Sadə inteqrallama İsayev Urhan Xəlil Oğlu

İnteqrallar cədvəli

1. ( ). (Burada və digər düsturlarda S ixtiyari sabitdir.)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
11^'.
12.
13.
13^'.
14.

Qeyri-müəyyən inteqralın tapılması üsulları
İnteqrallamanın əsas üsulları
Verilmiş inteqralı hesablamaq üçün, əgər mümkündürsə, bu və ya başqa üsullardan istifadə edərək onu cədvəl inteqralına gətirib hesablamaq lazımdır.
Daha vacib inteqrallama üsulları aşağıdakılardır: ayırma üsulu, dəyişəni əvəzetmə üsulu və hissə-hissə inteqrallama üsulu.
1. Ayırma üsulu. Bu üsulun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, inteq­ralaltı funksiya inteqralları asan hesablana bilən funksiyaların cəmi şəklində göstərilir, sonra isə hər bir inteqral ayrılıqda hesablanır.
2. Dəyişəni əvəzetmə, yaxud əvəzləmə üsulu. Tutaq ki, inteqralını tapmaq lazımdır və üçün ibtidai funksiyanın varlığını bilirik, lakin onu bilavasitə tapmağı bacarmırıq.
İnteqralaltı funksiyada
(1)
qəbul edərək dəyişəni əvəz edək; burada kəsilməz, törəməsi və tərs funksiyası olan funksiyadır. Onda . İsbat etmək olar ki,
(2)
bərabərliyi doğrudur. Burada belə hesab edirik ki, inteqralladıqdan son­ra bərabərliyinin sağ tərəfində t-nin yerinə onun (1) bərabərliyindən tapılmış x ilə ifadəsi yazılacaqdır.
3. Hissə-hissə inteqrallama. Tutaq ki, u və v kəmiyyətləri
x-in diferensiallana bilən funksiyalarıdır. Onda məlum olduğu kimi uv hasilinin diferensialı

düsturu ilə hesablanır. Bu bərabərliyin hər iki tərəfini inteqrallamaqla
,
yaxud

alarıq. Axırıncı düstura hissə-hissə inteqrallama düsturu deyilir. Bu düsturu tətbiq etmək o halda əlverişlidir ki, verilən inteqralda inteqralaltı ifadəni u və dv kimi iki vuruğun hasili şəklində elə göstərmək mümkündür ki, dvdiferensialına görə v funksiyasını tapmaq və inteqralını hesablamaq inteqralını bilavasitə hesablamaqdan asan olsun.


Kvadrat üçhədlinin daxil olduğu bəzi
funksiyaların inteqrallanması

I. Aşağıdakı inteqrala baxaq

.
Məxrəcdəki üçhədlini çevirib, kvadratlar cəmi və ya fərqi şəklində gös­tərək:
,
burada

işarə edilmişdir. -nın işarəsi sol tərəfdə duran ifadənin müsbət və ya mənfi, başqa sözlə üçhədlisinin köklərinin kompleks və ya həqiqi olmasından asılı olaraq götürülür .
Beləliklə, inteqralı

şəklini alır. Sonuncu inteqralda əvəzləməsini aparsaq, alarıq

^{Bu isə cədvəl inteqralıdır (11'} və 12-ci düsturlara bax).
^{II. Nisbətən ümumi şəkildə olan}

inteqralını nəzərdən keçirək. İnteqralaltı funksiyada eynilik çevirməsi aparaq:

Axırıncı inteqralı iki inteqralın cəmi şəklində göstərək və sabit vuruqları inteqral işarəsi xaricinə çıxaraq:

Burada ikinci inteqral inteqralıdır. Birinci inteqralda isə gəbul edərək dəyişəni əvəz edək, onda və

Beləliklə,

III. Aşağıdakı

inteqralına baxaq. I bənddəki çevirmələrin köməyi ilə bu inteqral aşağıdakı cədvəl inteqrallarından birinə gətirilir (cədvəldə 13^' və 14 düsturuna bax):
olduqda , olduqda isə .
IV. İndi isə

şəklində olan inteqrallara baxaq. Bu inteqrallar II bənddəki çevirmələrə oxşar çevirmələrin köməyi ilə hesablanır. Doğrudan da,


Alınmış inteqrallardan birincinə əvəzləməsi tətbiq etsək onda və