’lum. U holda f(z) ning ildizlari Q(z) ning ildizlari yaqinida yotadi. Masalan, 0,001x 3+x 2– 5x+6=0 tenglamaning ildizlari ushbu (z)= 0,001x 3 va Q(z) = x 2 – 5x+6 belgilashlarga ko‘ra x=2 va x=3 dan bir oz qo‘zg‘algan bo‘ladi (1.4-rasm)

3. Chiziqli bo‘lmagan tenglama oddiy ildizlarini topishning taqribiy usullari.
Quyida f(x)=0 tenglamaning faqat oddiy ildizlarini topish masalasi qaraladi. Buning uchun masala umumiy holda quyidagi shartlar bilan qo‘yiladi. Masalaning qo‘yilishi. Chekli [a,b] kesmada aniqlangan, uzluksiz, ikki marta differensiyallanuvchan, ya’ni birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari shu kesmada mavjud va unda bu hosilalari o‘z ishorasini saqlaydigan (birinchi hosilasi nolga aylanmaydigan) f(x) funksiya uchun f(x)=0 tenglama [a,b] kesmada yagona yechimga ega bo‘lsin va bu yechimni berilgan  > 0 aniqlikda taqribiy hisob usullari yordamida topish talab qilinadi. 1.4.1. Skanirlash usuli Berilgan f(x)=0 tenglamaning [a,b] kesmadagi ildizi ajratilgan bo‘lsin. [a,b] kesma berilgan yetarlicha kichik  uzunlikdagi kesmalarga bo‘linadi va hosil bo‘lgan kesmalarning oxirlarida y=f(x) funksiyaning qiymatlari hisoblanadi. Bu qiymatlarni tahlil qilish bilan qaysi oraliqda funksiya o‘z ishorasini almashtirayotganligini (yoki qiymati aniq nolga teng ekanligini (bu juda kamdan kam holda kuzatiladi)) aniqlash mumkin (1.11-rasm). (1.1) tenglamaning yechimi sifatida tanlangan kesmaning chegaralaridagi xoxlagan xi – chap yoki xi+1 – o‘ng uchi nuqtasini, yanada aniqroq bo‘lishi uchun esa, kesmaning o‘rtasidagi x = (xi + xi+1)/2 nuqtani olish mumkin. Bu bilan biz talab qilingan  aniqlikdagi yechimga erishgan bo‘lamiz. Amaliyotda bu usul qo‘llanilganda ko‘pincha [a,b] kesma 2 yoki /2 uzunlikdagi kesmalarga bo‘linishi ham mumkin,
asosiy natijaga deyarli ta’sir qilmaydi. Usulning samaradorligini oshirish maqsadida aniqlashtirishni bir necha bosqichda bajarish ham mumkin. Dastlabki bosqichda [a,b] kesma  ning kattaroq qiymatlarida bo‘laklarga bo‘linadi, ya’ni qo‘pol yechim topiladi. Keyingi bosqichda esa shu topilgan oxirgi kesma bo‘lagi yana 22 bo‘laklarga bo‘linadi va yanada aniqroq yechimga erishiladi. Bu jarayon bir necha marotaba takrorlanishi ham mumkin. Bu bilan kamroq qadamlar bilan berilgan xatolikdagi yechimga erishish mumkin. Bu usul juda ham sodda bo‘lganligi uchun uning tahliliga va tadbiqiga oid misollarga to‘xtalib o‘tirmaymiz. 1.4.2. Kesmani teng ikkiga bo‘lish usuli (dixotomiya usuli) Bu usul f(x) funksiya haqida ma’lumotlar juda ham kam bo‘lganda foydalanishga qulay. Faraz qilaylik, f(x) funksiya (a,b) intervalning qaysidir bir nuqtasida nolga aylanishini aniqladik, bunda ildizdan chaproqda f(x)0. Bunday holda izlanayotgan ildizni topish murakkab bo‘lmaydi. Kesmani teng ikkiga bo‘lamiz va hosil bo‘lgan xi nuqtada funksiyaning ishoraini qaraymiz. Agar f(xi)>0 bo‘lsa, yuqori chegarani b = xi deb, aksincha esa quyi chegarani a = xi deb siljitamiz va hokazo (1.12-rasm). Bularni quyidagicha ham ifodalash mumkin: Faraz qilaylik, f(a) f(b) < 0. a0 = a va b0 = b deb belgilash kiritamiz. U holda ketma–ket yaqinlashish quyidagicha:                           , , agar ( ) ( ) 0. , , agar ( ) ( ) 0, , , 1,2,...; 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n c b f c f b a c f a f c a b x a b a n                    , , agar ( ) ( ) 0. , , agar ( ) ( ) 0, , 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n x b f x f b a x f a f x a b Bu jarayon f(xn+1) = 0 bo‘lganda to‘xtatiladi va x = xn+1 deb qabul qilinadi.
Bu usul kesmani teng ikkiga bo‘lish usuli, dixotomiya usuli (grekchadan  – ikki qismga  – kesish), biseksiyalar usuli yoki vilka usuli deb ataladi. 23 Agar tenglamaning qolgan ildizlarini ham aniqlash zarurati tug‘ilsa, u holda g(x) = f(x)/(x – x ) tenglikdan ketma-ket foydalanib, har safar topilgan x ildiz chiqarib tashlanadi (endi g(x) = 0 va f(x) = 0 tenglamalarning x (bu nuqta g(x) funksiya uchun qutb, f(x) funksiya uchun esa ildiz) dan boshqa barcha ildizlari mos keladi). Talab qilingan aniqlikdagi yechimga erishish uchun avvalo g(x) funksiyaning ildizi qo‘pol holda bo‘lsa ham topiladi, keyin esa bu ildiz f(x) funksiyadan foydalanib aniqlashtiriladi. Bu usul uchun hisob tugashining kriteriyasi ushbu  xn+1– x  xn+1– xn  1 2   n b a < ε shartning bajarilishidan iborat, bunda ε – berilgan absolyut aniqlik. Bu baholash usulning xatoligini anglatadi va u xatolikning aprior bahosi deb ham ataladi. Bu usulning yaqinlashish tartibi 1 ga teng, ya’ni bu usul chiziqli yaqinlashish tezligiga ega. {xn} ketma-ketlik maxraji 1/2 ga teng bo‘lgan geometrik progressiya tezligi bilan ildizga yaqinlashadi. Bundan kelib chiqadiki, berilgan ε aniqlik bilan ildizni hisoblash uchun zarur bo‘lgan N – iteratsiyalar soni qiyidagi tengsizlikdan aniqlanadi:    N b a 2 yoki ln 2 ln( ) ln yoki     b a N  b a N   2 log . Usulning qulayliklari:  f(x) funksiya haqida ma’lumotlar kam bo‘lganda ham undan foydalanish juda qulay;  bu usul algoritmi juda sekin, ammo barcha noqulayliklardan holi. Usulning kamchiliklari:  ko‘p hollarda funksiyaning holati juda murakkab bo‘lib, bu chetki nuqtalarida funksiyaning ishorasi har xil bo‘lgan [a,b] kesmani oldindan aniqlashga qiyinchilik tug‘diradi;  yaqinlashish juda sekin;  sodda bo‘lmagan ildiz, masalan, ildiz funksiyaning ekstremum nuqtasi bilan mos kelganda (1.2-rasmda x2 nuqta), bu usulni qo‘llab bo‘lmaydi, chunki bunda ildiz atrofida funksiya o‘z ishorasini almashtirmaydi.  agar tenglama [a,b] kesmada bir nechta ildizga ega bo‘lsa, u holda hisoblash jarayonida shu ildizlardan qaysi biri topilishi noma’lum.  uni tenglama karrali (jufr karrali) va kompleks ildizlarga ega bo‘lganda qo‘llab bo‘lmaydi;  uni tenglamalar sistemasiga qo‘llab bo‘lmaydi. Usulning algoritmi: 24 1. f(a) va f(b) ni hisoblang; 2. c = (a + b)/2 deb f(c) ni hisoblang; 3. agar sign(f(c)) = sign(f(a)) bo‘lsa a = c deb, aks holda esa b=c deb almashtirish oling (bunda sign ishora funksiyasi); 4. agar b – a > ε bo‘lsa, u holda qadam 2 ga o‘ting, aks holda hisob jarayonini to‘xtating (chunki biz talab qilingan ε – absolyut aniqlikka erishdik). Oxirgi kesma uchlaridan xoxlagan bittasi yoki ular yig‘indisining yarmini berilgan f(x)=0 tenglamaning yechimi deb qabul qilishimiz mumkin.