Shahrisabiz davlat pedagogika instituti pedagogika fakulteti

Chiziqli almashtirishning xos son va xos vektorlari.
Kompleks sonlar maydoni ustida qurilgan V_n vektor fazo va φ:V_n V_n chiziqli operator berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Ushbu
(1)
tenglikni qanoatlantiruvchi songa φ chiziqli operatorning xos qiymati, vektor esa xos qiymatga mos keluvchi xos vektori deyiladi.
Teorema. Kompleks sonlar maydoni ustida qurilgan V_n vektor fazoning har bir φ chiziqli operatori kamida bitta xos vektorga ega.
Isboti. V_n vektor fazoning
(2)
bazisi berilgan bo’lib, vektorning bu bazisdagi koordinatasi bo’lsin, ya’ni tenglik o’rinli bo’lsin. vektorlar (2) bazis orqali chiziqli ifodalanadi, ya’ni
(3)
bo’ladi.
,
matritsa φ chiziqli operatorning (2) bazisdagi matritsasi. Endi φ( ) vektorning (2) bazisdagi koordinatalarini aniqlaymiz.
(4)

1. 
   va (4) ga asosan
   

,

(5)
kelib chiqadi.
(5) sistema noma’lumli bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi. Bu sistema nolmas echimga ega bo’lishi uchun sistema determinanti nolga teng bo’lishi kerak, ya’ni


(6)
hosil bo’ladi. (6) ga φ chiziqli operatorning xarakteristik tenglamasi deb yuritiladi. (6) ning chap qismidagi determinant ga nisbatan n-darajali ko’phadni bildiradi. Bu ko’phadga φ chiziqli operatorning xarakteristik ko’phadi deb yuritiladi. Bizga ma’lumki, n-darajali ko’phad kompleks sonlar maydoni ustida n ta ildizga ega bo’ladi. Bu ildizlar bo’lib, ular φ chiziqli operatorning xos qiymatlari bo’ladi. Ќar bir xos sonlarni (5) sistemaga qo’yib, uning nolmas echimlaridan tuzilgan vektorlar xos sonlarga mos xos vektorlar bo’ladi.
Agar matritsaning rangi bo’lsa, φ chiziqli operatorning har biri xos songa mos keluvchi xos vektorlar soni (n- ) ga teng bo’ladi.