Skalyar maydonlarning xossalarini sath sirtlari yoki sath chiziqlari yordamida orif

4. Skalyar maydon gradienti.
Tani

. (54)
Gradientning proeksiyalari nuqtani tanlashga bogladi va shu nuqtaning koordinatalari ozgaradi. Binobarin, funksiya bilan berilgan skalyar maydonning har bir nuqtasiga mayiladi.

Gradientning tanalish borinishda yozish mumkin:

(55)
bu yerda yonalish bonalishning birlik vektori kopaytma tarinishda ifodalash mumkin, bunda birlik vektor bilan gradient orasidagi burchak. boladi. Bundan yoyicha hosila boni da eng katta qiymatga erishadi. Shu bilan birga bu eng katta qiymat ga teng, yalgan eng katta qiymati bonalishi esa nuqtadan chiquvchi shunday nurning yoylab funksiya hammasidan kozgaradi, yanalishi funksiyaning eng tez ortishidagi yorifi oliq borifni berishga imkon beradi.


Tazgarishining eng katta tezligini ifodalovchi vektorga aytiladi.
Agar bonalish boladi. Bu yonalishda) funksiya hammasidan tezroq kamayadi.

Agar bonalish bonalishi bilan sath sirtlari orasidagi bogrganamiz.

funksiyaning maydonning har bir nuqtasidagi gradientining yotuvchi skalyar maydonning sath tekisligiga onalishi bilan mos tushishini isbotlaymiz. Buning uchun ixtiyoriy nuqtani tanlab olamiz. Bu nuqtadan orinishda yoziladi, bu yerda .

nuqtadan shu tekislikka olgan normalning yoladi.

Shunday qilib, har bir nuqtadagi gradient berilgan nuqtadan otkazilgan urinma tekislikka perpindikulyar boni uning tekislikka proeksiyasi nolga teng. Demak berilgan nuqtadan olgan istalgan yoyicha hosila nolga teng.

Funksiya gradientining barsatamiz:

. , bu yerda otadigan vektor maydon oqimi. Uning tezliklar

maydonidagi fizik malsin, bu yerda shu sohada uzluksiz bonalishi
birlik vektor orqali aniqlansin, bu yerda normal ning koordinatalar orif. vektorning sirt orqali orinishda yoki yanada soddaroq

konosini aniqlaymiz. Faraz qilaylik, vektor oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonini orqali aniqlasin. Bu tezlik vektori har bir nuqtada suyuqlik zarrachasi intilayotgan yoladi (8-chizma).

8-chizma. 9-chizma.

sirt orqali vaqt birligi ichida oqib otgan suyuqlik miqdori asosi va yasovchisi boli bilan hosil qilinadi. shuning uchun silindrning hajmi

kattalikka teng boyicha oqib oliq hajmi yoki suyuqlik miqdori boladi:

Bu natijani (60) formula bilan taqqoslab, bunday xulosa chiqaramiz: sirt orqali onalishda oqib onosi ana shundan iborat. sirt fazoning biror sohasini chegaralovchi yopiq sirt boygnaltirishga shartlashib olamiz (4-chizma). Normal tomoniga qarab harakat sirtning tegishli joyida suyuqlik sohadan oqib chiqishini anglatadi, normalning qarama-qarshi tomoniga qarab harakat esa suyuqlik sirtning tegishli joyida shu sohaga oqib kirishini anglatadi. yopiq sirt bozi esa

kolsa, sohaga undan qancha suyuqlik oqib chiqib ketsa, shuncha suyuqlik oqib kiradi.

Agar boproq suv oqib chiqadi.

Agar borsatadi, yarsatadi (masalan, bugyicha oqimini hajm