Shahrisabiz davlat pedagogika instituti pedagogika fakulteti

Ta’rif. Tenglikni qanoatlantiruvchi har qanday nolmas ustun A matritsaning λ xos qiymatiga mos xos vektori deyiladi.
AX = λX <=> AX = λEX <=> (A-λE)X = θ bo’lib, oxirgi tenglik koordinatalarda quyidagicha yoziladi:

Xos vektorlarni qurish uchun sistemaning nolmas yechimlarini topish zarur. n ta noma’lumli n ta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi nolmas yechimlarga faqatgina sistema determinanti nolga teng bo’lgandagina ega bo’ladi, ya’ni
yoki
a_nλⁿ + a_n-1λ^n-1 + … + a₁λ + a₀ = 0, bu yerda, a_n = (-1)ⁿ, a₀ = detA.
Oxirgi yozilgan tenglamalar A matritsaning xarakteristik tenglamalari, uning ildizlari esa xarakteristik sonlari yoki A matritsaning xos qiymatlari deyiladi.
Misol. matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini toping.
Xarakteristik tenglama tuzamiz va uni yechib, A matritsaning xos qiymatlarini aniqlaymiz:
<=> λ² - 7λ + 6 = 0 <=> λє{1; 6}
λ₁=1 xos qiymatga mos xos vektorlardan birini quramiz:
, ya’ni
λ₂=6 xos qiymatga mos xos vektorlardan biri esa:
, .
Matritsaning xarakteristik ko’phadi bazis tanlanishiga bog’liq emas. Ayni bir chiziqli almashtirishga turli bazislarda o’xshash matritsalar mos kelgani uchun, o’xshash matritsalarning xarakteristik ko’phadlari tengdir. Agar x₁, x₂, …, x_k xos vektorlar juft-jufti bilan turli xos qiymatlarga tegishli bo’lsa, ular chiziqli erkli sistemani tashkil etadi.

Chiziqli almashtirishlar va ularning matritsalari.
Biz oldingi ma’ruzalarda vektor fazo tushunchasi bilan tanishgan edik. Endi turli vektorlar fazolari orasida qanday munosabatlar mavjudligini ko’raylik.
U vektor fazoning V vektor fazoga akslantirish bo’lsa, u holda ko’rinishda belgilaylik. U vektor fazoning ixtiyoriy elementiga akslantirish yordamida V vektor fazodan mos keluvchi vektorni deylik. Bu moslik , , , ko’rinishlarda belgilanadi.
Ta’rif. ℱ sonlar maydoni ustida aniqlangan U vektor fazoning V vektor fazoga akslantiruvchi akslantirish uchun ushbu
,

shartlar bajarilsa, u holda U vektor fazo V vektor fazoga chiziqli akslanadi deyiladi
U fazoni V fazoga chiziqli akslantirishlar to’plamini orqali belgilanadi.
Ta’rif. U vektor fazoni o’z-o’ziga akslantirish U fazoda aniqlangan operator deyiladi.
Yuqoridagi ikkita ta’rifdan ko’rinadiki, operator chiziqli akslantirishning xususiy holi ekanligi.
Operatorlar harflar bilan belgilanadi.
Ta’rif. U vektor fazoni o’z-o’ziga chiziqli akslantirish U fazoda aniqlangan chiziqli operator deyiladi.
chiziqli akslantirish ta’sirida bo’lsa, u holda vektor vektorning obrazi (tasviri), vektor esa vektorning proobrazi (asli) deb yuritiladi.
bo’lganda vektorlar to’plami odatda akslantirishning obrazi deb yuritiladi va yoki orqali belgilanadi.
Misol. Agar akslantirish S kompleks sonlar maydoni ustida chiziqli operator bo’ladi (Bunda va sonlar o’zaro qo’shma kompleks sonlar).
Ta’rif. U vektor fazoning ixtiyoriy va elementlari va U da aniqlangan operator uchun tenglik bajarilsa, u holda ga U da aniqlangan additiv operator deyiladi.
Quyidagi xossalar o’rinli:
1⁰. ;
2⁰. ;
3⁰. ;
4⁰. .
Ta’rif. Agar ixtiyoriy son bo’lganda ham U fazoning ixtiyoriy elementi uchun tenglik o’rinli bo’lsa, u holda ga U da aniqlangan bir jinsli operator deyiladi.
Ta’rif. Bir vaqtda bir jinsli va additiv bo’lgan operatorga chiziqli operator deyiladi.
operator chiziqli operator bo’lishi uchun U fazoning ixtiriy elementlari va berilganda tenglikning bajarilishi zarur va etarli.
Bu mulohazani isbotlashda yuqoridagi ikkita ta’rifdan foydalaniladi.
Agar chiziqli operator bo’lsa, u holda uchun ushbu
(1)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Bu mulohazada (1) tenglik matematik induktsiya printsipi asosida isbot qilinadi.
Ta’rif. Agar uchun tenglik bajarilsa, u holda operatorga nol operator deyiladi.
Nol operator ham chiziqli operator bo’ladi. (Isbotlang).
Ta’rif. Agar uchun tenglik bajarilsa, u holda e ga ayniy (birlik) operator deyiladi.
Ta’rif. Agar , uchun tenglik bajarilsa, u holda ga o’xshashlik operatori deyiladi.
Demak, bu ta’rifdan ko’rinadiki, bo’lsa, o’xshashlik operatorining nol operator, bo’lsa, o’xshashlik operatorining ayniy operator bo’lishi.
Ta’rif. Agar bo’lib,
bo’lsa, ya’ni operator n o’lchovli fazodagi vektorni k o’lchovli fazodagi vektorga o’tkazuvchi operator bo’lsa, u holda ga proektsiyalovchi operator deyiladi.
Ta’rif. Agar U_n fazoning ixtiyoriy vektori uchun tenglik bajarilsa u holda f ga va operatorlarning yig’indisi deyiladi va u orqali yoziladi.
Ta’rif. uchun tenglik bajarilsa, u holda ga operatorning skalyarga ko’paytmasi deyiladi.
Ayrim hollarda U_n fazoning nolmas vektorini operator ta’sirida nol vektorga akslanishi mumkin.