İbtidai funksiya və qeyri müəyyən inteqral

İbtidai funksiya və qeyri müəyyən inteqral.
Tutaq ki, hər hansı funksiyası verilmişdir. Elə funksiyasını tapmaq tələb olunur ki, onun törəməsi -ə bərabər olsun, yəni .
Tərif 1. Əgər parçasının bütün nöqtələrində bərabərliyi ödənərsə, onda funksiyasına funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.
Teorem. Əgər və – eyni bir funksiyasının parçasında ibtidai funksiyalarıdırsa, onda onların fərqi sabit ədədə bərabərdir.
İsbatı.İbtidai funksiyanın tərifinə əsasən
, (1)
eynilikləri parçasının istənilən x nöqtəsi üçün ödənilir. Əgər
(2)
qəbul etsək, onda (1) bərabərliklərinə əsasən

olduğundan parçasından götürülmüş istənilən x üçün olar, bu bərabərlikdən isə -in sabit olması alınır.
Tərif2. Əgər funksiyası üçün ibtidai funksiyadırsa, onda ifadəsinə funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və simvolu ilə işarə edilir. Beləliklə, tərifə görə əgər olarsa, onda

olar. Burada inteqralaltı funksiya, dx inteqralaltı ifadə adlanır. Deməli, qeyri-müəyyən inteqral funksiyaları ailəsindən ibarətdir. Həndəsi olaraq qeyri-müəyyən inteqral elə əyrilər çoxluğudur (ailəsidir) ki, bu əyrilərdən hər biri digərindən özünə paralel olaraq yuxarı və ya aşağı (yəni OY oxu boyunca) köçürmə nəticəsində alınır. Qeyd edək ki, parçasında kəsilməz funksiyasının ibtidai funksiyası (deməli, qeyri-müəyyən inteqralı) var. Verilmiş funksiyasının ibtidai funksiyasını tapmağa funksiyasını inteqrallamaq deyilir.
Tərif 2-dən alınır ki:
1. Qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi inteqralaltı funksiyaya bərabərdir, yəni olarsa, onda
. (4)
2. Qeyri-müəyyən inteqralın diferensialı inteqralaltı ifadəyə bərabərdir:
(5)
3. Hər hansı bir funksiya diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı həmin funksiya ilə ixtiyari sabitin cəminə bərabərdir:
.


Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri
Teorem 1. İki və ya bir neçə funksiyanın cəminin qeyri-müəyyən inteqralı onların inteqrallarının cəminə bərabərdir
. (1)
Teorem 2. Sabit vuruğu inteqral işarəsi xaricinə çıxarmaq olar, yəni olarsa, onda
. (2)
Qeyri-müəyyən inteqralı hesablayarkən aşağıdakı qaydaları nəzərə almaq faydalı olur.
Əgər olarsa, onda
1.
2.
3.

İnteqrallar cədvəli

1. ( ). (Burada və digər düsturlarda S ixtiyari sabitdir.)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.


Mövzu 16. Əsas inteqrallama üsulları
Verilmiş inteqralı hesablamaq üçün, əgər mümkündürsə, bu və ya başqa üsullardan istifadə edərək onu cədvəl inteqralına gətirib hesablamaq lazımdır.
Daha vacib inteqrallama üsulları aşağıdakılardır: ayırma üsulu, dəyişəni əvəzetmə üsulu və hissə-hissə inteqrallama üsulu.
1. Ayırma üsulu. Bu üsulun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, inteq­ralaltı funksiya inteqralları asan hesablana bilən funksiyaların cəmi şəklində göstərilir, sonra isə hər bir inteqral ayrılıqda hesablanır.
2. Dəyişəni əvəzetmə, yaxud əvəzləmə üsulu. Tutaq ki, inteqralını tapmaq lazımdır və üçün ibtidai funksiyanın varlığını bilirik, lakin onu bilavasitə tapmağı bacarmırıq.
İnteqralaltı funksiyada
(1)
qəbul edərək dəyişəni əvəz edək; burada kəsilməz, törəməsi və tərs funksiyası olan funksiyadır. Onda . İsbat etmək olar ki,
(2)
bərabərliyi doğrudur. Burada belə hesab edirik ki, inteqralladıqdan son­ra bərabərliyinin sağ tərəfində t-nin yerinə onun (1) bərabərliyindən tapılmış x ilə ifadəsi yazılacaqdır.
3. Hissə-hissə inteqrallama. Tutaq ki, u və v kəmiyyətləri
x-in diferensiallana bilən funksiyalarıdır. Onda məlum olduğu kimi uv hasilinin diferensialı

düsturu ilə hesablanır. Bu bərabərliyin hər iki tərəfini inteqrallamaqla
,
yaxud

alarıq. Axırıncı düstura hissə-hissə inteqrallama düsturu deyilir. Bu düsturu tətbiq etmək o halda əlverişlidir ki, verilən inteqralda inteqralaltı ifadəni u və dv kimi iki vuruğun hasili şəklində elə göstərmək mümkündür ki, dvdiferensialına görə v funksiyasını tapmaq və inteqralını hesablamaq inteqralını bilavasitə hesablamaqdan asan olsun.