Taqrizchilar
: fizika-matematika fanlari doktori,
professor Ikromov
I.A.
fizika-matematika fanlari nomzodi,
dotsent Yaxshiboyev
M.Y.
3
I-BOB
BUTUN SONLAR XALQASIDA BO’LINISH NAZARIYASI
Tayanch iboralar
:
bo’linma; bo’luvchi; qoldiqli bo’lish haqidagi teorema;
to’liqmas bo’linma; qoldiq; umumiy bo’luvchi; eng katta umumiy bo’luvchi; juft-juft
tub sonlar; umumiy karrali; eng kichik umumiy bo’linuvchi; Yevklid algoritmi; mu-
rakkab son; Eratosfen g’alviri; arifmetikaning asosiy teoremasi; kanonik yoyilma;
chekli uzluksiz kasrlar; aniq bo’linmalar; munosib kasrlar; butun qism; kasr qism;
antye funksiya; Eyler funksiyasi; Myobius funksiyasi.
1-§. Butun sonlarning bo’linishi
Agar shunday
q
butun son mavjud bo’lib,
a
=
bq
tenglik o’rinli bo’lsa,
a
bu-
tun son
b
butun songa (
b
≠
0) bo’linadi yoki
b
son
a
sonni bo’ladi deyiladi. Bu yerda
q
bo’linma,
b
bo’luvchi,
a
bo’linuvchi deb ataladi.
a
sonning
b
songa bo’linishini
b|a
shaklda belgilanadi, agar
a
son
b
songa bo’linmasa, uni
b
a
bilan belgilaymiz.
Bo’linish xossalari
:
a
) bo’linish refleksiv, ya’ni
a
|
a
;
b
) bo’linish tranzitiv, ya’ni agar
b|a
va
c|b
bo’lsa, u holda
c|a
;
c
)
c|a
dan ixtiyoriy butun
b
son uchun
c|ab
o’rinli;
d
)
c|a
va
c|b
dan ixtiyoriy butun
x
va
y
sonlar uchun
c|ax+by
o’rinli (masalan,
c|a
±
b
). Bu xossa ikkidan ko’p sonlar uchun ham o’rinli;
e
)
b|a
va
a|b
bo’lsa,
a
=
±
b
;
f
)
b|a
,
a
> 0,
b
> 0 dan
b
≤
a
kelib chiqadi.
Qoldiqli bo’lish haqidagi teorema: a
– butun son,
b
– butun musbat son bo’lsin.
a
son hamma vaqt
b
songa bo’linmaydi, lekin hamma vaqt
a
son b songa qoldiqli
bo’linadi
, ya’ni shunday yagona butun
q
va
r
sonlar topiladiki, ular uchun
a = bq + r, 0
≤
r < b
tenglik o’rinli bo’ladi, bu yerda
q - to’liqmas bo’linma
,
r -
soni
a
ni
b
ga bo’lgandagi
qoldiq
deyiladi
.
1-m i s o l.
a
sonni 13 ga bo’lganda to’liqmas bo’linma 17 ga teng bo’lsa,
a
ning eng katta qiymatini toping.
Yechish.
Masala shartiga ko’ra,
a
= 13
⋅
17+
r
, 0
≤
r
< 13. Demak,
r
= 12
bo’lganda
a
eng katta qiymatga erishadi, ya’ni 13
⋅
17 + 12 = 233.
g
2-m i s o l. Bo’linuvchi 371, to’liqmas bo’linma 14 ga teng bo’lsa, bo’luvchi va
unga mos qoldiqlarni toping.
Yechish.
Masala shartiga ko’ra, 371 =
b
⋅
14 +
r
, 0
≤
r
<
b
, bundan 14
b
< 371,
b
≤
26. Boshqa tomondan 15
b
> 371, bundan
b
> 24. Demak,
b
=25; 26 va
r =
21; 7
bo’ladi.
g
3-m i s o l.
a
sonni
b
songa bo’lganda bo’linma
q
va nolmas qoldiq
r
ga teng.
a
ni qanday natural
n
songa ko’paytirganda bo’linma
n
marta ortadi?
4
Yechish. an = bqn + rn
dan
rn < b
va
r
b
n
<
.
g
4-m i s o l. Uchta ketma-ket natural sonlardan bittasi 3 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish.
Natural sonni 3
k
, 3
k
+ 1, 3
k
+ 2 sonlarning bittasi shaklida ifodalash
mumkin. Agar
n = 3k
bo’lsa, u holda
3|n
; agar
n =
3
k +
1 bo’lsa, u holda 3
|n
+ 2;
agar
n
= 3
k
+ 2 bo’lsa, u holda 3
|n
+1.
g
5-m i s o l. Agar besh xonali son 41 ga bo’linsa, shu sonni tashkil qilgan raqam-
larni aylanma almashtirish yordamida hosil bo’lgan har qanday sonning 41 ga
bo’linishini isbotlang.
Yechish.
Besh xonali son N=10
4
a+10
3
b+10
2
s+10d+e bo’lsin va u 41 ga
bo’linsin. Raqamlarni aylanma almashtirishdan (chapga bir raqamga) quyidagi sonni
hosil qilamiz:
N
1
=10
4
b + 10
3
c + 10
2
d + 10 e + a =
10(10
4
a + 10
3
b + 10
2
c + 10 d + e) - 10
5
a + a = 10N – 99999 a.
41
|
N va 41
|
99999 dan 41
|
N
1
kelib chiqadi.
g
6-m i s o l.
,...)
3
,
2
(
1
2
2
=
+
n
n
ko’rinishdagi barcha sonlar 7 raqam bilan tu-
gashini isbotlang.
Yechish.
17
1
2
2
2
=
+
. Agar
,
7
10
1
2
2
+
=
+
q
n
bo’lsa, u holda
(
)
(
)
.
7
10
1
6
10
1
6
10
1
2
1
2
2
2
2
2
1
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+
+
Q
Q
q
n
n
g
7-m i s o l. 7
⋅
11
⋅
13=1001 ni bilgan holda 7, 11, 13 ga umumiy bo’linish alo-
matini keltirib chiqaring. Bu alomatni 368312 ga qo’llang.
Yechish.
N = 1000
q
+
r
= 1001
q
+
r
–
q
dan
N
son 7, 11 va 13 ga bo’linishi
uchun shu sondan uning 1000 ga bo’linganida hosil bo’lgan qoldiqdan ayirmasi 7,
11 yoki 13 ga bo’linishi zarur va yetarligi kelib chiqadi, ya’ni
)
1
(
13
11
7
q
−
⋅
⋅
. Agar
N
= 368312 bo’lsa, yuqorida keltirilgan ayirma 368 – 312 = 56.
56 faqat 7 ga bo’linganligi sababli 368312 7 ga bo’linadi, lekin 11 va 13 ga
bo’linmaydi.
g
8-m i s o l. To’rtta ketma-ket joylashgan butun sonlar ko’paytmasiga bir
qo’shilganda to’liq kvadrat hosil bo’lishini isbotlang.
Yechish. n
– 1,
n
,
n
+ 1,
n
+ 2
–
to’rtta ketma-ket keladigan butun sonlar
bo’lsin. U holda
(
) (
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
1
−
+
=
+
+
+
−
=
+
+
+
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
g
9-m i s o l. 11
10
– 1 sonni 100 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish.
Nyuton binomini qo’llaymiz:
(
)
10
3
3
10
2
2
10
1
10
10
10
...
10
10
10
1
10
1
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
+
С
С
С
.
Bundan
(
)
10
3
3
10
2
2
10
10
10
....
10
10
10
10
1
10
1
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−
+
С
С
har bir qo’shiluvchi 100 ga bo’linadi.
g
10-m i s o l. Har bir butun
n
uchun
n
5
– n
son 5 ga bo’linishi isbotlang.
5
Yechish. n
5
– n = n
(
n
2
-
1)(
n
2
+
1). Butun sonni 5 ga bo’lganda qoldiqlar 0, 1, 2,
3, 4 bo’ladi va bundan butun son 5
k
, 5
k
+ 1, 5
k
+ 2, 5
k
+ 3, 5
k
+ 4, ko’rinishdan biri-
ga teng bo’lishi kelib chiqadi.
Agar
n
= 5
k
bo’lsa,
n
son 5 ga bo’linadi; agar
n =
5
k +
2 yoki
n =
5
k + 3
bo’lsa, (
n
2
+
1) son 5 ga bo’linadi; agar
n =
5
k +
1 yoki
n =
5
k + 4
bo’lsa,
(n
2
-
1
)
5 ga bo’linadi.
g
11-m i s o l. Raqamlar yig’indisi bir xil bo’lgan ikki son ayirmasi 9 ga
bo’linishini isbotlang.
Yechish.
_
__________
0
1
1
...
a
a
a
N
n
=
va
_
__________
0
1
1
...
b
b
b
N
m
=
bo’lsin.
∑
=
+
=
n
i
i
a
Q
N
0
1
1
9
va
∑
=
+
=
m
j
j
b
Q
N
0
2
2
9
dan shartga ko’ra,
∑
∑
=
j
i
b
a
, demak,
(
)
.
9
2
1
2
1
Q
Q
N
N
−
=
−
g
12-m i s o l. Ketma-ket kelgan to’rtta raqam birin-ketin yozilgan bo’lib, dast-
labki ikkita raqam o’rni almashtirilgandan so’ng to’la kvadrat bo’lgan to’rt xonali
son hosil qilingan. Shu sonni toping.
Yechish.
Masala shartiga ko’ra,
N
2
=
1000(
x +
1)
+
100
x +
10(
x +
2) + (
x +
3)
=
11(101
x+
93).
Bundan
N =
11
⋅
k
va
N
to’la kvadrat bo’lganligidan 11
k
2
= 101
x
+ 93, ya’ni
.
11
5
2
8
9
11
93
101
2
+
+
+
=
+
=
x
x
x
k
Bu yerdan
x =
3 kelib chiqadi
.
Demak,
N
=
11(101
⋅
3 + 93) = 4356 = 66
2
.
g
M A S H Q L A R
1
. Agar bo’linuvchi va bo’linma berilgan bo’lsa, bo’luvchi va qoldiqni toping:
a
) 25 va 3;
b
) – 30 va – 4.
2*
. Isbotlang:
a
) toq natural sonning kvadratini 8 ga bo’lganda 1 qoldiq qoladi;
b
) ketma-ket ikki natural son kvadratlari yig’indisini 4 ga bo’lganda 1 qoldiq
qoladi.
3*
. 15 soni har qanday natural darajaga ko’tarilib, 7 ga bo’linsa 1 qoldiq qol-
ishini isbotlang.
4*
. Agar
mn + pq
m – p
ga bo’linsa, u holda
mq + np
ham
m – p
ga
bo’linishini ko’rsating, bu yerda
m, n, p, q
∈
Z
.
5*
.
a, b, c, d, n
– butun sonlar. a
d – bc, a – b
sonlar
n
ga bo’linadi va
b,
n
sonlar birdan farqli natural bo’luvchilarga ega emas.
c – d
ni
n
ga bo’linishini isbot-
lang.
6.
Ixtiyoriy butun
n
son uchun isbotlang:
a
)
n
3
– n
son 3 ga bo’linadi;
b
)
n
7
– n
son 7 ga bo’linadi;
c*
)
n
n
−
5
son 30 ga bo’linadi.
6
7*
. Olti raqamli son 5 bilan tugaydi, agar bu sonni chap tomonga birinchi
o’ringa o’tkazsak, u holda berilgan sondan 4 marta katta son hosil bo’ladi. Shu sonni
toping.
8*
.
n
(
n+
1)(2
n+
1)
(
n
∈
Dostları ilə paylaş: |