Reja: maydonlar nazariyasi

Stoks teoremasi.
𝑎 (𝑚) − uzluksiz differensiallanuvchi vektor maydon aniqlangan V fazoviy sohada C
Bо‘lakli silliq kontur bilan chegaralangan Bbо„lakli –silliq sirt berilgan bо‘lsin. (16-rasm).
Sirtning shunday tomoni tanlanadiki, bu tomonga о‘tkazilgan normalning uchidan
qaraganda sirtni chegaralovchi konturdagi

16-rasm
yо„nalish soat strelkasiga teskari yо„nalishda bо„lishi kerak (о‘ng
vint qonuni ). Bu holda Stoks formulasi deb ataladigan quyidagi
tenglik о„rinli bо„ladi:
∫∫_B (𝑟𝑜𝑡𝑎∙𝑛)𝑑𝑏=𝑎𝑑𝑟
yoki dekart koordinatalarida
∫∫_B [_B𝜕𝑅/𝜕𝑦−𝜕𝑄/𝜕𝑧)cos𝛼+(𝜕𝑃/𝜕𝑧−𝜕𝑅/𝜕𝑥)cos𝛽+(𝜕𝑄/𝜕𝑥−𝜕𝑃/𝜕𝑦)cos𝛾] 𝑑𝑏 =
= ,
ya‘ni 𝑎 (𝑀) vektor maydon rotorining 𝐵 sirt bо‘yicha oqimi, 𝑎 (𝑀) maydoning 𝐶
chegara bо‘yicha sirkulyatsiyasiga teng.

Potensial va solenoidal vektor maydonlar
Agar V sohada
𝑎 (𝑀 )= 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 (𝑀) (8)
tenglikni qanoatlantiruvchi 𝜑(𝑀) skalyar maydon mavjud bо‘lsa, 𝑎(𝑀) vektor
maydon V sohada potensial maydon deyiladi, 𝜑(𝑀) maydon esa 𝑎(𝑀)
maydoning potensiali deyiladi. 𝑟𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝑀 = 0 bо‘lgani uchun potensial maydon
uchun 𝑟𝑜𝑡𝑎= 0 tenglik о‘rinli, ya’ni u uyurmasiz maydon bо‘ladi. Agar V sohada
yotgan har qanday yopiq konturni shu sohadan tashqariga chiqmay, uzluksiz ravishda
nuqtaga qadar tortish mumkin bо‘lsa, V soha – bir bog‘lamli soha deyiladi. Butun
fazo, yarim fazo, shar, kub, ellipsoid, sharning tashqarisi, bitta nuqtasi olib
tashlangan fazo va shu kabilar bir bog‘lamli sohaga misol bо‘la oladi. Bitta tо‘g‘ri
chizig‘i tashlab yuborilgan fazo, bitta diametrsiz shar, tor va shu kabilar bir bog‘lamli
bо‘lmagan sohaga misol bо‘la oladi.
Bir bog‘lamli sohada teskari tasdiq ham tо‘g‘ri: bir bog‘lamli Vsohadagi har qanday
uyurmasiz maydon potensial maydon bо‘ladi. Shuni takidlab aytamizki, bir bog‘lamli
bо‘lmagan sohada uyurmasiz maydon potensial maydon bо‘lmasada sohadagi har
bir nuqta shunday atrofga ega bо‘ladiki, bu atrofda (8) shartni qanoatlantiradigan 𝜑
funksiya mavjud bо‘ladi. Biroq, bu funksiya’ni butun sohaga davom ettirib bо‘lmaydi.
Odatda, bunday davom ettirishda 𝑦 kо‘p qiymatli bо‘lib qoladi. Potensial vektor
maydonning 𝜑(𝑀)potensiali о„zgarmas qо‘shiluvchi aniqligida topiladi. Uni topishda
𝜑 (𝑀) = ∫_M₀M𝑎 𝑑𝑟+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (9)
Fо‘rmuladan foydalaniladi, bunda 𝑀₀− 𝑉 sohadagi tayinlangan
nuqta, integrallash yо„li 𝑀0 𝑀 ixtiyoriy bо„lishi mumkin, faqatgina u 𝑉 sohadan
tashqariga chiqib ketmasa bas. Agar 𝑉 shunday soha bо‘lsaki, tayinlangan 𝑀₀

nuqtani sohadagi har bir 𝑀 nuqta bilan bо‘laklari koordinata о‘qlariga parallel

bо‘lgan siniq chiziq orqali tutashtirish mumkin bо‘lsa (17-rasm)


17-rasim 18-rasim

(9) formuladan

𝜑 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = 𝑥+ + 𝑐
tenglik kelib chiqadi, bunda 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Bu formuladagi ikkinchi integral hisoblanayotganda 𝑥, uchinchi integral
hisoblanayotganda esa 𝑥 𝑣𝑎 𝑦 argumentlar о‘zgarmaslar deb qaraladi. V dagi har
bir M nuqta tayinlangan 𝑀0nuqta bilan tо‘g‘ri chiziq orqali tutashtirilgan “yulduzli”
fazoda, shu tog‘ri chiziq kesmasi orqali amalga oshirib (bunda 𝑀0kordinta boshi
sifatida olinadi (18-rasm ),
𝜑(𝑀) = + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
fо„rmulani hosil qilamiz, bunda 𝑟 𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
bо‘lganda 𝑀′(𝑡𝑥, 𝑡𝑦, 𝑡𝑧) nuqta 𝑀𝑜 𝑀 kesmada xarakatlanadi.