Sadə inteqrallama İsayev Urhan Xəlil Oğlu

Sadə inteqrallama
İsayev Urhan Xəlil Oğlu

PLAN

1. 
   İnteqral
   
2. 
   İbtidai funksiya və qeyri-müəyyən inteqral
   
3. 
   Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri
   
4. 
   Qeyri-müəyyən inteqralın tapılması üsulları
   

İnteqrallamanın əsas üsulları

5. 
   Rasional kəsrlər. Sadə rasional kəsrlər və
   

onların inteqrallanması

6. 
   Rasional kəsrin sadə kəsrlərə ayırması
   
7. 
   Misal həlli
   

İnteqral

İnteqral - kəsilməz f(x) funksiyasının ibtidai funksiyalarının ümumi şəklinə f(x) funksiyasının inteqralı deyilir.





f(x)-in a dan b'yə qədər olan inteqralı, y=f(x) funksiyasının a ilə b arasındakı fiqurun sahәsinә bәrabәrdir.



Tarixi
İnteqral sahəsində ən böyük işləri Qotfrid Leybnits və İsaak Nyuton görmüşlər. "İnteqral" sözünü və işarəsini ilk dəfə elmə alman alimi Qotfrid Leybnits daxil etmişdir. Bu söz latıncadan "Cəm" ("ſumma", "summa") mənasını verir. İnteqral ∫ hərfi ilə işarə edilir:
�(�)=∫�(�)+�,
[a, b] parçasında götürülmüş f(x) funksiyasının müəyyən inteqralın düsturu belədir:
F(x)= ∫f(x)+c∫���(�)��

İbtidai funksiya və qeyri-müəyyən inteqral

Tutaq ki, hər hansı funksiyası verilmişdir. Elə funksi-yasını tapmaq tələb olunur ki, onun törəməsi -ə bərabər olsun, yəni .

Tərif 1. Əgər parçasının bütün nöqtələrində bərabərliyi ödənərsə, onda funksiyasına funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.
Teorem. Əgər və – eyni bir funksiyasının parçasında ibtidai funksiyalarıdırsa, onda onların fərqi sabit ədədə bərabərdir.
İsbatı.İbtidai funksiyanın tərifinə əsasən
, (1)
eynilikləri parçasının istənilən x nöqtəsi üçün ödənilir. Əgər
(2)
qəbul etsək, onda (1) bərabərliklərinə əsasən

olduğundan parçasından götürülmüş istənilən x üçün olar, bu bərabərlikdən isə -in sabit olması alınır.
parçasında kəsilməz və diferensiallanan funksiyasına Laqranj teoremini tətbiq edək. Laqranj düsturuna əsasən parçasının ixtiyari x nöqtəsi üçün

bərabərliyi doğrudur, burada .
olduğundan , yaxud
. (3)
Beləliklə, funksiyası parçasının istənilən x nöqtəsində ədədinə bərabər qiymət alır. Bu isə funksiyasının parçasında sabit olması deməkdik. sabitini C ilə işarə edərək, (2) və (3) bərabərliyindən alarıq ki,
.
Bu teoremdən alınır ki, əgər verilmiş funksiyasının hər hansı bir ibtidai funksiyası tapılmışdırsa, onda üçün istənilən başqa ibtidai funksiya şəklində olar, burada .
Tərif2. Əgər funksiyası üçün ibtidai funksiyadırsa, onda ifadəsinə funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və simvolu ilə işarə edilir. Beləliklə, tərifə görə əgər olarsa, onda

olar. Burada inteqralaltı funksiya, dx inteqralaltı ifadə adlanır. Deməli, qeyri-müəyyən inteqral funksiyaları ailəsindən ibarətdir. Həndəsi olaraq qeyri-müəyyən inteqral elə əyrilər çoxluğudur (ailəsidir) ki, bu əyrilərdən hər biri digərindən özünə paralel olaraq yuxarı və ya aşağı (yəni OY oxu boyunca) köçürmə nəticəsində alınır. Qeyd edək ki, parçasında kəsilməz funksiyasının ibtidai funksiyası (deməli, qeyri-müəyyən inteqralı) var. Verilmiş funksiyasının ibtidai funksiyasını tapmağa funksiyasını inteqrallamaq deyilir.
Tərif 2-dən alınır ki:
1. Qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi inteqralaltı funksiyaya bərabərdir, yəni olarsa, onda
. (4)
2. Qeyri-müəyyən inteqralın diferensialı inteqralaltı ifadəyə bərabərdir:
(5)
3. Hər hansı bir funksiya diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı həmin funksiya ilə ixtiyari sabitin cəminə bərabərdir:
.
Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri
Teorem 1. İki və ya bir neçə funksiyanın cəminin qeyri-müəyyən inteqralı onların inteqrallarının cəminə bərabərdir
. (1)
Teorem 2. Sabit vuruğu inteqral işarəsi xaricinə çıxarmaq olar, yəni olarsa, onda
. (2)
Qeyri-müəyyən inteqralı hesablayarkən aşağıdakı qaydaları nəzərə almaq faydalı olur.
Əgər olarsa, onda
1.
2.
3.