Reja: Monoton funksiyalarning uzluksizligi va uzilish nuqtasi. Uzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema. Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema Teskari funksiyaning mavjudligi va uzliksizligi

Uzluksiz funksiyalarning oraliq qiymatlari haqida teoremalar. Teskari funksiyaning uzliksizligi. Kesmada uzluksiz bo`lgan funksiyalarning tekis uzluksizligi.


Uzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema.

1⁰. Agar f(x) funksiya nuqtada uzluksiz bo`lsa, u holda x ning ga yetarlicha yaqin qiymatlarida f(x) funksiya chegaralangan bo`ladi.

2⁰. Agar f(x)funksiya nuqtada uzluksiz, f( )>0 (f( )<0) bo`lsa, u holda x ning ga yetarlicha yaqin qiymatlarida f(x)>0 (f(x)<0) bo`ladi.
Teorema. (Bolsano-Koshining birinchi teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo`lib, kesmaning chetki nuqtalarida qarama-qarshi ishorali qiymatlarga ega bo`lsa, u holda f(c)=0 tenglikni qanoatlantiradigan c (a<c<b) son topiladi.
Isbot. f(a)>0, f(b)<0 bo`lsin, [a;b] ni teng ikki [ ] va [ ] qismga bo`lamiz. Agar f( )=0 bo`lsa, teorema isbot qilingan bo`ladi. f( )0 bo`lsin, u holda bo`lakchalarning birining uchlarida funksiya qarama-qarshi ishorali qiymatlarga ega bo`ladi. Usha kesmani [a<sub>1</sub>;b<sub>1</sub>] orqali belgilaymiz. f(a<sub>1</sub>)>0, f(a<sub>2</sub>)<0 bo`ladi. Endi [a₁;b₁] ni teng ikkiga bo`lamiz va yuqoridagi mulohazani [a<sub>1</sub>;b<sub>1</sub>] ga nisbatan takrorlaymiz va hakoza. Umuman quyidagi ikki holdan biri yuz beradi:
1) biror nuqtada f(x) funksiya 0 ga teng bo`ladi, yoki
2) Barcha n uchun f( )0 bo`lib, bu jarayon cheksiz davom etadi.
Bunda 1) holda teorema isbot qilingan bo`ladi;

1. 
   holda esa [a₁;b₁], [a₂;b₂], ..., [a_n;b_n], ... ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi hosil bo`ladi. Bunda f(a<sub>n</sub>)>0, f(b<sub>n</sub>)<0, n=1, 2, ... bo`ladi. Ichma-ich joylashgan segmentlar haqidagi teoremaga binoan a_n= b_n=c [a;b], f(x) funksiya uzluksiz bo`lgani uchun
   

f(c)= f(a_n) 0, f(c)= f(b_n) 0
bo`ladi. Bulardan f(c)=0 kelib chiqadi.
Bu teoremadan tenglamalarning yechimi mavjudligini ko`rsatishda foydalanish mumkin.
Misol. x⁷+x³+1=0 tenglamaning [-1;0] segmentda yechimga ega ekanligini ko`rsating.
f(x)= x<sup>7</sup>+x<sup>3</sup>+1=0 deb olsak, f(-1)=-1<0, f(0)=1>0 bo`ladi. f(x) funksiya [-1;0] segmentda uzluksiz bo`lganligidan yuqoridagi teoremaga binoan birorta c (-1;0) son topilib, f(c)=0 bo`ladi.