Reja: maydonlar nazariyasi

Ostrogradskiy teoremasi.
Agar 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiyalar biror yopiq Vsohada uzluksiz va uzluksiz
xususiy hosilalarga ega bо’lib, Vsohani chegaralovchi 𝐵 sirt esa bо’lakli-silliq bо’lsa,
Ostrogradskiy formulasi deb ataladigan quyidagi tenglik о’rinli bо’ladi.
∫∫∫_V(𝜕𝑃/𝜕𝑥+𝜕𝑄/𝜕𝑦+𝜕𝑅/𝜕𝑧𝑑𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑧=
= ∯_B(𝑃 cos 𝛼 + 𝑄 cos 𝛽 + 𝑅 cos 𝛾 )𝑑𝐵
bunda cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾 lar 𝐵 sirtga о„tkazilgan 𝑛 birlik normalning yо‘naltiruvchi
kosinuslari.
Ostrogradskiy formulasi vektor shaklida quyidagicha ifodalanadi;
П(𝑎𝐵)= ∯𝑎∙𝑛𝑑𝐵 = ∫∫∫_V 𝑑𝑖𝑣𝑎 ∙𝑑𝑣
Ya’ni vektor maydoning yopiq 𝐵 sirt bо„yicha oqimi, uning divergensiyasidan 𝐵 sirt

]chegaralab turgan V hajm bо„yicha olingan integralga teng. Ostrogradskiy formulasini

tadbiq qilish, kо‘pgina hollardda yopiq sirt bо‘yicha maydon oqimini hisoblashni
soddalashtiradi. Xususan, bu formuladan solenoidal maydonning (𝑑𝑖𝑣 𝑎 = 0) har qanday
yopiq sirt bо„yicha oqimi 0 ga tengligi kelib chiqadi.Ostrogradskiy formulasi
yordamida divergensiyaningmexanik ma‟nosini aniqlashimiz mumkin 𝑀0− vektor
maydon aniqlangan sohadagi tayinlangan nuqta, 𝐵- markazi 𝑀0 dabо‘lgan sfera bо‘lsin.
О‘rta qiymat haqidagi teoremaga kо‘ra
∫∫∫_V 𝑑𝑖𝑣𝑎𝑑𝑣 = 𝑉(𝐵)𝑉𝑑𝑖𝑣𝑎(𝑀) ,
Bunda 𝑉 (𝐵 ) − 𝐵 sfera bilan chegaralangan sharning hajmi, 𝑀 − shardan olingan biror nuqta, bundan va Ostrogradskiy formulasidan
𝑑𝑖𝑣 𝑎(𝑀) =П(𝑎,𝐵)/𝑉(𝐵).
Bu tenglikda 𝐵 sferaning s radiusini 0 ga intiltirib limitga o‘tsak, divergensiyaning 𝑀0
nuqtadagi qiymati uchun
𝑑𝑖𝑣𝑎(𝑀₀)= lim_𝑠→0П(𝑎 , 𝐵)/𝑉(𝐵)
tenglik hosil bо‘ladi. Bundan kо‘rinadiki, 𝑎 maydonning 𝑀₀ nuqtadagi divergensiyasi,
shu maydoning 𝑀₀ nuqtaga kirayotgan (𝑑𝑖𝑣 𝑎(𝑀₀) < 0 bo′lganda) oqimning hajmi bо„yicha
zichligini anglatar ekan.
Chiziqli integral va vektor maydonning sirkulyatsiyasi.
𝑎(𝑀)vektor maydondan 𝑙 chiziq bо„yicha olingan 𝑊 chiziqli integral deb, 𝑎(𝑀)
vektorning, 𝑙 chiziqqa о‘tkazilgan 𝜏(𝑀) birlik urinma vektorga skalyar kо‘paytmasidan
olingan egri chiziqli integralga aytiladi:
𝑊 = ∫_𝑙 𝑎(𝑀) ∙ 𝜏 (𝑀)𝑑𝑠 =∫_𝑙 𝑎𝑑𝑟,
bunda 𝑑𝑠 − 𝑙 chiziq yoyi differensiali. Agar 𝑓 𝑀 −kuch maydoni bо‘lsa
𝑊 =∫_𝑙 𝑓 𝑀 ∙ 𝜏𝑀 𝑑𝑠 = ∫_𝑙 𝑓𝑑𝑟 ,
bu maydonning 𝑙 yo‘l bо‘ylab bajargan ishini anglatadi.

Chiziqli integralning asosiy xossalari:

l. Chiziqlilik xossasi:
∫_𝑙 (𝑐₁𝑎₁+𝑐₂𝑎₂ )𝑑𝑟 =𝑐₁∫_𝑙 1𝑎₁1∙ 𝑑𝑟 + 𝑐₂ ∫_𝑙 𝑎₂∙ 𝑑𝑟
ll. Additivlik xossasi:
∫𝑎𝑑𝑟=𝑎𝑑𝑟=∫𝑎𝑑𝑟 _{𝑙1+𝑙2 𝑙 1}
lll. 𝑙 chiziqdagi yо„nalish qarama-qarshiga о„zgartirilganda chiziqli integralning ishorasi qarama-qarshiga о„zgaradi:
∫𝑎𝑑𝑟=−∫𝑎𝑑𝑟 _{AB BA}
Dekart koordinatalari sistemasida vektor maydon
𝑎 (𝑀) = 𝑃(𝑀) 𝑖 + 𝑄 (𝑀)𝑗 + 𝑅(𝑀)𝑘
kо‘rinishida, radius vektorining differensiali esa
𝑑𝑟=𝑑𝑥𝑖 +𝑑𝑦𝑗+ 𝑑𝑧𝑘
Kо‘rinishida ifodalangani uchun
𝑊 = 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 + 𝑄 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦 + 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧.
Integral x,y,z larni L chiziqdagi ifodalari bilan almashtirib hisoblanadi. Bunda parametr
bо‘yicha aniq integral hosil bо‘ladi. Bu integralni quyi chegarasi parametrning L
chiziqning boshlang‘ich nuqtasidagi qiymatidan , yuqori chegarasi esa oxirgi nu qtasidagi
qiymatidan iborat boladi .
C yopiq satr boyicha hisoblangan
𝑈(𝑎,𝑐) = ∫_c𝑎𝑑𝑟
chiziqli integral 𝑎 vektor maydonning C kontur bо‘yicha
olingan sirkulyatsiyasi deyiladi.