Reja: Matritsalar. Matritsalar ustida amallar. Matritsalar ustida elementar almashtirishlar Determinantlar va ularning xossalari

1-misol. .
16-teorema. Har qanday kvadrat matritsa uchun quyidagi shartlar teng kuchli:
1. .
2. Matritsaning satr (ustun)lari chiziqli erkli.
3. A matritsa teskarilanuvchi.
4. A matritsa elementar matritsalar yordamida ifodalanadi.
17-teorema. A matritsaning rangi uning noldan farqli minorlarining eng yuqori tartibiga teng.
Isboti. Noldan farqli A= matritsa berilgan
bo’lsin. U holda uning rangi . Matritsaning kamida bitta noldan farqli tartibli minori mavjudligini isbotlaymiz.
bo’lganligi uchun, A matritsaning ta chiziqli erkli satrlari bor. Shu satrlardan tuzilgan A matritsaning matritsaostisini tuzamiz B= , bu matritsaning rangi . Matritsaning satr va ustun ranglari tengligidan . Demak, B matritsaning ta chiziqli erkli ustunlari mavjud. B matritsaning ta chiziqli erkli ustunlaridan tashkil topgan matritsaostisini C bilan belgilaymiz. U holda va . Yuqoridagi 18.2-teorema shartlariga ko’ra, C matritsaning ustunlari chiziqli erkli bo’lganligi uchun .
Demak, C matritsa A matritsaning tartibi ga teng bo’lgan noldan farqli minori bo’ladi.
Agar bo’lsa, A matritsaning tartibli har qanday minori nolga teng bo’ladi.
Haqiqatdan ham, bo’lsa, A matritsaning har qanday ta satri chiziqli bog’langan bo’ladi. Bundan A matritsaning har qanday ( ) tartibli qismmatritsasida satrlari chiziqli bog’langan bo’ladi va 18.1-teoremaga ko’ra bunday qismmatritsalar determinanti, ya’ni A matritsaning tartibli har qanday minori nolga teng.
2-misol. matritsa rangini minorlar yordamida aniqlang.
Yechish. Matritsa rangi haqidagi teoremaga ko’ra matritsaning noldan farqli minorlarini aniqlaymiz.
Matritsaning berilishidan, unda kamida bitta noldan farqli birinchi tartibli minor mavjud, masalan, matritsaostining determinanti 1ga teng, ya’ni .
Matritsaning matritsaostining determinanti
.
Matritsaning matritsaostining determinanti
.
Matritsaning 4-tartibli minori berilgan matritsaning determinantidan iborat, uni hisoblaymiz:
.
Demak, berilgan matritsaning noldan farqli minorlari 1-tartibli, 2-tartibli va 3-tartibli. Ulardan yuqori tartibligi 3-tartibli minor bo’lganligi uchun, berilgan matritsaning rangi 3 ga teng.
2-ta’rif. A= matritsaning elementining
algebraik to’ldiruvchilaridan iborat
matritsaga A matritsaga biriktirilgan
matritsa deyiladi.
18-teorema. Agar bo’lsa, u holda A matritsa teskarilanuvchi va .
Isbot. 17.3-Laplas teoremasi va 17.4-teoremalarga ko’ra

Ya’ni, ga ega bo’lamiz. Bundan bo’lsa, (1) hosil bo’ladi.
Xuddi shunday tenglikdan bo’lsa, (2) tenglikka ega bo’lamiz.
(1), (2) tengliklardan A va lar o’zaro teskari ekanligi kelib chiqadi, ya’ni .