6-teorema. Ikkita bir xil satr (ustun)ga ega kvadrat matritsa determinanti nolga teng.
7-teorema. A kvadrat matritsaning biror bir satr (ustun) elementlarini noldan farqli skalyarga ko’paytirilsa, u holda A matritsaning determinanti skalyarga ko’paytiriladi.
8-teorema. Qandaydir ikkita satr (ustun)lari proporsional bo’lgan kvadrat matritsaning determinanti nolga teng.
9-teorema. Kvadrat matritsa - qatori (ustuni)ning har bir elementi ta qo’shiluvchilardan iborat bo’lsa, bunday kvadrat matritsaning determinanti ta determinantlar yig’indisidan iborat bo’lib, birinchi determinant - qatori (ustuni)da birinchi, ikkinchi determinantda ikkinchi qo’shiluvchilar va h.z. boshqa qatorlar A matritsanikidek bo’ladi.
10-teorema. Kvadrat matritsaning biror-bir satr (ustun)iga noldan farqli skalyarga ko’paytirilgan boshqa satr (ustun)ni qo’shish natijasida determinant o’zgarmaydi.
11-teorema. Kvadrat matritsaning biror-bir satr (ustun)iga qolgan satr (ustun)lar chiziqli kombinatsiyasini qo’shish natijasida determinant o’zgarmaydi.
12-teorema. Kvadrat matritsaning biror-bir satri (ustuni) qolganlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo’lsa, uning determinanti nolga teng.
13-teorema. Har qanday elementar matritsaning determinanti noldan farqli.
14-teorema. Kvadrat matritsalar ko’paytmasining determinanti berilgan matritsalar determinantlari ko’paytmasiga teng.
5.3.Teskari matritsa.Matritsa rangi. Tatbiqlari Kramer formulasi maydon va maydon ustida matrisalar to’plami va A= berilgan bo’lsin.
15-teorema. Kvadrat matritsaning determinanti nolga teng bo’lishi uchun uning satr (ustun)lari chiziqli bog’langan bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. 1. Matritsaning satrlari chiziqli erkli bo’lsa, ekanligini isbotlaymiz.
Agar berilgan kvadrat matritsaning satrlari chiziqli erkli bo’lsa, u holda uni elementar matritsalar ko’paytmasi ko’rinishida ifodalash mumkin, ya’ni . U holda determinant xossalariga ko’ra
va . Bundan .
To’g’ri teorema bilan teskari teoremaga qarama-qarshi teoremalar teng kuchli bo’lganligidan, ekanligidan A matritsa chiziqli erkliligi kelib chiqadi.
2. A matritsaning satrlari chiziqli bog’liq bo’lsa, ekanligini isbotlaymiz.
Satrlari chiziqli bog’liq matritsaning kamida bitta satri qolganlari orqali chiziqli ifodalanadi. Determinantlar xossalariga ko’ra .
