Sonlar nazariyasi

 
 
Taqrizchilar 
: fizika-matematika fanlari doktori,
professor Ikromov
I.A. 
 
 
fizika-matematika fanlari nomzodi,
dotsent Yaxshiboyev
M.Y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

3 
I-BOB 
BUTUN SONLAR XALQASIDA BO’LINISH NAZARIYASI 
 
Tayanch iboralar
:
bo’linma; bo’luvchi; qoldiqli bo’lish haqidagi teorema; 
to’liqmas bo’linma; qoldiq; umumiy bo’luvchi; eng katta umumiy bo’luvchi; juft-juft 
tub sonlar; umumiy karrali; eng kichik umumiy bo’linuvchi; Yevklid algoritmi; mu-
rakkab son; Eratosfen g’alviri; arifmetikaning asosiy teoremasi; kanonik yoyilma; 
chekli uzluksiz kasrlar; aniq bo’linmalar; munosib kasrlar; butun qism; kasr qism; 
antye funksiya; Eyler funksiyasi; Myobius funksiyasi. 
 
1-§. Butun sonlarning bo’linishi 
 
Agar shunday 
q
butun son mavjud bo’lib, 
a 
=
 bq
tenglik o’rinli bo’lsa, 
 a
bu-
tun son 
 b
butun songa (
b
≠
0) bo’linadi yoki 
b 
son 
a
sonni bo’ladi deyiladi. Bu yerda
q
bo’linma,
b
bo’luvchi,
a 
bo’linuvchi deb ataladi.
a
sonning
b
songa bo’linishini 
b|a
shaklda belgilanadi, agar 
a 
son 
b
songa bo’linmasa, uni 
b

a 
bilan belgilaymiz.
Bo’linish xossalari
:
a
) bo’linish refleksiv, ya’ni 
a
|
a
;
b
) bo’linish tranzitiv, ya’ni agar 
b|a
va 
c|b
bo’lsa, u holda 
c|a
; 
c
) 
c|a
dan ixtiyoriy butun 
b
son uchun 
c|ab
o’rinli; 
d
) 
c|a
va 
c|b
dan ixtiyoriy butun 
x
va 
y
sonlar uchun
c|ax+by
o’rinli (masalan, 
c|a
±
b
). Bu xossa ikkidan ko’p sonlar uchun ham o’rinli; 
e
) 
b|a
va 
a|b
bo’lsa, 
a 
= 
±
b
; 
 f
) 
b|a
, 
a 
> 0, 
b 
> 0 dan 
b 
≤
a
kelib chiqadi. 
Qoldiqli bo’lish haqidagi teorema: a
– butun son, 
b 
– butun musbat son bo’lsin. 
a
son hamma vaqt 
b
songa bo’linmaydi, lekin hamma vaqt
a
 
son b songa qoldiqli 
bo’linadi
, ya’ni shunday yagona butun 
q
va 
r 
sonlar topiladiki, ular uchun
a = bq + r, 0 
≤
r < b
tenglik o’rinli bo’ladi, bu yerda 
q - to’liqmas bo’linma
, 
r -
soni 
a
ni 
b
ga bo’lgandagi 
qoldiq
deyiladi
. 
1-m i s o l. 
a
sonni 13 ga bo’lganda to’liqmas bo’linma 17 ga teng bo’lsa, 
a
ning eng katta qiymatini toping. 
Yechish. 
Masala shartiga ko’ra, 
a
= 13
⋅
17+
r
, 0 
≤
r 
< 13. Demak, 
r 
= 12
bo’lganda 
 a
eng katta qiymatga erishadi, ya’ni 13
⋅
17 + 12 = 233. 
g
2-m i s o l. Bo’linuvchi 371, to’liqmas bo’linma 14 ga teng bo’lsa, bo’luvchi va 
unga mos qoldiqlarni toping.
Yechish.
Masala shartiga ko’ra, 371 = 
b
⋅
14 + 
r
, 0 
≤
r 
< 
b
, bundan 14
b 
< 371, 
b 
≤
26. Boshqa tomondan 15
b 
> 371, bundan 
b 
> 24. Demak, 
b
=25; 26 va 
r = 
21; 7 
bo’ladi. 
g
3-m i s o l. 
a
sonni 
b
songa bo’lganda bo’linma 
q 
va nolmas qoldiq
r
ga teng.
a
ni qanday natural
n
songa ko’paytirganda bo’linma
n
marta ortadi? 

---

4 
Yechish. an = bqn + rn
dan 
rn < b
va 
r
b
n
<
. 
g
4-m i s o l. Uchta ketma-ket natural sonlardan bittasi 3 ga bo’linishini isbotlang. 
Yechish. 
Natural sonni 3
k
, 3
k 
+ 1, 3
k 
+ 2 sonlarning bittasi shaklida ifodalash 
mumkin. Agar
n = 3k
bo’lsa, u holda 
3|n
; agar
n = 
3
k + 
1 bo’lsa, u holda 3
|n 
+ 2; 
agar
n 
= 3
k 
+ 2 bo’lsa, u holda 3
|n
+1. 
g
5-m i s o l. Agar besh xonali son 41 ga bo’linsa, shu sonni tashkil qilgan raqam-
larni aylanma almashtirish yordamida hosil bo’lgan har qanday sonning 41 ga 
bo’linishini isbotlang. 
Yechish. 
Besh xonali son N=10
4
a+10
3
b+10
2
s+10d+e bo’lsin va u 41 ga 
bo’linsin. Raqamlarni aylanma almashtirishdan (chapga bir raqamga) quyidagi sonni 
hosil qilamiz: 
N
1
=10
4 
b + 10
3 
c + 10
2 
d + 10 e + a = 
10(10
4 
a + 10
3 
b + 10
2 
c + 10 d + e) - 10
5 
a + a = 10N – 99999 a. 
41
|
N va 41
|
99999 dan 41
|
N
1
kelib chiqadi. 
g
6-m i s o l. 
,...)
3
,
2
(
1
2
2
=
+
n
n
ko’rinishdagi barcha sonlar 7 raqam bilan tu-
gashini isbotlang.
 
Yechish. 
17
1
2
2
2
=
+
. Agar 
,
7
10
1
2
2
+
=
+
q
n
bo’lsa, u holda
(
)
(
)
.
7
10
1
6
10
1
6
10
1
2
1
2
2
2
2
2
1
+
=
+
+
=
+
+
=
+






=
+
+
Q
Q
q
n
n
g
7-m i s o l. 7
⋅
11
⋅
13=1001 ni bilgan holda 7, 11, 13 ga umumiy bo’linish alo-
matini keltirib chiqaring. Bu alomatni 368312 ga qo’llang. 
Yechish. 
N = 1000
q
+ 
r
= 1001
q 
+ 
r
– 
q
dan 
N
son 7, 11 va 13 ga bo’linishi 
uchun shu sondan uning 1000 ga bo’linganida hosil bo’lgan qoldiqdan ayirmasi 7, 
11 yoki 13 ga bo’linishi zarur va yetarligi kelib chiqadi, ya’ni 
)
1
(
13
11
7
q
−
⋅
⋅
. Agar
N 
= 368312 bo’lsa, yuqorida keltirilgan ayirma 368 – 312 = 56.
56 faqat 7 ga bo’linganligi sababli 368312 7 ga bo’linadi, lekin 11 va 13 ga 
bo’linmaydi. 
g
8-m i s o l. To’rtta ketma-ket joylashgan butun sonlar ko’paytmasiga bir 
qo’shilganda to’liq kvadrat hosil bo’lishini isbotlang. 
Yechish. n 
– 1, 
n
, 
n 
+ 1, 
n 
+ 2 
–
to’rtta ketma-ket keladigan butun sonlar 
bo’lsin. U holda 
(
) (
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
1
−
+
=
+
+
+
−
=
+
+
+
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
g
9-m i s o l. 11
10
– 1 sonni 100 ga bo’linishini isbotlang. 
Yechish. 
Nyuton binomini qo’llaymiz:
(
)
10
3
3
10
2
2
10
1
10
10
10
...
10
10
10
1
10
1
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
+
С
С
С
. 
Bundan
(
)
10
3
3
10
2
2
10
10
10
....
10
10
10
10
1
10
1
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−
+
С
С
har bir qo’shiluvchi 100 ga bo’linadi. 
g
10-m i s o l. Har bir butun 
n
uchun
n
5
 – n
son 5 ga bo’linishi isbotlang. 

---

5 
Yechish. n
5 
– n = n
(
n
2
-
1)(
n
2
+
1). Butun sonni 5 ga bo’lganda qoldiqlar 0, 1, 2, 
3, 4 bo’ladi va bundan butun son 5
k
, 5
k 
+ 1, 5
k 
+ 2, 5
k 
+ 3, 5
k 
+ 4, ko’rinishdan biri-
ga teng bo’lishi kelib chiqadi. 
Agar
n 
= 5
k
bo’lsa,
n
son 5 ga bo’linadi; agar
n = 
5
k + 
2 yoki
n = 
5
k + 3
bo’lsa, (
n
2 
+ 
1) son 5 ga bo’linadi; agar
n = 
5
k + 
1 yoki
n = 
5
k + 4
bo’lsa, 
(n
2
-
1
)
5 ga bo’linadi. 
g
11-m i s o l. Raqamlar yig’indisi bir xil bo’lgan ikki son ayirmasi 9 ga 
bo’linishini isbotlang. 
Yechish. 
_
__________
0
1
1
...
a
a
a
N
n
=
va 
_
__________
0
1
1
...
b
b
b
N
m
=
bo’lsin.
∑
=
+
=
n
i
i
a
Q
N
0
1
1
9
va
∑
=
+
=
m
j
j
b
Q
N
0
2
2
9
dan shartga ko’ra, 
∑
∑
=
j
i
b
a
, demak, 
(
)
.
9
2
1
2
1
Q
Q
N
N
−
=
−
g
12-m i s o l. Ketma-ket kelgan to’rtta raqam birin-ketin yozilgan bo’lib, dast-
labki ikkita raqam o’rni almashtirilgandan so’ng to’la kvadrat bo’lgan to’rt xonali 
son hosil qilingan. Shu sonni toping. 
Yechish. 
Masala shartiga ko’ra, 
N 
2 
= 
1000(
x + 
1) 
+ 
100
x + 
10(
x + 
2) + (
x + 
3) 
= 
11(101 
x+ 
93). 
Bundan
N = 
11
⋅
k
va
N 
to’la kvadrat bo’lganligidan 11
k
2 
= 101
x 
+ 93, ya’ni 
.
11
5
2
8
9
11
93
101
2
+
+
+
=
+
=
x
x
x
k
Bu yerdan 
x = 
3 kelib chiqadi
. 
Demak, 
N 
=
11(101
⋅
3 + 93) = 4356 = 66
2
. 
g
 
M A S H Q L A R 
1
. Agar bo’linuvchi va bo’linma berilgan bo’lsa, bo’luvchi va qoldiqni toping: 
a
) 25 va 3; 
b
) – 30 va – 4. 
2*
. Isbotlang:

a
) toq natural sonning kvadratini 8 ga bo’lganda 1 qoldiq qoladi; 
b
) ketma-ket ikki natural son kvadratlari yig’indisini 4 ga bo’lganda 1 qoldiq 
qoladi. 
3*
. 15 soni har qanday natural darajaga ko’tarilib, 7 ga bo’linsa 1 qoldiq qol-
ishini isbotlang. 
4*
. Agar
mn + pq
m – p
ga bo’linsa, u holda
mq + np 
ham
m – p
ga 
bo’linishini ko’rsating, bu yerda 
m, n, p, q 
∈
 
Z
. 
5*
. 
a, b, c, d, n
– butun sonlar. a
d – bc, a – b
sonlar
n
ga bo’linadi va 
b,
n
sonlar birdan farqli natural bo’luvchilarga ega emas. 
c – d
ni
n
ga bo’linishini isbot-
lang. 
6.
Ixtiyoriy butun
n 
son uchun isbotlang: 
a
) 
n
3
 – n
son 3 ga bo’linadi; 
b
)
n
7
 – n
son 7 ga bo’linadi;
c*
)
n
n
−
5
son 30 ga bo’linadi. 

---

6 
7*
. Olti raqamli son 5 bilan tugaydi, agar bu sonni chap tomonga birinchi 
o’ringa o’tkazsak, u holda berilgan sondan 4 marta katta son hosil bo’ladi. Shu sonni 
toping. 
8*
. 
n
(
n+
1)(2
n+
1)
 
(
n
∈