Sonlar ketma-ketligi va uning limiti. Reja Sonlar ketma-ketligi tushunchasi

1. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning chegaralanganligi. Tengsizliklarda limitga o‘tish.
1-teorema. [1, p.131, Corollary 6.1.17] ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u chegaralangan bo‘ladi.
◄ Aytaylik,

bo‘lsin. Limit ta’rifiga ko‘ra

bo‘ladi. Demak, uchun

bo‘ladi. Agar

deyilsa, u holda, uchun

tengsizlik bajariladi. Bu esa ketma-ketlikning chegaralanganligini bildiradi. ►
2-teorema. Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi va

bo‘lib, bo‘lsa, u holda shunday topiladiki, bo‘lganda

bo‘ladi.
◄ Aytaylik,

bo‘lsin.   0 sonining ixtiyoriyligidan foydalanib, deb qaraymiz.
Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan, uchun, jumladan, uchun, shunday topiladiki, bo‘lganda

bo‘ladi. Ravshanki,

Bu tengsizliklardan bo‘lganda

bo‘lishi kelib chiqadi. ►
( hol uchun ham teorema yuqoridagidek isbot etiladi).
3-teorema. Agar va ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib,
1)
2)
bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
◄ Shartga ko‘ra
.
Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan:

bo‘ladi.
Agar deyilsa, unda uchun bir yo‘la

tengsizliklar bajariladi.
Ravshanki,

Bu tengsizliklardan hamda teoremaning 2-shartidan foydalanib topamiz:
.
Keyingi tengsizliklardan

va bo‘lgani uchun , ya’ni bo‘lishi kelib chiqadi.
Xuddi shunga o‘xshash, hamda uchun bo‘lishidan tengsizlik kelib chiqishi ko‘rsatiladi. ►
4-teorema. Agar va ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib,
1)
2) uchun
bo‘lsa, u holda ketma-ketlik yaqinlashuvchi va

bo‘ladi.
◄ Shartga ko‘ra

Limit ta’rifiga binoan:

bo‘ladi. Agar deyilsa, unda uchun

tengsizliklar bajariladi. Teoremaning 1-shartidan foyda-lanib topamiz:
.
Keyingi tengsizliklardan
ya’ni
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,

Shuni isbotlash talab qilingan edi. ►
1-misol. Ushbu

limit topilsin.
◄ Ravshanki, barcha bo‘lganda

bo‘ladi. Aytaylik,

bo‘lsin. Unda
(1)
va bo‘ladi.
Bernulli tengsizligidan foydalanib topamiz:
. (2)
(1) va (2) munosabatlardan

va

tengsizliklar kelib chiqadi. Agar

ekanini e’tiborga olsak, unda 4-teoremaga ko‘ra

bo‘lishini topamiz. ►
2-misol. Ushbu

limit topilsin.
◄Ravshanki,

Demak,
.
4-teoremadan foydalanib topamiz:
►