Sonlar nazariyasi

3-Misol
.
 
20, -4, 22, 18, -1 sonlar qanday modul bo’yicha chegirmalarning 
to’la sistemasini tashkil etadi? 
Yechilishi. 
5 modul bo’yicha berilgan sonlar mos ravishda 0, 1, 2, 3, 4 sonlar 
bilan taqqoslanadi, shuning uchun izlanayotgan modul 5 ga teng. 
■
4-Misol
. 3
1
, 3
2
, 3
3
, 3
4
, 3
5
, 3
6
sonlar sistemasi 7 modul bo’yicha chegirmalarning 
keltirilgan sistemasini tashkil eitishini ko’rsating. 
Yechilishi. 
Berilgan sonlardan eng kichik musbat chegirmalarni tuzamiz: 
3, 2, 6, 4, 5, 1, chunki 3
2
≡
2 (
mod
7), 3
3
≡
6 (
mod
7), 3
4
≡
4 (
mod
7), 3
5
≡
5 (
mod
7), 3
6
≡
1 (
mod
7). 
■
5-Misol
. 383
175
ni 45 ga bo’lganda hosil bo’ladigan qoldiqni toping. 
Yechilishi.
 
383 
≡
23 (
mod
45) bo’lganligi uchun 383
175
≡
23
175
(
mod
45). Endi 
ϕ
(45) = 24 va (23, 45) = 1 dan Eyler teoremasiga ko’ra: 
23
24
≡
1 (
mod
45) ni hosil qilamiz. Demak, 
23
175 
= 23
24
•
7 + 7
= (23
24
)
7
⋅
23
7
≡
1
7
⋅
23
7
(
mod
45). 
Shu taxlitda davom etib, 23
7 
= (23
2
)
3
⋅
23 
≡
34
3
⋅
23 = 34
2
⋅
34 
⋅
23 
≡
1156 
⋅
782 
≡
31
⋅
17 = 527 
≡
32 (
mod
45) ni hosil qilamiz. 
Shunday qilib, 383
175
≡
32 (
mod
45). Izlanayotgan qoldiq 32 dan iborat. 
■
6-Misol
. 
x
ning har qanday butun qiymatida
x
7
≡
x
(
mod
42) taqqoslamani 
to’g’riligini ko’rsating. 
Yechilishi.
 
Ferma teoremasiga ko’ra,
x
7
≡
x
(
mod
7). Endi 
x
7
≡
x
(
mod
2 va 3) 
ekanligini isbot qilamiz, buning uchun 2 va 3 modullar bo’yicha chegirmalarning 
to’la sistemasini, y’ani 0, 1, 2 sonlarni sinash yetarli. 
7-Misol
. Butun sonning 100-darajasini 125 ga bo’lganda hosil bo’ladigan 
qoldiqni toping. 
Yechilishi.
 
Agar (
a
, 5) = 1 bo’lsa, u holda Eyler teoremasiga ko’ra: 
a
ϕ
(125) 
= 
a
100
≡
1 (
mod
125). 
Agarda (
a
, 5) = 5 bo’lsa, u holda 
a
100
≡
0 (
mod
125). 
Demak, agar (
a
, 5) = 1 bo’lsa, u holda izlanayotgan qoldiq 1 ga teng. Agarda
(
a
, 5) = 5 bo’lsa, u holda
a
125
soni 125 ga bo’linadi. 
■
8-Misol
. 2
ϕ
 (m)
– 1 
ni toq 
m 
soniga bo’linganida hosil bo’ladigan qoldiqni toping. 
Yechilishi.
 
2
ϕ
 (m)
– 1
≡
r (mod m)
, 0 
≤
r
< 
m 
bo’lsin. U holda 2
ϕ
 (m)
≡
2
r
≡
1 
(mod 
m)
yoki 
r
= 
2
1
mq
+
, bu yerda 
q 
∈
Z
. 0 
≤
r
< 
m
shartni
 q
= 1 da yagona 
2
1
mq
+
qiymat 
qanoatlantiradi, bu yerdan r = 
2
1
m
+
ni hosil qilamiz. 
■
9-Misol
. 341 soni uchun 2
341
≡
2 (
mod
341) taqqoslamaning o’rinli ekanligini 
ko’rsating. 
Yechilishi. 
341 – murakkab son, 341 = 11
⋅
31. 2
5
≡
1 (
mod
31) va 2
10
≡
1 
(
mod
31) taqqoslamalar o’rinli ekanligini osongina tekshirish mumkin. 

---

38 
Ferma teoremasiga asosan 2
10
≡
1 (
mod
11). 11 va 13 sonlar o’zaro tub 
bo’lganligi uchun bu yerdan 2
10
≡
1 (
mod
11
⋅
31) kelib chiqadi, ya’ni 2
10
≡
1 (
mod
341). Demak, 2
340
≡
1 (
mod
341) va 2
341
≡
2 (
mod
341) taqqoslamalar o’rinli. 
■
10-Misol
. Agar har bir butun 
a
soni uchun 
a
n
≡
a
(mod n) 
taqqoslama o’rinli 
bo’lsa, 
n
murakkab soni 
absolyut psevdotub son 
deyiladi. 561 ning 
absolyut 
psevdotub son 
ekanligini ko’rsating. 
Yechilishi.
 
Berilgan sonni tub ko’paytuvchilarga ajratamiz 561 = 3
⋅
11
⋅
17. 
Ferma teoremasiga asosan 561 bilan o’zaro tub bo’lgan har bir butun 
a 
soni uchun
a
2
≡
1 (
mod
3),
a
10
≡
11 (
mod
11),
a
16
≡
17 (
mod
17) taqqoslamalar o’rinli 
bo’ladi. 3, 11, 17 tub sonlardan iborat bo’lganligi uchun va [2, 10, 16] = 80 
bo’lganligidan bu taqqoslamalardan quyidagi taqqoslamalar kelib chiqadi: 
a
80
≡
1 
(
mod
561), 
a
560
≡
1 (
mod
561). Demak, 561 
absolyut psevdotub sondan iborat
. 
■
 MAShQLAR 
 
28.
10 modul bo’yicha chegirmalaraning hamma sinflarini taqqoslamalar 
ko’rinishida yozing. 
29.
10 modul bo’yicha chegirmalaraning hamma sinflarini 
x
= 10
q
+ 
r
, 0 
≤
r
< 
10 ko’rinishda yozing. 
30.
Quyidagi modullar bo’yicha ko’rsatilgan chegirmalarning sinflarini yozing:
a) 10 modul bilan o’zaro tub bo’lgan; b) 10 modul bilan EKUBi 2 ga teng bo’lgan;
s) 10 modul bilan EKUBi 5 ga teng bo’lgan; d) 10 modul bilan EKUBi 10 ga teng 
bo’lgan. 
31.
Berilgan modullar bo’yicha chegirmalarning to’la va keltirilgan 
sistemalarining barcha turlarini yozing: a)
m
= 9; b) 
m
= 8; c) 
p
= 7; d) 
m
= 12. 
32*.
25, -20, 16, 46, -21, 18, 37, -17 sonlarning 8 modul bo’yicha 
chegirmalarning to’la sistemasini tashkil qilishini ko’rsating. 
33.
32, -9, 15, 42, -18, 30, 6 sonlarni 
p
=7 modul bo’yicha chegirmalarning 
to’la sistemasini tashkil etishini ko’rsating. 
34.
21, 2, -18, 28, -19, 40, -22, -2, 15 sonlarning 9 modul bo’yicha 
chegirmalarning to’la sistemasini tashkil etishini ko’rsating. 
35.
24, 18, -19, 37, 28, -23, -32, 5, 41, -35, -33 sonlarning 11 modul bo’yicha 
chegirmalarning to’la sistemasini tashkil etishini ko’rsating. 
36.
19, 23, 25, -19 sonlarning 12 modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan 
sistemasini tashkil etishini ko’rsating. 
37.
11, -1, 17, -19 sonlarning 8 modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan 
sistemasini tashkil etishini ko’rsating. 
38*.
24, 14, 25, 37, -8, -19, -40 sonlarning 6 modul bo’yicha eng kichik manfiy 
bo’lmagan, absloyut qiymati bo’yicha eng kichik musbat bo’lmagan va absolyut 
qiymati jihatidan eng kichik chegirmalarini toping. Bu sonlar berilgan modul 
bo’yicha nechta har xil sinflarga tegishli bo’ladi? Qaysi sonlar berilgan modul 
bo’yicha bir sinfga tegishli bo’ladi? 

---

39 
39.
Oldingi masalaning shartini 8 modul bo’yicha 17, -14, 19, -49, -22, 21, -29
sonlarga qo’llang. 
40.
100 sonining quyidagi modullar bo’yicha eng kichik manfiy bo’lmagan, 
absloyut qiymati bo’yicha eng kichik musbat bo’lmagan va absolyut qiymati 
jihatidan eng kichik chegirmalarini toping: 5, 7, 11, 25, 120, 200. 
41.
Oldingi masalani 50 soni va 3, 8, 12, 25, 70, 100 modullarga nisbatan 
yeching. 
42*.
Har qanday ketma-ket keladigan 
m
ta butun sonlar 
m 
modul bo’yicha 
chegirmalarning to’la sistemasini tashkil eitishini ko’rsating. 
43*.
10 modul bo’yicha 3
x
–1 ko’rinishdagi chegirmalarning to’la 
sistemalaridan birortasini ko’rsating.