92.
Yechilishi
.
n
α
+ a
1
≡
0 (mod m)
taqqoslamani
tuzamiz. Shartdan 3
α
+ 5
≡
0 (
mod
13) kelib chiqadi, uning yechimi:
α
≡
7 (
mod
13),
demak,
x = u
+ 7 almashtirish olamiz. Bu almashtirishni berilgn taqqoslamaga
qo’yib, (
u
+7)
3
+ 5(
y
+ 7)
2
+ 6(
u
+ 7) – 8 =
u
3
+ 26
y
2
+ 223
u
+ 622
≡
u
3
+ 2
u
– 2
≡
0
(
mod
13) ni hosil qilamiz.
94.
a) (5, 10) = 5 va 7 soni 5 ga bo’linmagshanligi uchun
77
bekrilgan taqqoslama yechimga ega emas. b)
x
≡
7(
mod
13); c)
x
≡
8 (
mod
17); d)
x
≡
9 (
mod
19); e)
x
≡
11 (
mod
58).
94.
a)
x
≡
6(
mod
19); b) yechimi yo’q; c)
x
≡
49
(
mod
153); d)
x
≡
3 (
mod
183); e)
x
≡
47 (
mod
241). f) yechimi yo’q; g)
x
≡
41,
190, 339 (
mod
447); h)
x
≡
61, 248 (
mod
422); i)
x
≡
39, 196, 353 (
mod
471).
95.
a)
yechimi yo’q; b)
x
≡
3, 8, 13, 18, 23 (
mod
25); c)
x
≡
73 (
mod
177); d)
x
≡
29 (
mod
311); e)
x
≡
48 (
mod
219); f)
x
≡
9, 32, 55, 78, 101, 124 (
mod
138); g)
x
≡
11, 28, 45
(
mod
51).
96.
Yechilishi
.
a)
ax
≡
b (mod
21
)
, bu yerda (
a
, 21) = 1,
b
∈
Z
; b)
ax
≡
b
(mod
21
)
taqqoslama yechimga ega bo’lishi uchun, masalan, 3 ta yechimga ega
bo’lishi uchun (
a
, 21) = 3 va
b
soni 3 ga bo’linishi zarur va yetarlidir; s) bunday
taqqoslamani tuzish mumkin emas.
97.
1 iyun.
98.
Yechilishi
. Qo’shib yoziladigan
sonni
x
bilan beliglaymiz, u holda 523
⋅
10
3
+
x
≡
0 (
mod
7
⋅
8
⋅
9), bu yerdan
x
≡
-
523000
≡
-352
≡
152 (
mod
504), yoki
x
= 504
t
+ 152.
x
ning qiymati
t
= 0 va
t
= 1
da uch xonali bo’ladi. Bu yerdan
x
1
= 152,
x
2
= 656.
99.
x
≡
200 (
mod
440), ya’ni
x
≡
200; 640.
100.
x
≡
30 (
mod
31), ya’ni
x
= 30, 61, 42.
101.
a)
x
= 3 + 4
t
,
y
= 1 – 3
t
;
b)
x
= 3 + 13
t
,
y
= -3 + 8
t
; c)
x
= 22 – 37
t
,
y
= - 25 + 43t; d)
x
= 17 + 37
t
,
y
= 20 +
45
t
; e)
x
= 1 + 16
t
,
y
= 1 + 27
t
; f) yechimga ega emas g)
x
= 4 + 17
t
,
y
= -11 – 53
t
;
h)
x
= 47 + 105
t
,
y
= 21 + 47
t
; i) yechimi yo’q; j)
x
= 4 + 16
t
,
y
= 7 – 11
t
; k)
x
= 9
+ 37
t
, e = 3 + 12t; l)
x
=
-
7 + 15
t
,
y
= 12 – 23
t
.
102.
x
= 2 – 4
t
,
y
= 4 + 3
t
.
t
=
0 va
t
= -1 da talab qilingan hosil bo’ladi.
103.
x
= 3 – 5
t
,
y
= 28 + 3
t
.
104.
a)
x
= -4
+ 13
t
, -100 < -4 + 13
t
< 150, -7
≤
t
≤
11; 19 ta nuqta; b) 7 ta nuqta; s) 8 ta nuqta.
105.
Yechilishi
.
5
a
– 9
b
= 31 yoki 5
a
≡
31 (
mod
9), bu shartni qanoatlantiradigan
a
ning eng kichik natural qiymati
a
= 8 dan iborat.
b
ning qiymatini tenglamadan
topamiz:
b
= 1.
106.
Ko’rsatma
.
AV to’g’ri chiziqning burchak koeffisiyenti
2
1
2
1
x
x
y
y
−
−
qisqarmaydigan kasrdan iborat ekanligidan kelib chiqadi,
x
1
=
x
2
bo’lgan hol ko’rinib
turibdi.
107.
Oldingi masalaga asoasan (uchburchakning uchlarini ham hisobga
olganda) izlanayotgapn butun nuqtalar soni (18, 6) + (12, 8) + (6, 14) + 3 = 12 ga
teng.
108.
a) 9
x
≡
1 (
mod
7), bu yerdan
x
= 4 + 7
t
; b)
x
= 13 + 15
t
.
109.
Yechilishi
.
Shartga asosan 15
x
+ 20
u
+ 30
z
= 500 va
x
+
y
+
z
= 18, bu yerdan
y
+ 3
z
= 46,
y
≡
1 (
mod
3) yoki
u
= 1 + 3
t
. Demak, 3
z
= 45 – 3
t
va
z
= 15 –
t
. Bu yerdan
x
+ 16 + 2
t
= 18 yoki
x
= 2 – 2
t
. Faqat
t
= 0 da natural yechimni hosil qilamiz. Demak,
x
= 2,
y
= 1,
z
= 15.
§ 4.
110.
a)
x
≡
49 (
mod
420); b)
x
≡
4126 (
mod
6300); c)
x
≡
85056 (
mod
130169);
d)
x
≡
9573 (
mod
13923); e) yechimi yo’q; f) yechimi yo’q; g) yechimi yo’q; h)
x
≡
17 (
mod
90); i)
x
≡
4 (
mod
105); j)
x
≡
7777777 (
mod
91290457).
111.
x
≡
25 (
mod
60).
112.
299 va 439.
113.
Ko’rsatma.
4
x
≡
9 (
mod
7); 2
x
≡
15 (
mod
9);
5
x
≡
12 (
mod
13) taqqoslamalar sistemasini yechish kerak, bu yerdan
x
≡
291 (
mod
819). Nuqtalarning ordinatalari to’g’ri chiziqlarning berilgan tenglamalaridan kelib
chiqadi.
114.
a)
x
≡
4
a
- 3 (
mod
24), bu yerda
a
≡
1 (
mod
2); b)
x
≡
8 – 3
a
(
mod
24),
bu yerda
a
≡
0 (
mod
2); c)
x
≡
36
a
- 175 (
mod
630), bu yerda
a
≡
1 (
mod
7); d)
x
≡
15
a
+ 21
b
– 35
c
(
mod
105).
115.
a)
a
≡
5 (
mod
6); b)
a
≡
1 (
mod
6); c)
a
≡
0 (
mod
4).
78
116.
Yechilishi
. Shartdan quyidagi sistemani hosil qilamiz:
xyz
138
≡
0 (
mod
7),
138
xyz
≡
6 (
mod
13),
x
1
y
3
z
8
≡
5 (
mod
11). Birinchi taqqoslamani 10
3
xyz
+ 138
≡
0
(
mod
7) ko’rinishda yozib olamiz. U holda 3
xyz
≡
1 (
mod
7), bu yerdan
xyz
≡
5 (
mod
7). Ikkinchi taqqoslama bilan ham xuddi shunday amallarni bajaramiz: 138000 +
xyz
≡
6 (
mod
113), bu yerdan
xyz
≡
1 (
mod
13). Endi
xyz
≡
1 (
mod
13),
xyz
≡
5 (
mod
7)
taqqoslamalar sistemasini
xyz
ga nisbatan yechib,
xyz
≡
40 (
mod
91), yoki
xyz
= 91
t
+
40 ni hosil qilamiz.
t
= 1, 2, 3, ... , 10 da
xyz
= 131, 222, 313, ... , 950 larni topamiz.
Uchinchi taqqoslamani
x
⋅
10
5
+ 10
4
+
u
⋅
10
3
+ 3
⋅
10
2
+
z
⋅
10
+ 8
≡
5 (
mod
11) shaklda
tasvirlab olamiz, soddalashtirishlardan so’ng
x
+
y
+
z
≡
7 (
mod
11)ni hosil qilamiz,
ya’ni
x
+
y
+
z
= 11
t
+ 7. 0 <
x
+
y
+
z
< 27 tengsizlikni e’tiborga olib,
x
+
y
+
z
= 7
va
x
+
y
+
z
= 18 larni hosil qilamiz. U holda 131, 222, 313, ... , 950 sonlar ketma-
ketligidan shartni qanoatlantiradigan 313138 va 495138 sonlarni topamiz.
117.
Ye-
chilishi
.
Shartga asosan 13
xy
45
z
≡
0 (
mod
792), ammo 792 = 8
⋅
9
⋅
11, shuning uchun
quyidagi sistemaga ega bo’lamiz:
13
xy
45
z
≡
0 (
mod
8)
13
xy
45
z
≡
0 (
mod
9)
13
xy
45
z
≡
0 (
mod
11) .
Birinchi taqqoslamadan va 8 ga bo’linish alomatidan 450 +
z
≡
0 (
mod
8) ni
hosil qilamiz, bu yerdan
z
≡
6 (
mod
8).
z
= 6 ni ikkinchi va uchinchi taqqoslamalarga
qo’yib, sistemani hosil qilamiz:
13
xy
456
≡
0 (
mod
9)
13
xy
456
≡
0 (
mod
11)
Bu sistemaning birinchi taqqoslamasidan 9 ga bo’linish alomatiga asosan
x
+
y
+
19
≡
0 (
mod
9), yoki
x
+
y
≡
0 (
mod
9) kelib chiqadi. Ikkinchi taqqoslamani
1300000 +
x
⋅
10
4
+
u
⋅
10
3
+ 456
≡
0 (
mod
11) ko’rinishda tasvirlab olamiz,
soddalashtirishlardan so’ng
x
–
u
≡
8 (
mod
11). U holdaa
x
+
u
= 9
t
1
+ 8
x
–
y
= 11
t
2
+ 8
Bu yerdan
x
= 8 va
u
= 0 ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, izlangan son
1380456 dan iborat.
118.
Yechilishi
.
Izlanayotgan
sonii
x
bilan
belgilaymiz.
U
hol-
da
x
⋅
1000+(
x
+1)=1001
x
+1=
N
2
, yoki (
N
+1)(
N
-1)=7
⋅
11
⋅
13
x
, bu yerdan
(
)(
)
.
13
11
7
1
1
⋅
⋅
−
+
=
N
N
x
Bu tenglikdan
N
va
x
aniqlash uchun quyidagi taqqoslamalar sistemalarini hosil
qilamiz:
1)
N
+1
≡
0 (
mod
7)
N
-1
≡
0 (
mod
143)
Odatdagi usul bilan yechib
N
=573,
N
2
=328329,
x
1
=328 larni topamiz.
2)
N
+1
≡
0 (
mod
143)
N
-1
≡
0 (
mod
7) .
79
Bu yerdan
N
=428,
N
2
=183184,
x
2
=183.
3)
N
+1
≡
0 (
mod
11)
N
-1
≡
0 (
mod
91) .
Bu yerdan
N
=274,
N
2
=075076, ammo
x
=075 ikki xonali son bo’lganligi uchun
yechim emas.
4)
N
+1
≡
0 (
mod
91)
N
-1
≡
0 (
mod
11)
Sistemadan
N
=727,
N
2
=528529,
x
3
=528 larni hosil qilamiz.
5)
N
+1
≡
0 (
mod
13)
N
-1
≡
0 (
mod
77)
N
=155,
N
2
=024025, ammo
x
=025 ikki xonali son bo’lganligi uchun yechim emas.
6)
N
+1
≡
0 (
mod
77)
N
-1
≡
0 (
mod
13)
Bu yerdan
N
=846,
N
2
=715716,
x
4
=715.
119
. Shartdan quyidagi sistemani hosil qilamiz:
x
≡
3 (
mod
7),
x
2
≡
44 (
mod
7
2
),
x
3
≡
111 (
mod
7
3
). Birinchi taqqoslamadan
x
=7
t
+3 ni topamiz.
x
ning bu qiymatini
ikkinchi taqqoslamaga qo’yib, uni
t
ga nisbatan yechamiz: (7
t
+3)
2
=44 (
mod
7
2
),
soddalashtirishlardan so’ng, 42
t
≡
35 (
mod
7
2
). Bu taqqoslamani 7 ga qisqartirib,
6
t
≡
5(
mod
7) ni hosil qilamiz, bu yerdan
t
≡
2 (
mod
7), ya’ni
t
=7
t
1
+2 bo’ladi.
t
ning
topilgan qiymatini
x
=7
t
+3 tenglikka qo’yib,
x
=7(7
t
1
+2)+3=49
t
1
+17 ni hosil qilamiz.
x
ninng oxirgi topilgan qiymatini uchinchi taqqoslamaga qo’yib (49
t
1
+17)
3
≡
111(
mod
7
3
) ni hosil qilamiz. Soddalashtirishlardan so’ng
t
1
≡
0 (
mod
7) ni topamiz, bu yerdan
t
1
=7
t
2
+0.
t
1
bu qiymatini
x
=49
t
1
+17 tenglikka qo’yib, nihoyat
x
≡
(
mod
7
3
) ni topamiz.
120.
a)
x
≡
24 (
mod
28); b)
x
≡
54 (
mod
95); c)
x
≡
39 (
mod
77); d)
x
≡
-9 (
mod
45); e)
yechim yo’q; f)
x
≡±
13
;
±
47 (
mod
85).
121.
(-6,-61), (-1,-1), (1,1), (6,41).
122.
a)
x
≡
y
≡3 (
mod
7); b) yechim yo’q; s) yechim yo’q; d)
x
1
≡0(
mod
12),
y
1
≡
7(
mod
12)
x
2
≡
4
(
mod
12),
y
2
≡
7 (
mod
12);
x
3
≡
8 (
mod
12),
y
3
≡
7 (
mod
12).
123.
a)
x
=
k
+5
n
,
y
=2
k
-2+10
n
,
z
=1-
k
-5
n
, bu yerda
k
=0; 1; 2; 3; 4 va
n
∈ΖΖΖΖ
;
b) Berilgan shartdan
x-u
≡
1 (
mod
3),
x+y
≡
1(
mod
2) sistemaga kelib chiqadi. Birinchi taqqoslamadan
y
≡
x
- 1+3
i
(
mod
6),
bu yerda
i
=0; 1 kelib chiqadi. Bu qiymatni ikkinchi taqqoslamag qo’yib, 2
x
≡
2-3
i
(
mod
2) ni hosil qilamiz, bu yerdan 3
i
≡
0 (
mod
2) va
i
=0 kelib chiqadi. Demak,
x
≡
k
(
mod
6),
y
≡
k
-1 (
mod
6),
k
=0; 1; 2; 3; 4; 5, yoki
x=k
+6
n
,
y=k-
1+6
m
, bu yerda
m, n
∈ ΖΖΖΖ
.
Bu qiymatlarni berilgan sistemaning tenglamalariga qo’yib,
z
=2
n
-2
m
=
k
-
1+3
n
+3
m
ni hosil qilamiz, bu yerdan
n
=1-
k
-5
m
. Shunday qilib, berilgan tenglamalar
sistemasining yechimlari
z
=6-5
k
-30
m
,
y
=
k
-1+6
m
,
x
=2-2
k
-12
m
lardan iborat, bu yerda
k
=0; 1; 2; 3; 4; 5 va
m
∈
ΖΖΖΖ
.
124.
Ko’rsatma
. Masalani quyidagi taqqoslamalar
sistemasini bilan yechish mumkin:
3
x
–
u
+ 1
≡
0 (
mod
7)
x
≡
3 (
mod
7)
2
x
+ 3
y
– 1
≡
0 (
mod
7), bu yerdan
u
≡
5 (
mod
7).
80
MUNDARIJA
I-bob. BUTUN SONLAR XALQASIDA BO’LINISH NAZARIYASI
1-§. Butun sonlarning bo’linishi
2-§. Eng katta umumiy bo’luvchi va eng kichik umumiy
bo’linuvchi
3-§. Tub va murakkab sonlar
4-§. Chekli uzluksiz kasrlar
5-§. Sonli funksiyalar
II-bob. BUTUN SONLAR XALQASIDA TAQQOSLAMALAR NAZARIYASI
§ 1. Taqqoslama tushunchasi va uning xossalari
§ 2. Chegirmalar sinflari. Eyler va Ferma teoremalari
§ 3. Bir noma’lumli algebraik taqqoslamalar. Birinchi darajali taqqoslamalar.
§ 4. Birinchi darajali taqqoslamalar sistemalari
Dostları ilə paylaş: |