Reja: maydonlar nazariyasi

Gradiyentning differensiallash bilan bog‘liq xossalari:
grad(C₁φ₁₊ C₂φ₂)= C₁gradφ₁ + C₂grad φ₂ 
grad(φψ)=ψgradφ+φgrad ψ
grad(φ/ψ)=(ψgradφ-φgrad ψ)/ψ²
gradF(u)=F’(u) grad u,
gradF(u,v)=dF/du*gradu+ dF/dν*gradν.
Yо‘nalish buyicha hosila.
φ(M) skalyar maydonning M nuqtadagi, shu M nuqtadan о’tuvchi l yо’nalish
bо’yicha hosilasi deb
𝜕𝜑/𝜕𝑙= lim_{∆𝑙 →𝑜}∆𝜑/∆𝑙
limitga aytiladi, bunda ∆𝜑 = 𝜑(𝑀′)− 𝜑 М - skalyar maydonning M nuqtadan
𝑀′ nuqtaga о„tishdagi orttirmasi,
∆𝑙 = 𝑀 𝑀′. 𝜕𝜑/𝜕𝑙 hosila 𝜑 maydonning M nuqtadagi l yо’nalish bо’ylab о’zgarish
tezligini ifodalaydi va
𝜕𝜑/𝜕𝑙 =τ.grad φ(M) (3)
formula bilan hisoblanadi, bunda τ –l yо’nalishining orti (birlik vektori).
φ(M) skalyar maydonning M nuqtadagi, l chiziq bо’ylab olingan hosilasi deb
𝜕𝜑/𝜕𝑠= lim_{∆𝑠→𝑜}∆𝜑/∆𝑠
limitga aytiladi, bunda ∆𝜑 – skalyar maydonning 𝑙 chiziq
bо’yicha orttirmasi, ∆𝑠 esa yoy orttirmasi 𝑙 chiziq bо’yicha xususiy hosila
𝜕𝜑/𝜕𝑠=τ(M)*grad φ(M) (4)
formula bilan hisoblanadi, bunda τ(M)- chiziqning M nuqtasiga о’tkazilgan

urinmaning birlik vektori. (3) va (4) formulalarni taqqoslab, shunday xulosaga

kelamizki, φ(M) maydonning 𝑙 chiziq bо’ylab M nuqtadagi hosilasi, uning 𝑙
chiziqqa shu nuqtada о’tkazilgan urinma bо’yicha olingan hosilasi bilan ustmaust
tushadi. Dekart koordinatalarida
τ=icosα + jcosβ
bunda β α ,lar l yо’nalishning koordinata о„qlari bilan hosil qilgan burchaklari.
Vektor maydon. Uning differensial xarakteristikalari.
Vektor chiziqlari.
Agar biror B fazoviy sohaning har bir M nuqtasiga tо’la aniqlangan
α(M) vektor mos qо’yilgan bо’lsa, vektor maydon berilgan deyiladi. Agar vektor
maydon aniqlangan sohada {w;v;u} egri chiziqli koordinatalar sistemasi berilgan
bо’lsa, α(M) vektor maydon V sohada aniqlangan uchta α_w,α_v,α_ufunksiya
yordamida ifodalanadi:
α(M)= α_u(u,v,w)e_u+α_v(u,v,w)e_v+ α_w(u,v,w)e_w
Bunda e_u,e_v,e_w - bazis vektorlarlar.
Agar α_w,α_v,α_u-lar B sohada w,v,u argumentlar bо„yichauzluksiz xususiy
hosilalarga ega bо’lsa, α(M) maydon uzluksiz differensiyallanuvchi maydon
deyiladi. Xususan, dekart koordinatlari sistemasida α(M)
maydon ortlar bо’yicha
α(M)= P(z,y,x)i+ Q(z,y,x)j+ R(z,y,x)к (5)
yoyilmasi orqali beriladi. Agar hamma α(M) vektorlar biror
π tekislikka parallel bо’lsa, va π ga о’tkazilgan har birperpendikulyarda
о’zgarmas qiymatlar qabul qilsa, α(M) vektor maydon - yassi maydon deyiladi.
Agar π tekislik koordinata tekisliklaridan biri (masalan, XOY) bilan ustma-ust
tushsa,

α(M)=α(x,y)=P(y,x)i+ Q(y,x)j

ya'ni yassi maydonni tekislikda aniqlangan deb tasavvur qilish mumkin.Vektor
maydon yо„nalishini xarakterlash uchun vektor chizig„i tushunchasi kiritilgan.
Maydonning fizik tabiatiga qarab, vektor chizig„i , b'azan, kuch chizig„i yoki
oqim chizig„i degan nomlar bilan xam atalishi mumkin. α(M) vektor
maydonning vektor chizig’i – shunday chiziqki, bu chiziqning har bir M
nuqtasiga о’tkazilgan urinmaning yо’nalishi - α(M) vektorning yо’nalishi bilan
ustma-ust tushadi.(5) maydonning vektor chiziqlari oilasi
oilasi
dx/P(z,y,x)= dy/Q(z,y,x)= dz/R(z,y,x)
differensial tenglamalar orqali topiladi.
Maydon yassi bо’lgan holda esa, vektor chiziqlar
dx/P(y,x)= dy/Q(y,x), dz=0
tenglamalarni qanotlantiradi. α(M) va b(M)=F(M)α(M)vektor maydonlar –
kollinear maydonlar deyiladi, bunda F(M)- skalyar funksiya. Kollinear maydonlar
bir xil vektor chiziqlarga ega bо’ladilar. B sohada α(M) vektor maydon va S yopiq
kontur berilgan bо’lsin. S konturning har bir nuqtasi orqali vektor chiziqlar
о’tkazib, vektor nayi deb ataladigan sirtni hosil qilamiz.
Vektor nayining S kesimi deb vektor nayini kesib о’tadigan tekislikning vektor
nayining ichida yotadigan qismiga aytiladi.