Sonlar nazariyasi

M A S H Q L A R 
55. 
Kasrlarni uzluksiz kasrlarga yoying: 
.
113
355
)
;
170
99
)
;
33102
103993
)
;
71828
,
2
)
d
c
b
a
56. 
Kasrlarni uzluksiz kasrlarga yoying: 
.
33102
103993
)
;
100
333
)
;
187
77
)
;
74
247
)
d
c
b
a
57. 
Uzluksiz kasrlarga yoyilmasidan foydalanib kasrlarni qiqartiring:
3107
3653
)
;
32671
10027
)
;
2147
6821
)
;
1241
6059
)
;
871
3953
)
e
d
c
b
a
58. 
Berilgan kasrni uzluksiz kasrga yoying va uni 
4
4
Q
P
kasr bilan almashtiring. 
Almashtirish xatosini toping va xatosi ko’rsatilgan holda taqribiy almashtirishga mos 
tengligini yozing: 

---

19 
359
571
)
;
385
648
)
;
37
29
)
c
b
a
. 
59. 
Ko’rsatilgan chekli uzluksiz kasrlarga mos oddiy qisqarmaydigan kasrlarni 
toping: 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
7
,
1
,
1
,
2
,
2
,
2
,
13
,
0
)
;
2
,
4
,
5
,
1
,
3
,
2
)
;
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
)
;
5
,
2
,
6
,
1
,
2
,
1
,
1
,
2
)
;
5
,
1
,
1
,
1
,
3
,
4
,
2
,
3
,
1
)
;
4
,
3
,
2
,
1
,
1
)
;
4
,
1
,
3
,
2
)
=
−
=
=
=
=
=
=
b
a
g
b
a
f
b
a
e
b
a
d
b
a
c
b
a
b
b
a
a
60. 
Tenglamani yeching: 
(
)
(
)
7
19
,
2
,
1
,
2
)
;
30
73
4
,
3
,
2
,
)
=
=
x
b
x
a
. 
61. 
Diofant tenglamalarini yeching: 
a
) 41x + 114y = 5;
b
) 19x – 15y = 1;
c
) 23x – 17y = 11;
d
) 53x – 47y = 11;
e
) 35x – 18y = 3;
f
) 85x – 71y = 5;
g
) 41x – 11y = 7. 
5-§. Sonli funksiyalar 
 
1.
S o n n i n g b u t u n q i s m i
x
sonning 
butun qismi
, ya’ni [
x
] qo’sh tengsizlik bilan 
[ ]
[ ]
1
+
≤
≤
x
x
x
yoki
[ ]
x
x
x
≤
<
−
1
; yoki
[ ]
1
0
,
≤
≤
+
=
α
α
x
x
tenglik bilan aniqlanadi va
ant’ye funksiya
 
deyiladi. 
Agar
x
1
va
x
2
sonlardan birortasi butun bo’lsa,
[
x
1
+ 
x
2
] = [
x
1
] + [
x
2
] 
o’rinli bo’ladi. 
[ ]




=




m
x
m
x
o’rinli bo’ladi. 
m
! ko’paytmaning kanonik yoyilmasiga 
p
tub son






+
+






+






S
p
m
p
m
p
m
...
2
darajada keladi, bu yerda 
S
son 
1
+
<
≤
S
S
p
m
p
tengsizlikdan aniqlanadi. 
1-m i s o l.
181
90
cos
2
3
π
−
sonning butun qismini toping. 
 Yechish. a
∈
Z
va
x 
kasr son uchun [
a – x
] = 
a 
+ [-
x
] formula o’rinli. Bu 
formulani qo’llab 

---

20 
( )
2
1
3
181
90
cos
2
3
181
90
cos
2
3
=
−
+
=




−
+
=




−
π
π
ni hosil qilamiz. 
g
2-m i s o l. 




+
n
y
x
ni 




+




n
y
n
x
yoki 
1
+




+




n
y
n
x
ga tengligini isbotlang.
Yechish. 
β
α
+




+
+




=
+
n
y
n
x
n
y
x
bo’lib, bu yerda 
1
0
,
1
0
<
≤
<
≤
β
α
. Demak,
[
]
β
α
+
+




+




=




+
n
y
n
x
n
y
x
. 
2
0
<
+
≤
β
α
bo’lganligi sababli
[
]
β
α
+
0 yoki 1 ga teng bo’ladi. 
g
n
dan katta bo’lmagan va 
p
1
, p
2
,..., p
k
tub sonlar bilan o’zaro tub bo’lgan sonlar 
sonini quyidagi formula bilan hisoblash mumkin: 
(
)
[ ]
( )
.
....
1
....
....
....
....
,...,
,
;
2
1
1
2
3
2
1
1
2
1
1
2
1






−
+
+






−
−






−






+
+
+






+






−
−






−
=
−
−
−
k
k
k
k
k
k
k
k
k
p
p
p
n
p
p
p
n
p
p
p
n
p
p
n
p
p
n
p
n
p
n
n
p
p
p
n
B
3-m i s o l. 180 dan katta bo’lsagan va 5, 7, 11 larga bo’linmaydigan sonlar so-
nini toping. 
 Yechish. n
= 180 va 
p
1
= 5,
 p
2
= 7, 
p
3
= 11 lar uchun 
(
)
[ ]
+




⋅
+




⋅
+




−




−




−
=
11
5
180
7
5
180
11
180
7
180
5
180
180
11
,
7
,
5
;
180
B
113
0
2
3
5
16
25
36
180
11
7
5
180
11
7
180
=
−
+
+
+
−
−
−
=




⋅
⋅
−




⋅
+
.
g
4-m i s o l. 2002! son nechta 0 bilan tugaydi.
 Yechish. 
Misol yechimi 2002! Ning kanoniy yoyilmasiga 5 nechanchi daraja 
bilan kirishini aniqlash masalasiga keltiriladi: 
.
499
0
3
16
80
400
3125
2002
625
2002
125
2002
25
2002
5
2002
=
+
+
+
+
=
=




+




+




+




+




Demak, 2002! son 499 ta 0 bilan tugaydi. 
g
5-m i s o l. (2
m
)!! ning kanonik yoyilmasiga 
p
tub son nechanchi darajada kiri-
shini aniqlang. 
Yechish. 
(2
m
)!! = 
m
! 2
m
bo’lganligi sababli 
p
= 2 ga teng bo’lsa,

---

21 
∑
=
+
<
≤




+
k
i
k
k
i
m
m
m
1
1
2
2
,
2
. 
p
> 2 bo’lsa,
∑
=
+
<
≤






s
i
s
s
i
p
m
p
p
m
1
1
,
ga teng bo’ladi. 
g
2. H a q i q i y s o n n i n g k a s r q i s m i 
Haqiqiy 
x
sonning kasr qismi {
x
} quyidagi formula bilan aniqlanadi: {
x
} = 
x
– 
[
x
]. 
6-m i s o l. {-4,35} ni toping. 
Yechish. 
{-4,35} = –4,35 – (–5) = 0,65. 
g
3. N a t u r a l s o n n i n g b o’ l u v ch i l a r
s o n i v a u l a r y i g’ i n d i s i 
Ixtiyoriy natural
a
son uchun
τ
(
a
) va
S
(
a
) funksiyalar mos ravishda
a
son-
ning natural bo’luvchilari soni va ularni yig’indisini ifodalaydi. Bu funksiyalar uchun 
quyidagi formulalar o’rinli: 
( ) (
)(
) (
)
(
)
( )
∏
∏
=
+
+
+
+
=
−
−
=
−
−
−
−
⋅
−
−
=
+
=
+
+
+
=
n
i
i
i
n
n
n
i
i
n
p
p
p
p
p
p
p
p
a
S
a
i
n
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
,
1
1
1
1
....
1
1
1
1
1
1
.....
1
1
2
1
α
α
α
α
α
α
α
α
τ
bu yerda 
−
∏
=
=
=
n
i
i
i
n
n
p
p
p
p
a
1
2
2
1
1
...
α
α
α
α
a
sonning kanonik yoyilmasi. 
Bu funksiyalar multiplikativ, ya’ni agar (
a,b
) = 1 lar uchun
τ
(
ab
) = 
τ
(
a
) 
τ
(
b
) va S (
ab
) = S(
a
)S(
b
)
o’rinli. 
7-m i s o l. 2002 sonni bo’luvchilar soni va ularni yig’indisini toping.
 
 Yechish. 
2002 = 2 
⋅
7 
⋅
11 
⋅
13, bundan 
(
) ( )( )( )( )
,
16
1
1
1
1
1
1
1
1
2002
=
+
+
+
+
=
τ
(
)
4032
14
12
8
3
1
13
1
13
1
11
1
11
1
7
1
7
1
2
1
2
2002
1
1
1
1
1
1
1
1
=
⋅
⋅
⋅
=
−
−
⋅
−
−
⋅
−
−
⋅
−
−
=
+
+
+
+
S
. 
g
8-m i s o l. 2002 sonni barcha bo’luvchilarini toping. 
 Yechish. 
2002=2
⋅
7
⋅
11
⋅
13 – kanonik yoyilmasidan foydalanamiz: 
(1+2)(1+7)(1+11)(1+13)=1+2+7+11+13+14+22+26+77+91+143+154+182+286+100
1+2001 – 2002 ning barcha bo’luvchilari yig’indisi va demak har bir qo’shiluvchi iz-
lanayotgan bo’linmalarni beradi. 
g

---

22 
9-m i s o l. Natural 
a
sonning barcha natural bo’luvchilarining ko’paytmasi 
funksiyasi 
δ
(
a
) bo’lsa,
( )
( )
a
a
a
τ
δ
=
tenglik to’g’riligini isbotlang. 
 
 Yechish. d
1
, d
2
,..., d
τ
(a)
–
a
sonning barcha natural bo’luvchilari bo’lsin. U holda 
( )
( )
( )
∏
=
=
=
a
i
а
i
d
d
d
d
a
τ
τ
δ
1
2
1
...
. 
( )
−
a
d
a
d
a
d
a
τ
,...,
,
2
1
sonlar 
a
ning bo’luvchilaridir, bundan 
( )
( )
( )
( )
.
1
1
1
∏
∏
=
=
=
=
a
i
i
a
i
a
i
d
a
d
a
a
τ
τ
τ
δ
δ
(
a
)
 
uchun hosil bo’lgan tengliklarni ko’paytirib 
( )
( )
a
a
a
τ
δ
=
2
ni hosil qilamiz, 
bundan 
( )
( )
a
a
a
τ
δ
=
. 
g
10-m i s o l. 2002 sonining barcha natural bo’luvchilari ko’paytmasini toping. 
Yechish. 
(
)
8
16
2002
2002
2002
=
=
δ
. 
g
11-m i s o l. Barcha natural bo’luvchilari ko’paytmasi 5832 ga teng bo’lgan 
natural sonni toping. 
Yechish. 
( )
6
3
3
2
5832
⋅
=
=
a
a
τ
, 
bundan 
y
x
a
3
2
⋅
=
va
(
)(
)
(
)(
)



=
+
+
=
+
+
.
12
1
1
6
1
1
y
x
y
y
x
x
Bu sistemaning yechimi: 
x
= 1,
y
= 2. Demak, 
a
= 18. 
g
12-m i s o l. 3 va 4 ga bo’linadigan va 14 ta bo’luvchiga ega bo’lgan sonni 
toping. 
Yechish. 
Misol shartiga ko’ra, 
τ
(a) = 14 = 2
⋅
7 == (1+1)(6+1),
demak, 
,
2
2
1
1
α
α
p
p
a
=
ya’ni 
2
1
3
2
а
a
⋅
=
α
, bu yerda 
.
1
,
2
2
1
≥
≥
α
α
Demak, 
a
= 2
6
⋅
3 = 192. 
g
3. B e r i l g a n m u s b a t s o n d a n k a t t a
b o’ l m a g a n t u b s o n l a r s o n i
π
(
x
) barcha natural 
x
lar uchun aniqlangan bo’lib, natural sonlar qatorida 
x
dan 
katta bo’lmagan tub sonlar sonni bildiradi. 
π
(
x
) ni qiymatini tub sonlar jadvali yor-
damida aniqlanadi yoki yetarlicha katta 
x
lar uchun taqribiy hisoblash mumkin: 
( )
nx
x
x
l
≈
π
va
( )
∫
≈
x
u
n
du
x
2
l
π
. 
13-m i s o l.
( )
x
n
x
x
l
=
π
formula yordamida 
π
(1000) ni qiymatini toping va 
natijaning nisbiy xatosini hisoblang. 
Resheniye.
(
)
.
145
9078
,
6
1000
10
3
1000
1000
≈
≈
≈
n
l
π

---

23 
Tub sonlar jadvalidan 
π
(1000)=168, demak nisbiy xato 
(
)
(
)
%
14
168
145
168
1000
1000
≈
−
=
∆
π
π
. 
g
4. E y l ye r f u n k s i ya s i
ϕ
(a)
– 
Eyler funksiyasi a
sonning barcha natural qiymatlarida aniqlangan 
bo’lib, 
a
dan katta bo’lmagan va u bilan o’zaro tub bo’lgan sonlar sonini bildiradi. 
ϕ
(1) = 1 deb qabul qilingan. Eyler funksiyasi: 
( )
(
)(
)
(
)
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
....
1
1
....
1
1
1
1
−
−
−
−
−
−
=






−






−






−
=
n
n
n
n
n
p
p
p
p
p
p
p
p
p
a
a
α
α
α
α
α
α
ϕ
formula yordamida hisoblanadi, bu yerda 
−
=
n
n
p
p
p
a
α
α
α
...
2
2
1
1
sonning kanonik yoy-
ilmasi. 
Xususan, 
( )
( )
.
1
,
1
−
=
−
=
−
p
p
p
p
p
ϕ
ϕ
α
α
α
Eyler funksiyasi multiplikativ, ya’ni o’zaro tub 
a,b,…
,
l
sonlar uchun
(
) ( ) ( ) ( )
l
l
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
...
...
b
a
ab
=
shart bajariladi.
14-m i s o l. 
ϕ
(1956) ni hisoblang. 
 Yechish. 
1956=2
2
⋅
3
⋅
163 bo’lganligi sababli
(
)
(
)
(
)(
)
648
162
2
2
1
163
1
3
2
2
1956
2
=
⋅
⋅
=
−
−
−
=
ϕ
. 
g
15-m i s o l. 
ϕ
(12 
⋅
5 
⋅
1956) ni hisoblang. 
Yechish. 
O’zaro tub ko’paytuvchilarni aniqlash uchun ko’paytmani kanonik 
yoyilmasini topamiz: 
.
163
5
3
2
163
3
2
5
3
2
1956
5
12
2
4
2
2
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
Bundan
(
)
(
) (
)(
)
(
)(
)
=
−
−
−
−
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
1
163
1
5
3
3
2
2
163
5
3
2
1956
5
12
2
3
4
2
4
ϕ
ϕ
.
31104
162
4
6
8
=
⋅
⋅
⋅
=
g
16-m i s o l. 
(
)
600
5
3
=
⋅
y
x
ϕ
tenglamani yeching. 
Yechish. 
600 = 2
3
⋅
3 
⋅
5
2
dan 
(
)
.
5
3
2
5
3
2
3
⋅
⋅
=
⋅
y
x
ϕ
Boshqa tomondan
( ) (
)(
)
1
1
5
5
3
3
5
3
−
−
−
−
=
y
y
x
x
y
x
ϕ
. 
Demak,
2
3
1
1
5
3
2
4
5
2
3
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
−
−
y
x
yoki
2
1
1
5
3
5
3
⋅
=
−
−
y
x
va
x
= 2,
y
= 3. 
g
17-m i s o l.
a
= 72 uchun 
Gauss formulasini
to’g’riligini ko’rsating:
( )
∑
=
a
d
a
d
/
ϕ
.
 Yechish. 
Gauss formulasi 
( )
∑
=
a
d
a
d
/
ϕ
da 
a
= 72 deb olamiz: 
a
= 72 = 2
3 
⋅
3
2
. 
72 ning barcha bo’luvchilari:
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
)(1 + 3 + 3
2
). 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[
]
( ) ( )
( )
[
]
=
+
+
+
+
+
∑
=
2
3
2
72
/
3
3
1
2
2
2
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
d
d
=
(
) (
)
.
72
9
8
6
2
1
4
2
1
1
a
=
=
⋅
=
+
+
+
+
+
g

---

24 
18-m i s o l. 
ϕ
(
x
) = 
p
– 1 tenglamani yeching. 
 Yechish. x
= 
r
α
⋅
y
deb olamiz, bu yerda (
y, r
) = 1. 
r 
α
- 1
ϕ
(
y
) = 1, bundan 
α
= 1 va 
ϕ
(
y
) = 1. Demak,
r 
= 2 da tenglama yagona
x 
= 2 
(chunki bu holda 
y 
= 1); 
r
> 2 da tenglama ikkita:
x 
= 
r
; 2
r
yechimga ega. 
g
19-m i s o l. Eyler funksiyasining xossalaridan foydalanib tub sonlar soni chek-
siz ko’pligini isbotlang. 
Yechish. r
1
, r
2
,…,r
k
– barcha tub sonlar bo’lsin, u holda
a = r
1
 
⋅
 r
2
…r
k
son uchun 
ϕ
 (a) = (r
1
 – 1) (r
2
 – 1)…(r
k
 – 1)
bo’ladi. Boshqa tomondan 
ϕ
(a)=
1, chunki ixtiyoriy birdan farqli va 
a
dan katta bo’lmagan son oddiy 
bo’luvchiga ega va bu bo’luvchi 
r
i
lardan birortasiga teng, shu sababli bu son 
a
bilan 
o’zaro tub bo’la olmaydi. Demak, 
(r
1
–
1
)(r
2
–
1
)…(r
k
–
1
)=
1, lekin bu tenglik
k
= 2 dan 
boshlab o’rinli emas, (2-1)(3-1) > 1 hosil qilingan qarama-qarshilik tub sonlar soni 
cheksizligini bildiradi. 
5. M y o b i u s f u n k s i ya s i 
 
Barcha natural sonlar uchun aniqlangan
( ) ( )





≠
≠
=
−
=
=
булинса
квадратига
сон
туб
a
агар
j
i
р
р
р
р
р
a
агар
a
агар
a
j
i
k
k
,
0
,
...
,
1
1
,
1
2
1
µ
ko’rinishdagi funksiyaga 
Myobius funksiyasi
deb ataladi. 
Bu funksiya multiplikativdir, ya’ni agar (
a,b
)=1 bo’lsa, 
)
(
)
(
)
,
(
b
a
b
a
µ
µ
µ
=
. 
Agar 
θ
(a)
– ixtiyoriy multiplikativ funksiya bo’lsa, u holda 
( ) ( )
( )
(
)
∑




≠
∏ −
=
=
a
d
a
p
a
агар
р
a
агар
d
d
/
/
.
1
,
1
1
,
1
θ
θ
µ
Agar bu formulada 
( )
1
≡
a
θ
va 
( )
a
a
1
=
θ
deb olsak quyidagshi formulalarni ho-
sil qilamiz: 
( )
( )
∑





>
∏






−
=
=
∑



≠
=
=
a
d
a
p
a
d
a
агар
p
a
агар
d
d
a
агар
a
агар
d
|
/
|
.
1
,
1
1
1
,
1
1
,
0
1
,
1
µ
µ
Agar butun 
a 
lar uchun 
f (a)
– funksiya birqiymatli bo’lib,

---

25 
( )
( ) (
)
∑
>
=
a
d
d
d
f
a
F
|
0
o’rinli bo’lsa, u holda 
( )
( )
∑






=
a
d
d
a
F
d
a
f
|
µ
tenglik o’rinlidir (
Myobiusning teskarilash formulasi
). 
20-m i s o l. 
µ
(2002) ni hisoblang. 
Yechish. 
2002 = 2
⋅
7
⋅
11
⋅
13 dan
µ
(2002) = (-1)
4
= 1 kelib chiqadi.
g
21-m i s o l.
( )
∑
=
=
a
d
а
d
|
18
0
µ
uchun to’g’riligini isbotlang. 
Yechish. 
18 ning bo’luvchilari: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Bundan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
1
1
1
1
18
9
6
3
2
1
)
(
18
|
=
+
+
+
−
+
−
+
=
=
+
+
+
+
+
=
∑
d
d
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
.
22-m i s o l.

( )
∏







−
=
∑
a
p
a
d
p
d
d
|
|
1
1
µ