Riyazi analizin əsas anlayışlarından biridir. Riyaziyyatın diferensial, inteqral və s

Tərif1. X çoxluğunun a-ya yığılan istənilən

{x_n}(x_n≠a, n=1, 2, ) nöqtələri ardıcıllığına f(x) funksiya-

sının uyğun olan {f(x_n)} qiymətləri ardıcıllıqlarının hamısı eyni bir A ədədinə yığıldıqda, həmin A ədədinə x → a şərtində f(x) funksiyasının limiti deyilir.

Buradan aydındır ki a-ya yığılan heç olmazsa iki

{x`<sub>n</sub>} və {x``<sub>n</sub>} ardıcıllığına f(x) funkisiyasının {f(x`_n)} və

{f(x``_n)} uyğun qiymətləri ardıcıllıqları müxtəlif limitlərə yığılarsa onda f(x) funksiyasının x=a nöqtəsində limiti yoxdur.

Funksiyanınnöqtədəlimitinin başqa tərifi dəvardır.

Tərif 2. Tutaq ki , sonlu a və A ədədləri və istəni- lən ε> 0 ədədi üçün elə φ > 0 ədədi var ki, x-in X çoxlu- qundan götürülmüş və

0< ^|x − a^| < 𝜑 (5)

bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində

^|f⁽x⁾ − A^| < ε (6)

münasibəti ödənilir. Onda A ədədinə x→ a şərtində f(x)

funksiyasınıın limiti deyilir.

Qeyd edək ki, A ədədi x→ a şərtində f(x) funksiya- sının limiti olduqda (6) bərabərliyinin x=a qiymətində ödənilib ödənilməməsinin heç bir əhəmiyyəti yoxdur. f(x) funksiyası x=a nöqtəsində təyin olunduqda isə onun həmin nöqtədə limiti xüsusi f(a) qiymətinə bərabər ola da bilər, olmaya da bilər.

Funksiya qiymətinin 1-ci tərifinə “limitin ardıcıllıq dilində tərifi” (və ya Heyne mənada tərifi ) 2-ci tərifinə isə “ limitin ε, δ dilində tərifi” (və ya Koşi mənada tərifi) deyilir.

Teorem 1. Funksiyanın nöqtədə limitinin 1 və 2-ci tərifləri ekvivalentdir (eynigüclüdür). Bu o deməkdir ki, A ədədi təriflərin birinə görə f(x) funksiyasının x=a nöq- təsində limitidirsə, təriflərin digərinə görə də həmin nöq- tədə f(x)-in limitidir.

İsbatı. Fərz edək ki, A ədədi təriflərin birinə görə f(x) funksiyasının x=a nöqtəsində limitidir, lakin 2-ci təri- fə görə x=a nöqtəsində limiti deyil. Bu o deməkdir ki, istənilən ε> 0 ədədinə qarşı 2-ci tərifin tələblərini ödəyən φ > 0 ədədi tapmaq mümkün deyil, yəni elə ε₀ > 0 ədədi var ki,ona qarşı götürülmüş istənilən φ > 0 ədədi üçün x- in ^|x − a^|<φ bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində (φ) bərabərsizliyi ödənilmir, x-in (5) münasibətini ödəyən heç olmazsa bir x^* qiyməti var ki

^|f⁽x ⁾ − A^| ≥ ε₀ olur

Beləliklə б ədədinə ardıcıl olaraq 1, ¹ , ¹ , … , ¹ , …qiy-

mətlərini verməklə elə

2 3 n

x₁,x₂,..., x_n, ... (7)

nöqtələrini taparıq ki,

k
^|x_k − a^| < ^{1 |}f⁽x_k⁾ − A^| ≥ ε₀ (8)

Münasibətləri eyni zamanda ödənilər. ׀x -a׀< ¹ bə-

k _k

rabərsizliyi ödənildiyindən (7) ardıcıllığı a ədədinə yığılar. Onda 1-ci tərifə görə

lim

k → ∞

f(x_k)=A

olmalıdır. Bu o deməkdir ki, istənilən ε₀>0 ədədinə qarşı elə N=N(ε₀) var ki, k-nın k≥N bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində

^|f(x_k) − A^|<ε₀ (9) bərabərsizliyi ödənilir. (8) bərabərsiziliklərinin ikincisinə görə isə (9) bərabərsizliyi ödənilə bilməz.

Alınan ziddiyət göstərir ki A ədədi ikinci tərifə görə də f(x) funksiyasının x=a nöqtəsində limitidir.

Funksiya limitinin 1 və 2-ci tərifləri ekvivalent oldu-

ğundan onların hər birindən istifadə etmək olar.