Sonlar nazariyasi

58.
a
n
(
p
-1)+1
≡
a (mod p) 
taqqoslamani to’g’ri ekanligini isbot qiling.. 
59.
Bo’linishning qoldiqlarini toping: a) 109
345
ni 14 ga; b) 439
291
ni 60 ga;
s) 293
275
ni 48 ga. 
60.
Bo’linishning qoldiqlarini toping: : a) 3
80
+ 7
80
ni 11 ga; b) 3
100
+ 5
100
ni 7 
ga; s) 2
100
+ 3
100
ni 5 ga; d) 5
70
+ 7
50
ni 12 ga. 
61.
243
402
sonining oxirgi uchta raqamini toping. 
62*.
(a, m)
= 1 bo’lganda 
a
x
≡
1 
(mod m) 
taqqoslamani qanoatlantiradigan 
x
ning eng kichik natural qiymati 
ϕ
(m) 
sonning bo’luvchisidan iborat ekanligini 
isbotlang. 
63*.
a
561
≡
a
(
mod
1) ni isbotlang. 
64*.
x
(
p
-1)
m
+ 
x
(
p
-1)
n
≡
0 
(mod p)
taqqoslamani 
x 
ning 
p
> 2 ga karrali qiymatlari 
qanoatlantirishini ko’rsating. 
65*.
2, 3 va 5 ga bo’linmaydigan 
m
natural soni 11...1 ko’rinishdagi 
ϕ
(m)
-
xonali sonning bo’luvchisi ekanligini ko’rsating. 
66.
a) Agar (
a
, 561) = 1 bo’lsa, u holda 
a
560
≡
1 (
mod
561) ni isbotlang; b) 
2
1093
•
1092
≡
1 (
mod
1093
2
) ni isbotlang. 
67*.
Agar 
a
r
≡
±
1
(mod p) 
bo’lsa, u holda 
a
r
≡
±
1
(mod p
2
) 
ni isbotlang (
r
– tub 
son). 
68*.
Agar 
p
va 
q
– o’zaro teng bo’lmagan tub sonlar bo’lsa, u holda 
p
q
-1
+ 
q
p
-1
≡
1
(mod pq) 
ni isbotlang. 
69*.
x 
ning qanday butun qiymatida 
x
13
≡
x
(
mod
2730) taqqoslama to’g’ri 
bo’ladi? 
70*.
Agar 
∑
=
n
i
i
a
1
≡
0 (
mod
30) bo’lsa, u holda
∑
=
n
i
i
a
1
5
≡
0 (
mod
30) ni ko’rsating. 
71*.
Agar 
m
> 1- toq son bo’lsa, u holda 2
ϕ
(m)
-1
soni 
m
ga bo’linganida
m
- 




2
m
qoldiq qolishini ko’rsating. 
72*.
Agar (
a
, 10) = 1 bo’lsa, u holda 
a
100n+1
≡
a
(
mod
1000),
n 
∈
 
N
ni 
ko’rsating. 
73*.
2
19
•
73-1
≡
1 (
mod
19
⋅
73) taqqoslamani to’g’ri ekanligini ko’rsating. 
74*.
Agar 
p
1
va 
p
2
– har xil tub sonlar bo’lsa,
p
1 
+ 
p
2 
≡
1 (
mod
p
1
p
2
) 
taqqoslamani to’g’ri ekanligini ko’rsating.
75*.
Agar 2
r
+ 1 (
r
≠
3) – tub son bo’lsa, u holda 4
r
+ 1 
≡
0 (
mod
3) ni 
ko’rsating. 
76*.
Agar 
(a, m)
= 1 va 
α
1 
≡
α
2
(mod 
ϕ
(m)) 
bo’lsa, u holda
a
≡
a
(
mod m
) ni 
isbotlang. 
77*.
a
6
m
+ 
a
6
n
≡
0 (
mod
7),
m, n 
∈
 
N
taqqoslama faqat 
a
soni 7 ga karrali 
bo’lganda o’rinli bo’lishini ko’rsating.
78*.
Agar (
n
, 6) = 1 bo’lsa, u holda 
n
2
≡
1 (
mod 
24). 
79*.
Quyidagi shartdan 
p
tub sonni toping: 
5 + 1 
≡
0 (
mod p
2
). 

---

41 
80*.
Agar uchta ketma-ket keladigan butun sonlardan o’rtadagisi biror butun 
sonning kubidan iborat bo’lsa, bu sonlarning ko’paytmasi 504 ga bo’linishini 
ko’rsating. 
81*.
Agar 
r
> 3, 
r
va 2
r
+1 lar tub sonlar bo’lsa, u holda 4
r
+1 – murakkab son 
ekanligini ko’rsating. 
§ 3. Bir noma’lumli algebraik taqqoslamalar. 
Birinchi darajali taqqoslamalar. 
n-darajali bir noma’lumli taqqoslama deb quyidagi ko’rinishdagi taqqoslamaga 
aytiladi
:
a
0
x
n
+ 
a
1
x
n
-1
+ ... + 
a
n
-1
x
+ 
a
n
≡
0 
(mod m)
, 
bu yerda
a
0
≡
0 
(mod m), a
i
 
∈
 
Z
, i
= 
n
0,
, 
n
– manfiy bo’lmagan butun son. 
Taqqoslamani yechish – uni qanoatlantiradigan x
ning
barcha qiymatlarini 
topish demakdir
. 
Agar berilgan taqqoslamani biror
x = 
α
 
qiymat qanoatlantirsa, u holda bu 
taqqoslamani 
α
bilan 
m 
modjul bo’yicha taqqoslanaidgan barcha sonlar ham 
qanoatlantiradi
: x 
≡
 
α
(mod m)
, yoki,
x = mk + 
α
, ya’ni,
m
modul bo’yicha 
α
 
tegishli bo’lgan chegirmalar sinfining barcha chegirmalari qanoatlantiradi. Har bir 
sinf bitta yechimni tashkil etadi. Demak,
 
taqqoslamani yechish – 
uni 
qanoatlantiradigan chegirmalarning barcha sinflarini topishdan iborat. 
Har bir sinfdan bittadan olingan chegirmalar to’la sistemani tashkil etganligi 
uchun taqqoaslamani qanoatlantiradigan sonlar sinfini topish chegirmalarning to’la 
sistemasidan ularga mos keladigan chegirmalarni topishdan iborat ekan. Odatda 
α
sifatida berilgan modul bo’yicha manfiy bo’lmagan eng kichik yoki absolyut qiymati 
jihatidan eng kichik chegirmalar olinadi. Shunday qilib, to’la sistemaning nechta 
chegirmasi berilgan taqqoslamani qanoatlantirsa, taqqoslama shuncha yechimga ega 
bo’ladi
. 
Agar bir xil 
x
noma’lumli va bir xil modulli ikkita taqqoslamani 
x 
noma’lumninng bir xil qiymatlari qanoatlantirsa, bunday taqqoslamalar teng kuchli 
deyiladi. 
Berilgan taqqoslamaga teng kuchli taqqoslamalar quyidagi almashtirishlar 
natijasida hosil bo’ladi: 
a) berilgan taqqoslamaning ikkala tomoniga ham bir xil sonni qo’shish nati-
jasida; 
b) berilgan taqqoslamaning ixtiyoriy bir qismiga modulga karrali bo’lgan sonni 
qo’shish natijasida; 
c) berilgan taqqoslamaning ikkala tomonini modul bilan o’zaro tub bo’lgan 
songa ko’paytirish (bo’lish) natijasida; 
d) taqqoslamaning ikkala tomonini va modulini bir xil songa bo’lish natijasida. 
1-Misol
.
 
Quyidagi taqqoslamalarni yeching: 
a) 
x
3 
- 2
x
+ 6 
≡
0 (
mod
11); 

---

42 
b) 
x
4
+ 2
x
3
+ 6 
≡
0 (
mod
8); 
c) 
x
4
- 
x
3
– 
x
2
+ 5
x
- 2 
≡
0 (
mod
6). 
Yechilishi
. a) 11 modul bo’yicha absolyut qiymati jihatidan eng kichik 
chegirmalarning to’la sistemasidan iborat 
-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 
sonlarni bevosita taqqoslamaga qo’yib tekshirish natijasida 5 soni taqqoslamani 
qanoatlantirishini hosil qilamiz. Yechimni 
x
≡
5 (
mod
11) ko’rinishda yozamiz. 
b) 8 modul bo’yicha chegirmalarning to’la sistemasi -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 da 
birorta ham chegirma taqqoslamani qanoatlantirmaydi, shuning uchun berilgan 
taqqoslama yechimga ega emas. 
c) 6 modul bo’yicha chegirmalarning to’la sistemasi -2, -1, 0, 1, 2, 3 da faqat 
ikkita son taqqoslamani qanoatlantiradi: -1 va 2. Berilgan taqqoslama ikkita 
yechimga ega:
x
≡
-1 (
mod
6) va
x
≡
2 (
mod
6). 
Modulning bo’luvchisi bo’yicha olingan taqqoslama berilgan modul bo’yicha 
taqqoslamaning natijasidan iborat bo’ladi. 
■
2-Misol
. 
x
2
- 5
x
+ 6 
≡
0 (
mod
9) taqqoslamani yeching. 
Yechilishi.
Modulning bo’luvchisi bo’yicha olingan taqqoslamani qaraymiz: 
x
2
- 
5
x
+ 6 
≡
0 (
mod
3), bu yerdan 
x
2
+
x
≡
0 (
mod
3) yoki 
x
(
x
+ 1) 
≡
0 (
mod
3),
ko’paytuvchilarning har birini alohida yechib 
x
≡
0, 2 (
mod
3) ni hosil qilamiz. 
Yechimlarni chegirmalar sinfi orqali 
x
= 3
q
; 3
q
+ 2 shaklda yozamiz. 
Endi 
x
= 3
q
ni berilgan taqqoslamaga qo’yamiz: 
9
q
2
– 15
q
+ 6 
≡
0 (
mod
9), bu yerdan 3
q
≡
3 (
mod
9), ya’ni.
q
≡
1 (
mod
3) yoki
q
= 1 + 3
t.
Bu yerdan 
x
= 3 + 9
t
yoki 
x
≡
3 (
mod
9) yechimni hosil qilamiz. 
x
= 3
q
+ 2 da berilgan taqqoslama quyidagi ko’rinishda bo’ladi: 
9
q
2
+12
q
+ 4 – 15
q
– 10 + 6 
≡
0 (
mod
9). Bu taqqoslamani soddalashtirishlardan 
so’ng 3
q
≡
0 (
mod
9) yoki 
q
≡
0 (
mod
3) ni hosil qilamiz.
q
= 3
t
bo’lganda 
berildgan taqqoslamaning ikkinchi yechimi 
x
= 9
t
+ 2 yoki 
x
≡
2 (
mod
9) ni hosil 
qilamiz. 
Shunday qilib, berilgan taqqoslama ikkita yechimga ega ekan:
x
≡
2; 3 (
mod
9). 
■
3-Misol
. Teng kuchli taqqoslamaga o’tish bilan quyidagi taqqoslamani yeching: 
13
x
≡
5 (
mod
47). 
Yechilishi.
Taqqoslamaning o’ng tomoniga 47 ni qo’shamiz: 
13
x
≡
52 (
mod
47). Endi taqqoslamaning ikkala tomonini 13 ga qisqartirib, 
uning yechimini hosil qilamiz: 
x
≡
4 (
mod
47). 
■
Birinchi darajali taqqoslamaning 
umumiy ko’rinishi quyidagicha yoziladi: 
ax 
≡
 b (mod m)
. 
Bu taqqoslamani yechishda quyidagi hollar bo’lishi mumkin: 
a) Agar 
(a, m)
= 1 bo’lsa, u holda taqqoslama faqat yagona yechimga ega. 
b) Agar 
(a, m)
= 
d
> 1 bo’lib,
b
ozod had 
d 
ga bo’linmasa, u holda taqqoslama 
yechimga ega emas. 
s) Agar 
(a, m)
= 
d
> 1 bo’lib,
b
ozod had 
d 
ga bo’linsa, u holda taqqoslama 
d
ta 
yechimga ega bo’ladi va bu yechimlar quyidagi formulalar bilan topiladi: 

---

43 
x
k
 
≡
 
α
 + 
d
m
k
)
1
(
−
(mod m)
, 
 k=1, 2,
…., d
bu yerda 
α
- quyidagi taqqoslamaning yechimidan iborat: 
d
a
x
≡
d
b
(
mod
d
m
). 
 
ax 
≡
b (mod m) 
taqqoslamani yechish usullarini faqat 
(a, m)
= 1 bo’lganda qarab 
chiqamiz, uchinchi holda taqqoslama 
d 
ga qisqartirilgandan so’ng birinchi holga 
keltiriladi. 
Birinchi darajali taqqoslamalarni yechishda quyidagi uchta usul qo’llaniladi
:
a) yechim 
m 
modul bo’yicha eng kichik manfiy bo’lmagan yoki absolyut 
qiymati jihatidan eng kichik chegirmalarning to’la sistemasidagi sonlarni bevosita 
sinash usuli bilan topiladi.
b) 
 Eyler usuli
. Yechim quyidagi formula bilan topiladi: 
x 
≡
 ba
ϕ
(m)
-1
(mod m)
, 
bu yerda 
ϕ
(m)
–Eyler funksiyasi; 
s) chekli uzluksiz kasrlar yordamida quyidagi formula bilan yechim topiladi: 
x
≡
(-1)
n
 b P
n
-1
(mod m)
, 
bu yerda 
P
n
-1
– 
a
m
kasrni uzluksiz kasrga yoyganda hosil bo’ladigan oxirgisidan bitta 
oldingi munosib kasrning suratidan iborat. 
Ba’zi hollarda taqqoslamalarning xossalariga asoslangan almashtirishlar orqali 
berilgan taqqoslama oson yechiladi (3-misolga qarang).