1-teorema. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida marta differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda da quyidagi formula
o‘rinli bo‘ladi.
Bu yerda Peano ko‘rinishidagi qoldiq had deyiladi.
Agar (6) formulada deb olsak, Teylor formulasining xususiy holi hosil bo‘ladi:
Bu formula Makloren formulasi deb ataladi.
Teylor formulasining Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadi. Teylor formulasi qoldiq hadi yozilishining turli ko‘rinishlari mavjud. Biz uning Lagranj ko‘rinishi bilan tanishamiz.
Qaralayotgan funksiya nuqta atrofida –tartibli hosilaga ega bo‘lsin deb talab qilamiz va yangi funksiyani kiritamiz. Ravshanki,
Ushbu va funksiyalarga Koshi teoremasini tatbiq qilamiz. Bunda e’tiborga olib, quyidagini topamiz:
bu yerda
Shunday qilib, biz
ekanligini ko‘rsatdik, bu yerda Endi , ekanligini e’tiborga olsak quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:
Bu (8) formulani Teylor formulasining Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadi deb ataladi.
Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadni
ko‘rinishda ham yozish mumkin, bu yerda birdan kichik bo‘lgan musbat son, ya’ni .
Shunday qilib, funksiyaning Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagi shaklda yoziladi:
Agar bo‘lsa, u holda , bu yerda , bo‘lishi ravshan, shu sababli Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasi
shaklida yoziladi.
Teylor formulasi yordamida taqribiy hisoblash. Makloren formulasi Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadini baholash masalasini qaraylik.
Faraz qilaylik, shunday o‘zgarmas M son mavjud bo‘lsinki, argument x ning x0=0 nuqta atrofidagi barcha qiymatlarida hamda n ning barcha qiymatlarida |f(n)(x)|M tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. U holda
|Rn(x)|=| |M tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Argument x ning tayin qiymatida =0 tenglik o‘rinli, demak n ning yetarlicha katta qiymatlarida Rn(x) yetarlicha kichik bo‘lar ekan.
Shunday qilib, x0=0 nuqta atrofida f(x) funksiyani
f(0)+ f’(0)x+ f’’(0)x2+ ... + f(n)(0)xn ko‘phad bilan almashtirish mumkin. Natijada funksiyaning x nuqtadagi qiymati uchun
f(x) f(0)+ f’(0)x+ f’’(0)x2+ ... + f(n)(0)xn taqribiy formula kelib chiqadi. Bu formula yordamida bajarilgan taqribiy hisoblashdagi xatolik |Rn(x)| ga teng bo‘ladi.
