SəRBƏst iŞ TƏLƏBƏ: orxan hüseynli faküLTƏ: YÜKSƏk texnologiya və innovativ müHƏndislik

Azərbaycan Respublikası Təhsil Nazirliyi
Qərbi Kaspi Universiteti



SƏRBƏST İŞ
TƏLƏBƏ: ORXAN HÜSEYNLI
FAKÜLTƏ: YÜKSƏK TEXNOLOGIYA VƏ INNOVATIV MÜHƏNDISLIK
İXTİSAS: 050616 İNFORMASIYA TEXNOLOGIYALARI
TƏDRİS İLİ: 2020/2021
FƏNN: EHTIMAL NƏZƏRIYYƏSI VƏ RIYAZI STATISTIKA
SƏRBƏST İŞİN MÖVZUSU:
MÜƏLLİM: SƏNAN HƏBIBOVA

Bakı-2021
Sual 7: Hadisələr üzərində əməllər. Uyuşmayan hadisələr. Ehtimalların toplanması teoremi
Verilmiş sınaq nəticəsində eyni zamanda (birgə) baş verə bilməyən hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir. Ehtimal nəzəriyyəsində cüt-cüt uyuşmayan hadisələrin tam qrupunun böyük əhəmiyyəti vardır.
Misal 2. Bir zəri bir dəfə atdıqda onun yuxarı düşən üzündəki xallar sayının 1, 2, 3, 4, 5, 6 olması hadisələrini uyğun olaraq ilə işarə edək. Bu hadisələr eyni ehtimallıdır, tam qrup əmələ gətirir və cüt-cüt uyuşmayandır. Onların ehtimalı

Burada hadisənin ehtimalına təkcə tezlik vasitəsilə verilən statistik tərifin (bunu ilk dəfə P. Mizes vermişdir) müəyyən nöqsanları olduğundan, o, ehtimal nəzəriyyəsinin elmi əsasını təşkil edə bilmir. Buna görə də hadisələrin ehtimalına daha əsaslı, aksiomatik olaraq tərif vermək zərurəti yaranmış olur.
Verilmiş sınaq nəticəsində eyni zamanda (birgə) baş verə bilməyən hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir. Ehtimal nəzəriyyəsində cüt-cüt uyuşmayan hadisələrin tam qrupunun böyük əhəmiyyəti vardır. Misal 2. Bir zəri bir dəfə atdıqda onun yuxarı düşən üzündəki xallar sayının 1, 2, 3, 4, 5, 6 olması hadisələrini uyğun olaraq ilə işarə edək. Bu hadisələr eyni ehtimallıdır, tam qrup əmələ gətirir və cüt-cüt uyuşmayandır. Onların ehtimalı

Burada hadisənin ehtimalına təkcə tezlik vasitəsilə verilən statistik tərifin (bunu ilk dəfə P. Mizes vermişdir) müəyyən nöqsanları olduğundan, o, ehtimal nəzəriyyəsinin elmi əsasını təşkil edə bilmir. Buna görə də hadisələrin ehtimalına daha əsaslı, aksiomatik olaraq tərif vermək zərurəti yaranmış olur. Hadisələrin ehtimalı bilavasitə klassik ehtimalın tərifinə əsaslanaraq hesablanır.Lakin ehtimalın bu yolla hesablanması yalnız ən sadə hallarda səmərəli olur.Belə ki,adətən keçirilən sınağın bütün mümkün nəticələrini ,eləcə də onların arasından hadisə üçün əlverişli olanlarını birbaşa hesablamaq əlverişsiz olur və bəzi hallarda isə özünün mürəkkəbliyi baxımından bu hesablamanı aparmaq ümumiyyətlə mümkün olmur.Bununla yanaşı hadisələrin ehtimalları arasında əlaqə yaradan teoremdən istifadə etməklə ehtimalların hesablanmasını ciddi şəkildə sadələşdirmək olar. Əvvəlcə aşağıdakı məsələyə baxaq.
M ə s ə l ə 1. Tələbələrin imtahan yazı işləri 1-dən 90-a qədər olan tam ədədlərlə kodlaşdırılıb.Təsadüfi götürülmüş yazı işinin nömrəsinin 10-a və ya 11-ə bölünməsi ehtimalını tapın.
H ə l l i. Yazı işinin nömrəsinin 10-a bölünməsi hadisəsini A ilə, 11-ə bölünməsi hadisəsini isə B ilə işarə edək.Onda yazı işinin nömrəsinin 10-a və ya 11-ə bölünməsi hadisəsi A+B=C olacaq.Aydındır ki,
P(A)=9/90, (1)
P(A)= 8/90. (2)
Digər tərəfdən A və B hadisələri uyşmayandır,hər ikisinin eyni vaxtda baş verməsi mümkün deyildir (AB=V). Ona görə də A+B=C hadisəsi üçün əlverişli sayı 17 olur.Buradan isə alarıq: P(C)=P(A+B)=17/90.
Nəhayət ,(3)-ü (1) və (2) ilə müqayisə etdikdə görürük ki, A+B=C hadisəsinin ehtimalları cəmi bərabərdir.Yəni P(A)+P(B)= 9/90 + 8/90 =17/90= P(A+B).
T e o r e m 1. İki uyuşmayan A və B hadisələrinin cəminin ehtimalı bu hadisələrin cəminin ehtimalı bu hadisələrin ehtimalları cəminə bərabərdir,yəni P(A+B) P(A)+P(B). (4)
İ s b a t ı. Tutaq ki, A və B uyuşmayan hadisələrdir, yəni hər ikisinin eyni vaxtda baş verməsi mümkün deyildir.Keçirilən sınağın bütün mümkün nəticələrinin sayı n, eyni zamanda A hadisəsinin baş verməsi üçün əlverişli nəticələrin sayı m və B hadisəsinin baş verməsi üçün əlverişli nəticələrin sayı isə k olsun. A və B hadisələri uyuşmayan hadisələr olduğundan keçirilən bütün mümkün sınaqların nəticələri arasında eyni vaxtda həm A və həm də B hadisəsi üçün əlverişli olan nəticələr yoxdur. Deməli, C=A+B hadisəsi üçün ,başqa sözlə, A və ya B hadisəsi üçün əlverişli nəticələrin sayı m + k olacaq.Onda ehtimalın tərifinə görə A və B hadisələrinin ehtimalları uyğun olaraq P(A)=m/n və P(B) =k/n , eləcə də C=A+B hadisəsinin ehtimalı
P(A+B) = (m+k)/n =m/n + k/n
olur. Deməli, P(A+B) = P(A) + P(B), burada AB=V.
Teorem isbat olundu.
Bu teorem uyuşmayan hadisələr üçün toplama teoremi adlanır. Qed edək ki, bu teoremi riyazi induksiya üsulundan istifadə edərək n sayda cütcüt uyuşmayan A1, A2, A3, .......An hadisələri üçün də isbat etmək olar.
Yəni P(A1+A2+A3+......+An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+....+P(An). Qeyd edək ki,iki hadisə üçün toplama teoremi başqa bir istiqamətdə ümumiləşdirilə bilir .Yəni teoremin şərtindəki hadisələrin uyuşmazlığı təıəbindən imtina etsək,onda daha ümumi teoremi isbat etmək olar ki,buradan da yuxarıda isbat edilmiş teorem xüsusi hal hal kimi alınır.
Beləliklə,ümumi hala baxaq.
T e o r e m 2. İstənilən iki hadisənin cəminin ehtimalı onların ehtimallarının cəmi ilə bu hadisələrin hasilinin ehtimalı fərqinə bərabərdir,yəni P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) (5) Və ya P(AUB) = P(A) U P(B) – P(A B) (6)
İ s b a t ı: Tutaq ki, A hadisəsi üçün sınağın əlverişli nəticələrinin sayı m, B hadisəsi üçün isə k –dır. Həm də AB hadisəsinin ,yəni A və B hadisələrinin hər ikisinin eyni vaxtda baş verməsi üçün əlverişıi nəticələrin sayı t olsun.Əgər sınağın bütün mümkün nəticələrinin sayı n olarsa,onda ehtimalın tərifinə görə alırıq:
P(A) = m / n , P(B) = k / n və P(AB) = t / n.
Aydındır ki, bu halda A + B hadisəsi üçün sınağın əlverişli nəticələrinin sayı m + k – t olacaq.Odur ki, A + B hadisəsinin ehtimalı aşağıdakı kimi olur:
P(A+B) =( m+ k –t ) / n = (m / n) + ( k / n ) – (t / n ) =P(A)+P(B)- P(AB).
Teorem isbat olundu.
Tutaq ki, hadisələri bütövlükdə aslı olmayan hadisələrdir. Onda bu hadisələrdən heç olmasa birinin baş verməsi ( başqa sözlə, bu hadisələrin cəminin) ehtimalını tapmaq tələb olunur.
Teorem . Bütövlükdə aslı olmayan hadisələrdən heç olmasa birinin baş verməsi, vahidlə, bu hadisələrlə qarşılıqlı əks olan 1 2 . ... n hadisələrinin ehtimalları hadisələrinin fərqinə bərabərdir, yəni P(A) = 1- q1 .q2....qn (1) olur. Burada P( i) =q (i=1,2,...,n ) işarə olunmuşdur. Bütövlükdə asılı olmayan hadisələrindən heç olmasa birinin baş verməsi ilə baş baş verən hadisəni A-ilə işarə edək.
Onda
A= A 1 +A 2 + .....A n olur .
Burada A və 1, 2 . ... n hadisələri qarşılıqlı əks hadisələrdir.
Yəni P(A) +P( 1 * 2 ... n P(A)+P(A 1A 2...An)=1 olur.
Buradan P(A)=1-P(A1A2...An)=P(A1)P(A2)...P(An)= =1-q1q2...qn olur.
Xüsusi halda
P(A1)=p, P(A2)=p,
.......... p(An)=p
Olarsa, onda P(A1)=1-p=q p(A2)=1-p=q p(A3)=1-p=q ................. p(An)=1-p=q olar və bu halda (1 ) düsturu P(A)=1-q.q...q (2) olur. Məsələ. Hədəfə üç atəş açılır. Birinci atəşin hədəfi vurması hadisəsinin ehtimalı P(A1)=P1 ikinci P(A2)=P2=0,7 üçüncü P(A3)=P3=0,9 olsun. Hədəfə açılan üç atəşdən heç olmasa birinin hədəfi vurması ehtimalını (P(A)- nı) tapmalı. Məsələnin həlli.
Birdəyişənli həqiqi funksiyaları öyrənmək üçün əvvəlcə onların təyin oblastını təşkil edən həqiqi ədədlər çoxluğu qurulur və onun xassələri öyrənilir. Ehtimalı öyrənmək üçün də onun təyin oblastını təşkil edən hadisələr çoxluğunu müəyyən etmək və bir sıra xassələrini öyrənmək lazımdır. Tutaq ki, təkrarən aparıla bilən hər hansı S sınağının icrasında cüt-cüt uyuşmayan ωi (i=1,2,…) nəticələrin-dən ancaq biri baş verir. Bu halda, ωi əticələrinin hər biri S sınağının elementar hadisəsi (və ya elementar nəticəsi) adlanır. Bütün belə elementar hadisələr çoxluğuna S sınağının elementar hadisələr fəzası deyilir və Ω ilə işarə olunur :
Ω={ω1,ω2,…} və ya Ω={ω}
Həyatda istənilən sayda təkrarən aparıla bilən müxtəlif sınaqlar və onların elementar nəticələri vardır. Bunların hər birini ayrılıqda öyrənməyin heç bir elmi əhəmiyyəti yoxdur. Buna görə də ehtimal nəzəriyyəsində konkret elementar hadisələr və elementar hadisələr fəzası deyil, ümumi (abstrakt) elementar hadisələr fəzası öyrənilir. Ümumiyyətlə, ixtiyari təbiətli ω, elementlərinin Ω çoxluğu elementar hadisələr fəzası, onu təşkil edən ω elementləri isə elementar hadisələr adlanır. Hər bir real hadisə və prosesi öyrənmək üçün uyğun elementar hadisə-lər fəzası təyin edilir. Baxılan sınağın cüt-cüt uyuşmayan uyğun nəticələri isə elementar hadisələr hesab olunur. Misal 1. Bir zəri bir dəfə atmaqdan ibarət olan sınaqda zərin yuxarı düşən üzündəki xallar sayının 1, 2, 3, 4, 5, 6 olması nəticələrini uyğun olaraq ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6 ilə işarə etsək, bu halda elementar hadisələr fəzasını Ω={ω1,ω2ω3,ω4,ω5,ω6} kimi təyin etmək daha əlverişlidir. Burada hər bir sınaq nəticəsində ωk (k=1,2,3,4,5,6) elementar hadisələrinin ancaq biri baş verir və onlar cüt-cüt uyuşmayandır. Bu misalda göstərilən sınağın icrası zamanı “zərin yuxarı düşən üzündə cüt sayda xalın olması” (A hadisəsi) və ya “zərin yuxarı üzündə tək sayda xalın olması” (B ha-disəsi) kimi təsadüfi hadisələrə də baxmaq olar. Sınaq nəticəsində A hadisəsinin baş verməsi ω4 ,ω5 və ω6 elementar hadisələrinin hər hansı birinin baş verməsi deməkdir. B hadisəsinin baş verməsi isə ω1, ω3, ω5 elementar hadisələrinin hər hansı birinin baş verməsinə ekvivalentdir. Buna görə də, Ω={ω1,ω2ω3,ω4,ω5,ω6} elementar hadisələr fəzasının A={ω2,ω4, ω6} və B={ω1,ω3,ω5} alt çoxluq-larını təsadüfi hadisə hesab etmək olar. Hadisə anlayışı ümumi halda da uyğun şəkildə təyin edilir. Elementar hadisələr fəzasının hər bir altçoxluğuna təsadüfi hadisə və ya sadəcə olaraq hadisə deyilir. Aparılan sınaqda müəyyən hadisənin baş verməsi, onu təşkil edən elementar hadisələrin heç olmazsa birinin baş verməsi deməkdir. Beləliklə, baxılan sınaq nəticəsində baş verə bilən bütün hadisələr çoxluğu Ω fəzasının bütün altçox-luqları çoxluğundan ibarətdir. Ω çoxluğudan (fəzanın özündən) ibarət olan hadisə, sınaq nəticəsində baş verən hər bir elementar hadisənin baş verməsi nəticəsində baş verir. Bu o deməkdir ki, Ω hadisəsi hər bir sınaq nəticəsində baş verir. Deməli, Ω fəzası yəqin hadisədir. Boş çoxluq isə sınağın icrası zamanı heç bir elementar hadisənin baş verməsi nəticəsində baş verə bilməz, yəni ∅ boş çoxluğu mümkün olmayan hadisədir. Qeyd edək ki, hər bir elementar hadisəyə Ω fəzasının bir elementli alt çoxluğu kimi baxmaq olar. Buna görə də Ω fəzasını təşkil edən ω elementar hadisələrinin hər biri təsadüfi hadisədir.
Ehtimal nəzəriyyəsinin sadə məsələlərini, xüsusilə, yuxarıdakı misallarda olduğu kimi eyniehtimallı sonlu nəticəsi olan sınaqlarla bağlı olan məsələləri həll etmək üçün ehtimalın sonlu additiv olmasını, yəni (4) bərabərliyini ödəməsini tələb etmək kifayətdir. Lakin həndəsi xa-rakterli və bir sıra başqa mürəkkəb məsələləri həll etmək üçün ehtimalın hesabi-additiv olması tələb olunur. Dediklərimizdən aydındır ki, hadisələrin P(A) ehti-malı mənfi olmayan qiymətlər alan hesabi-additiv çoxluq funksiyasıdır. Ehtimal anlayışını təyin etmək üçün Ω ele-mentar hadisələr fəzası, onun σ− cəbr olan F hadisələr sistemi və bu sistem üzərində təyin olunmuş P(A) funksiyası göstərilməlidir. Bunların {Ω,F,P} üçlüyü ehtimal fəzası adlanır. Hər bir təsadüfi prosesi öyrənmək üçün onun ehtimal fəzası qurulur. Bu ehtimal fəzası həmin prosesin riyazi modelidir. Ehtimal nəzəriyyəsində də təsadüfi hadisələrin belə riyazi modelləri öyrənilir. Ehtimal nəzəriyyəsində qurulmuş ehtimal fəzalarını tədqiq etmək üçün çoxluqlar nəzəriyyəsindən və ölçü nəzəriyyəsindən istifadə edilir
A1, A2, A2 birlikdə asılı olmayan hadisələrdir. Onda bunlarla qarşılıqlı olan A1, A2, A3 hadisələri də birlikdə asılı olmayan hadisələrdir və P( A1, A2, A3 )=P(A1 )P(A2 )P(A3)= = q1 q2 q 3 = ( 1-P1) (1-P2 ) (1-P3 )= =( 1-0,8)(1-0,7)(1-0,9)=0,2*0,3*0,1=0,006 Axtarılan ehtimal P(A)=1-q1.q2.q3=1-0,006=0,994 olar.
Bir sıra məsələlərin həlli üçün sonlu sayda elementlərdən müxtəlif qruplar düzəltmək lazım gəlir. Sonlu sayda elementlər üzərində aparılan beləəməliyyatlardan bəhs edən bölməbirləşmələr nəzəriyyəsi (və ya kombinatorika) adlanır. Birləşmələrin üç növü vardır: permutasyon, aranjeman və kombinezon. Birləşmələrdən elm və texnikanın müxtəlif sahələrində, bir sıra ehtimal məsələlərinin həllində, hesablama maşınları və idrəetmə sistemlərində vəs.çox istifadə olunur.Biz yalnız təkrarsız birləşmələrdən danışacağıq. Əvvəlcə bəzi zəruri anlayışlarla tanış olaq. Çoxunun cüt-cüt kəsişməyən alt çoxluqların birləşməsi şəklində göstərilməsinə onun alt çoxluqlara və ya siniflərə ayrılışı deyilir. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika elminin formalaşmış bir sahə kimi inkişafında, XX əsrin 30-cu illərində akademik A. N. Kolmoqorovun təklif etdiyi və elmin bu sahəsinin əsaslarını təşkil edən aksiomatika yeni inkişaf dövrü yaratdı. Bu aksiomatikanın yaranmasına və ümumiyyətlə, ehtimal nəzəriyyəsinin inkişafına dünyanın tanınmış riyaziyyatçılarının nəşr etdirdikləri müxtəlif elmi əsərlərin tə siri danılmazdır. Bu əsərlər arasında P. Laplasın «Essai philosophique sur les probabilités», V. Ya. Bunyakovskinin «Oснования математической теории вероятностей», S. N. Bernşteynin «Oснования математической теории вероятностей» adlı əsərlərini xüsusi qeyd etmək olar. Qeyd olunan əsərlər və A. N. Kolmoqorovun ehtimal nəzəriyyəsi haqqında yazdığı «Большая Советская энциклопедия»-da (birinci nəşr) dərc olunmuş ensiklopedik məqalələr həmin sahə haqqında geniş məlumat verən, bu sahənin incəliklərini dərindən əks etdirən, zəngin və tamamlanmış elmi əsər kimi təqdim oluna bilər. Bütün hadisə və ya proseslər, hətta özünün əhəmiyyətsizliyi ilə guya ki, təbiətin ali qanunlarından asılı olmayanları belə, o dərəcədə də məhz bu qanunların zəruri nəticələridir, məs., günəşin dövr etməsi kimi. Bu nəticələri bütün kainat sistemi ilə əlaqələndirən bağları bilmədən, bunların birinin digərinin ardınca məlum bir düzgünlüklə və ya görünməz bir qayda ilə baş verib-vermədiklərindən asılı olaraq, onların son səbəblər və ya təsadüf nəticəsində baş verdikləri fərz olunur, lakin xəyalın məhsulu olan bu səbəblər, bizim bilik hüdudlarımız genişləndikcə, nəzərə alınmayaraq sağlam fəlsəfə qarşısında tamamilə itmiş oldu, belə ki, bu fəlsəfəyə görə, bu səbəblər – həqiqi səbəbi yalnız özümüz olan – bilgisizliyin təzahürüdür. Baş vermiş hər bir hadisə və ya proses özündən əvvəlki ilə belə bir açıq-aşkar prinsipə əsaslanaraq əlaqəlidir ki, hər hansı hadisə və ya proses (təzahür) onu doğuran səbəb olmadan baş verə bilməz. «Əsas kifayətedici prinsip» adı ilə məlum olan bu aksiom, hətta əhəmiyyətsiz sayılan olaylara da şamil olunur. Bu olayları onları əmələ gətirən səbəblər olmadan ən azad iradə belə yarada bilməz; çünki bu iradə, əgər bir halda təsir göstərib, digər halda təsir göstərməkdən yayınmış olsa idi və hər iki vəziyyət isə bütün cəhətlərilə tamamilə oxşar olsaydı, iradənin seçimi – səbəbsiz bir olay olardı: Leybnitsin dediyi kimi, bu iradə epikürçülərin kor-koranə bir halı olardı. Əks fikir əqlin illüziyasıdır ki, o, fərqinə varılmayan davranışlarda iradənin bu və ya digər seçimində xırda səbəbləri nəzərdən qaçıraraq əminliklə hesab edir ki, bu fikir özü-özünə və səbəbsiz yaranır. Sınaq, təcrübə və ya müşahidənin nəticəsinə hadisə deyilir. Sınaq (təcrübə və ya müşahidə) nəticəsində baş verə bilən və ya verə bilməyən istənilən hadisəyə təsadüfi hadisə deyilir. Sınaq nəticəsində hökmən baş verən hadisəyə yəqin hadisə deyilir. Sınaq nəticəsində baş verməyəcəyi əvvəlcədən məlum olan hadisəyə mümkün olmayan hadisə deyilir. Sınağın hər bir ayrılmayan nəticəsinə elementar hadisə deyilir. Bütün elementar hadisələr çoxluğuna elementar hadisələr fəzası deyilir. Sınağın bütün mümkün nəticələri E₁ ,E₂ ,...,E_n , elementar hadisələri olarsa, elementar hadisələr fəzası E₁ , E₂ ,...,E_n olar. Elementar hadisələr fəzasının ixtiyari alt çoxluğuna hadisə deyilir. Bu zaman AE boş çoxluq mümkün olmayan hadisə, U isə yəqin hadisə olacaqdır. Bütün nəticələri A və ya B hadisələrindən heç olmasa birinə daxil olan hadisəyə A və B hadisələrinin birləşməsi deyilir və AÈ B kimi işarə olunur. Nəticələri həm A hadisəsinə, həm də B hadisəsinə daxil olan hadisəyə A və B hadisələrinin kəsişməsi deyilir və AÇ B kimi işarə olunur. Ortaq nəticələri olmayan hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir. A hadisəsinə daxil olmayan bütün nəticələr çoxluğuna A hadisəsinin əks hadisəsi deyilir və -A kimi işarə olunur. Əgər A hadisəsinin hər bir nəticəsi həm də B hadisəsinin nəticəsidirsə, onda deyirlər ki, A hadisəsi B hadisəsini doğurur və ya B hadisəsi A hadisəsinin nəticəsidir, bu halda AÌ B yazılır. Nəticələri B hadisəsinə daxil olmayıb, yalnız A hadisəsinə daxil olan hadisəyə A hadisəsi ilə B hadisəsinin fərqi deyilir və A\B kimi işarə olunur.
Eyni şəraitdə və eyni şərtlər daxilində sınağın baş verən elementar hadisələrinin birinin digərindən heç bir üstünlüyü yoxdursa, onlara eyni imkanlı hadisələr deyilir. Müstəvi üzərində təyin edilmiş düzbucaqlı koordinat sisteminin absis oxu üzərində A hadisəsinin başvermə tezliyi olan m ədədi, ordinat oxu üzərində isə həmin ədədə uyğun olan 𝑃 binomial ehtimalı göstərilir (koordinat oxlarıüzərindəölçü vahidləri eyni olmaya da bilər). Belə tapılan 𝐴 ( ) 𝑛 nöqtələri ardıcıl olaraq düz xətt parçaları ilə birləşdirildikdə nəticədə bir sınıq xətt alınır (şəkil 1). Buna ehtimallar poliqonu və ya ehtimalların paylanma çoxbucaqlısı deyilir.
Ədəbiyyat
1.M.M.Səbzəliyev “Ali riyaziyyatdan mühazirələr” II hissə, Bakı-2014, XI fəsil II bölmə, §4, §5. 2. R.H.Məmmədov “Ali riyaziyyat kursu”, III hissə, Maarif nəşriyyatı, Bakı-1984, 51-ci fəsil, §4, §5. 3. П.Е.Данко, А.Г.Попов “Высшая математика в упражнениях и задачах”, часть II, Москва, “Высшая школа”, 1980, стр.208-237. 4. В.Е.Гмурман, “Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике”, Москва “Высшая школа”, 1979, стр.157-181.