Reja: Monoton funksiyalarning uzluksizligi va uzilish nuqtasi. Uzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema. Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema Teskari funksiyaning mavjudligi va uzliksizligi

3. Teskari funksiyaning mavjudligi va uzliksizligi.


Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan, uzluksiz va qat`iy o`suvchi (qat`iy kamayuvchi) bo`lsa, bu funksiyaning qiymatlar to`plami Y da unga teskari funksiya mavjud bo`lib, u uzluksiz va qat`iy o`suvchi (kat`iy kamayuvchi) bo`ladi.
Isbot. f(x) funksiya uzluksiz bo`lgani uchun Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasiga binoan uning qiymatlari oraliqni tutash to`ldiradi. Shuning uchun har bir y₀ Y ga mos keladigan X topilib, f( )=y₀ bo`ladi. Bu tenglikni qanoatlantiruvchi yagona bo`ladi. Haqiqatan, dan farqli x₁ nuqta olsak, f(x) funksiya monoton bo`lib,  x<sub>1</sub> bo`lgani uchun f( ) f(x₁) bo`ladi. Shunday qilib Y oraliqdan olingan har bir y ga X da f(x)=y tenglikni qanoatlantiradigan yagona x mavjud. Demak, Y oraliqda y=f(x) funksiyaga teskari bo`lgan x=(y) funksiya mavjud.
y=f(x) funksiya o`suvchi bo`lsa, x= (y) ni ham o`suvchi bo`lishini ko`rsatamiz, ya`ni y₁₂ bo`lganda x<sub>12</sub> tengsizlik o`rinli bo`lishini ko`rsatamiz.
Teskarisini faraz qilaylik: y₁₂ bo`lganda x<sub>1</sub>>x<sub>2</sub> bo`lsin. U holda y=f(x) funksiya qat`iy o`suvchi bo`lganligi uchun f(x<sub>1</sub>)>f(x<sub>2</sub>), ya`ni y₁>y₂ bo`ladi. Bu esa y<sub>12</sub> deb olinishga ziddir. Demak, x= (y) funksiya Y da qat`iy o`suvchi.
Monoton funksiyaning uzluksizligi haqidagi teoremaga binoan, x= (y) funksiya Y oraliqda uzluksiz bo`ladi.
y=f(x) funksiya kamayuvchi bo`lganda ham teorema yuqoridagidek isbotlanadi.