Sonlar nazariyasi

92. 
Yechilishi
.
 
n
α
+ a
1
 
≡
0 (mod m) 
taqqoslamani 
tuzamiz. Shartdan 3
α
+ 5
≡
0 (
mod
13) kelib chiqadi, uning yechimi: 
α
≡
7 (
mod
13), 
demak, 
x = u
+ 7 almashtirish olamiz. Bu almashtirishni berilgn taqqoslamaga 
qo’yib, (
u
+7)
3
+ 5(
y
+ 7)
2
+ 6(
u
+ 7) – 8 = 
u
3
+ 26
y
2
+ 223
u
+ 622 
≡
u
3 
+ 2
u
– 2 
≡
0 
(
mod
13) ni hosil qilamiz.
94. 
a) (5, 10) = 5 va 7 soni 5 ga bo’linmagshanligi uchun 

---

77
bekrilgan taqqoslama yechimga ega emas. b) 
x
≡
7(
mod
13); c) 
x
≡
8 (
mod
17); d) 
x
≡
9 (
mod
19); e) 
x
≡
11 (
mod
58). 
94. 
a) 
x
≡
6(
mod
19); b) yechimi yo’q; c) 
x
≡
49 
(
mod
153); d) 
x
≡
3 (
mod
183); e) 
x
≡
47 (
mod
241). f) yechimi yo’q; g) 
x
≡
41, 
190, 339 (
mod
447); h) 
x
≡
61, 248 (
mod
422); i) 
x
≡
39, 196, 353 (
mod
471).
 95. 
a) 
yechimi yo’q; b) 
x
≡
3, 8, 13, 18, 23 (
mod
25); c) 
x
≡
73 (
mod
177); d) 
x
≡
29 (
mod
311); e) 
x
≡
48 (
mod
219); f) 
x
≡
9, 32, 55, 78, 101, 124 (
mod
138); g) 
x
≡
11, 28, 45 
(
mod
51). 
96. 
Yechilishi
.
 
a)
ax 

≡
 b (mod
21
)
, bu yerda (
a
, 21) = 1, 
b
∈
Z
; b) 
ax

≡
 b 
(mod 
21
)
taqqoslama yechimga ega bo’lishi uchun, masalan, 3 ta yechimga ega 
bo’lishi uchun (
a
, 21) = 3 va
b
soni 3 ga bo’linishi zarur va yetarlidir; s) bunday 
taqqoslamani tuzish mumkin emas. 
97. 
1 iyun. 
98. 
Yechilishi
. Qo’shib yoziladigan 
sonni 
x 
bilan beliglaymiz, u holda 523
⋅
10
3
+ 
x
≡
0 (
mod
7
⋅
8
⋅
9), bu yerdan 
x
≡
-
523000 
≡
-352
≡
152 (
mod
504), yoki 
x
= 504
t
+ 152. 
x
ning qiymati
t
= 0 va 
t
= 1 
da uch xonali bo’ladi. Bu yerdan
x
1
= 152,
x
2
= 656. 
99.
x
≡
200 (
mod
440), ya’ni
x
≡
200; 640. 
100.
x
≡
30 (
mod
31), ya’ni
x
= 30, 61, 42. 
101.
a) 
x
= 3 + 4
t
, 
y
= 1 – 3
t
;
b) 
x
= 3 + 13
t
, 
y
= -3 + 8
t
; c) 
x
= 22 – 37
t
, 
y
= - 25 + 43t; d) 
x
= 17 + 37
t
, 
y
= 20 + 
45
t
; e) 
x
= 1 + 16
t
, 
y
= 1 + 27
t
; f) yechimga ega emas g)
x
= 4 + 17
t
, 
y
= -11 – 53
t
;
h) 
x
= 47 + 105
t
, 
y
= 21 + 47
t
; i) yechimi yo’q; j) 
x
= 4 + 16
t
, 
y
= 7 – 11
t
; k)
x
= 9 
+ 37
t
, e = 3 + 12t; l) 
x
= 
-
7 + 15
t
, 
y
= 12 – 23
t
. 
102.
x
= 2 – 4
t
, 
y
= 4 + 3
t
.
t
= 
0 va
t
= -1 da talab qilingan hosil bo’ladi. 
103. 
x
= 3 – 5
t
, 
y
= 28 + 3
t
. 
104.
a) 
x
= -4 
+ 13
t
, -100 < -4 + 13
t
< 150, -7 
≤
t
≤
11; 19 ta nuqta; b) 7 ta nuqta; s) 8 ta nuqta. 
105.
Yechilishi
.

5
a

– 9
b
= 31 yoki 5
a
≡
31 (
mod
9), bu shartni qanoatlantiradigan 
a
ning eng kichik natural qiymati 
a
= 8 dan iborat. 
b
ning qiymatini tenglamadan 
topamiz:
b
= 1.
106. 
Ko’rsatma
.
 
AV to’g’ri chiziqning burchak koeffisiyenti 
2
1
2
1
x
x
y
y
−
−
qisqarmaydigan kasrdan iborat ekanligidan kelib chiqadi,
x
1
= 
x
2 
bo’lgan hol ko’rinib 
turibdi. 
107. 
Oldingi masalaga asoasan (uchburchakning uchlarini ham hisobga 
olganda) izlanayotgapn butun nuqtalar soni (18, 6) + (12, 8) + (6, 14) + 3 = 12 ga 
teng. 
108.
a) 9
x
≡
1 (
mod
7), bu yerdan
x
= 4 + 7
t
; b)
x
= 13 + 15
t
. 
109. 
Yechilishi
. 
Shartga asosan 15
x
+ 20
u
+ 30
z
= 500 va
x
+ 
y
+ 
z
= 18, bu yerdan
y
+ 3
z
= 46,
y
≡
1 (
mod
3) yoki
u
= 1 + 3
t
. Demak, 3
z
= 45 – 3
t
va
z
= 15 – 
t
. Bu yerdan 
x
+ 16 + 2
t
= 18 yoki
x
= 2 – 2
t
. Faqat 
t
= 0 da natural yechimni hosil qilamiz. Demak,
x
= 2, 
y
= 1, 
z
= 15. 
§ 4.
110.
a) 
x
≡
49 (
mod
420); b) 
x
≡
4126 (
mod
6300); c) 
x
≡
85056 (
mod
130169); 
d) 
x
≡
9573 (
mod
13923); e) yechimi yo’q; f) yechimi yo’q; g) yechimi yo’q; h) 
x
≡
17 (
mod
90); i) 
x
≡
4 (
mod
105); j) 
x
≡
7777777 (
mod
91290457).
111. 
x
≡
25 (
mod
60). 
112. 
299 va 439. 
113. 
Ko’rsatma.
 
4
x
≡
9 (
mod
7); 2
x
≡
15 (
mod
9); 
5
x
≡
12 (
mod
13) taqqoslamalar sistemasini yechish kerak, bu yerdan 
x
≡
291 (
mod
819). Nuqtalarning ordinatalari to’g’ri chiziqlarning berilgan tenglamalaridan kelib 
chiqadi. 
114. 
a) 
x
≡
4
a
- 3 (
mod
24), bu yerda 
a
≡
1 (
mod
2); b) 
x
≡
8 – 3
a
(
mod
24), 
bu yerda
a
≡
0 (
mod
2); c) 
x
≡
36
a
- 175 (
mod
630), bu yerda 
a
≡
1 (
mod
7); d) 
x
≡
15
a
+ 21
b
– 35
c
(
mod
105). 
115. 
a) 
a
≡
5 (
mod
6); b) 
a
≡
1 (
mod
6); c) 
a
≡
0 (
mod
4). 

---

78 
116. 
Yechilishi
. Shartdan quyidagi sistemani hosil qilamiz:
xyz
138 
≡
0 (
mod
7), 
138
xyz
≡
6 (
mod
13), 
x
1
y
3
z
8 
≡
5 (
mod
11). Birinchi taqqoslamani 10
3
xyz
+ 138 
≡
0 
(
mod
7) ko’rinishda yozib olamiz. U holda 3
xyz
≡
1 (
mod
7), bu yerdan 
xyz
≡
5 (
mod
7). Ikkinchi taqqoslama bilan ham xuddi shunday amallarni bajaramiz: 138000 + 
xyz
≡
6 (
mod
113), bu yerdan 
xyz
≡
1 (
mod
13). Endi 
xyz
≡
1 (
mod
13),
xyz
≡
5 (
mod
7) 
taqqoslamalar sistemasini 
xyz 
ga nisbatan yechib, 
xyz
≡
40 (
mod
91), yoki 
xyz
= 91
t
+ 
40 ni hosil qilamiz. 
t
= 1, 2, 3, ... , 10 da 
xyz
= 131, 222, 313, ... , 950 larni topamiz. 
Uchinchi taqqoslamani
x
⋅
10
5 
+ 10
4
+ 
u
⋅
10
3
+ 3
⋅
10
2 
+ 
z
⋅
10
+ 8 
≡
5 (
mod
11) shaklda 
tasvirlab olamiz, soddalashtirishlardan so’ng
x
+ 
y
+ 
z
≡
7 (
mod
11)ni hosil qilamiz, 
ya’ni
x
+ 
y
+ 
z
= 11
t
+ 7. 0 < 
x
+ 
y
+ 
z
< 27 tengsizlikni e’tiborga olib, 
x
+ 
y
+ 
z
= 7
va
x
+ 
y
+ 
z
= 18 larni hosil qilamiz. U holda 131, 222, 313, ... , 950 sonlar ketma-
ketligidan shartni qanoatlantiradigan 313138 va 495138 sonlarni topamiz. 
117. 
Ye-
chilishi
.
 
Shartga asosan 13
xy
45
z
≡
0 (
mod
792), ammo 792 = 8
⋅
9
⋅
11, shuning uchun 
quyidagi sistemaga ega bo’lamiz: 
13
xy
45
z
≡
0 (
mod
8) 
13
xy
45
z
≡
0 (
mod
9) 
13
xy
45
z
≡
0 (
mod
11) . 
Birinchi taqqoslamadan va 8 ga bo’linish alomatidan 450 +
z
≡
0 (
mod
8) ni 
hosil qilamiz, bu yerdan 
z
≡
6 (
mod
8). 
z
= 6 ni ikkinchi va uchinchi taqqoslamalarga 
qo’yib, sistemani hosil qilamiz: 
13
xy
456 
≡
0 (
mod
9) 
13
xy
456 
≡
0 (
mod
11) 
Bu sistemaning birinchi taqqoslamasidan 9 ga bo’linish alomatiga asosan 
x
+ 
y
+ 
19 
≡
0 (
mod
9), yoki 
x
+ 
y
≡
0 (
mod
9) kelib chiqadi. Ikkinchi taqqoslamani 
1300000 + 
x
⋅
10
4 
+ 
u
⋅
10
3 
+ 456 
≡
0 (
mod
11) ko’rinishda tasvirlab olamiz,
soddalashtirishlardan so’ng 
x
– 
u
≡
8 (
mod
11). U holdaa 
x
+ 
u
= 9
t
1
+ 8 
x
– 
y
= 11
t
2
+ 8 
Bu yerdan 
x
= 8 va 
u
= 0 ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, izlangan son 
1380456 dan iborat. 
118. 
Yechilishi
. 
Izlanayotgan 
sonii 
x
bilan 
belgilaymiz. 
U 
hol-
da
x
⋅
1000+(
x
+1)=1001
x
+1=
N
2
, yoki (
N
+1)(
N
-1)=7
⋅
11
⋅
13
x
, bu yerdan 
(
)(
)
.
13
11
7
1
1
⋅
⋅
−
+
=
N
N
x
Bu tenglikdan 
N
va 
x
aniqlash uchun quyidagi taqqoslamalar sistemalarini hosil 
qilamiz: 
1)
N
+1
≡
0 (
mod
7) 
N
-1
≡
0 (
mod
143) 
Odatdagi usul bilan yechib 
N
=573, 
N
2
=328329, 
x
1
=328 larni topamiz. 
2)
N
+1
≡
0 (
mod
143) 
N
-1
≡
0 (
mod
7) . 

---

79 
Bu yerdan 
N
=428, 
N
2
=183184, 
x
2
=183. 
3)
N
+1
≡
0 (
mod
11) 
N
-1
≡
0 (
mod
91) . 
Bu yerdan 
N
=274, 
N
2
=075076, ammo 
x
=075 ikki xonali son bo’lganligi uchun 
yechim emas. 
4)
N
+1
≡
0 (
mod
91) 
N
-1
≡
0 (
mod
11) 
Sistemadan 
N
=727, 
N
2
=528529, 
x
3
=528 larni hosil qilamiz. 
5)
N
+1
≡
0 (
mod
13) 
N
-1
≡
0 (
mod
77) 
N
=155, 
N
2
=024025, ammo 
x
=025 ikki xonali son bo’lganligi uchun yechim emas. 
6)
N
+1
≡
0 (
mod
77) 
N
-1
≡
0 (
mod
13) 
Bu yerdan 
N
=846, 
N
2
=715716, 
x
4
=715. 
119
. Shartdan quyidagi sistemani hosil qilamiz: 
x
≡
3 (
mod
7), 
x
2
≡
44 (
mod
7
2
), 
x
3
≡
111 (
mod
7
3
). Birinchi taqqoslamadan 
x
=7
t
+3 ni topamiz. 
x
ning bu qiymatini 
ikkinchi taqqoslamaga qo’yib, uni 
t 
ga nisbatan yechamiz: (7
t
+3)
2
=44 (
mod
7
2
), 
soddalashtirishlardan so’ng, 42
t
≡
35 (
mod
7
2
). Bu taqqoslamani 7 ga qisqartirib, 
6
t
≡
5(
mod
7) ni hosil qilamiz, bu yerdan 
t
≡
2 (
mod
7), ya’ni 
t
=7
t
1
+2 bo’ladi. 
t
ning 
topilgan qiymatini 
x
=7
t
+3 tenglikka qo’yib, 
x
=7(7
t
1
+2)+3=49
t
1
+17 ni hosil qilamiz. 
x
ninng oxirgi topilgan qiymatini uchinchi taqqoslamaga qo’yib (49 
t
1
+17)
3
≡
111(
mod
7
3
) ni hosil qilamiz. Soddalashtirishlardan so’ng 
t
1
≡
0 (
mod
7) ni topamiz, bu yerdan 
t
1
=7
t
2
+0.
t
1
bu qiymatini 
x
=49
t
1
+17 tenglikka qo’yib, nihoyat 
x
≡
(
mod
7
3
) ni topamiz.
120.
a) 
x
≡
24 (
mod
28); b) 
x
≡
54 (
mod
95); c) 
x
≡
39 (
mod
77); d) 
x
≡
-9 (
mod
45); e) 
yechim yo’q; f)
x
≡±
13
;
±
47 (
mod
85). 
121.
(-6,-61), (-1,-1), (1,1), (6,41). 
122.
a) 
x
≡
y
≡3 (
mod
7); b) yechim yo’q; s) yechim yo’q; d) 
x
1
≡0(
mod
12), 
y
1
≡
7(
mod
12) 
x
2
≡
4 
(
mod
12), 
y
2
≡
7 (
mod
12); 
x
3
≡
8 (
mod
12), 
y
3
≡
7 (
mod
12). 
123.
a) 
x
=
k
+5
n
, 
y
=2
k
-2+10
n
, 
z
=1-
k
-5
n
, bu yerda 
k
=0; 1; 2; 3; 4 va 
n
∈ΖΖΖΖ
;
b) Berilgan shartdan 
x-u
≡
1 (
mod
3), 
x+y
≡
1(
mod
2) sistemaga kelib chiqadi. Birinchi taqqoslamadan 
y
≡
 x 
- 1+3
i
(
mod
6), 
bu yerda 
i
=0; 1 kelib chiqadi. Bu qiymatni ikkinchi taqqoslamag qo’yib, 2
x
≡
2-3
i
(
mod
2) ni hosil qilamiz, bu yerdan 3
i
≡
0 (
mod
2) va 
i
=0 kelib chiqadi. Demak, 
x
≡
 
k
(
mod
6), 
y
≡
 k
-1 (
mod
6), 
k
=0; 1; 2; 3; 4; 5, yoki 
x=k
+6
n
, 
y=k-
1+6
m
, bu yerda
m, n 
∈ ΖΖΖΖ
.
Bu qiymatlarni berilgan sistemaning tenglamalariga qo’yib,
z
=2
n
-2
m
=
k
-
1+3
n
+3
m 
ni hosil qilamiz, bu yerdan 
n
=1-
k
-5
m
. Shunday qilib, berilgan tenglamalar 
sistemasining yechimlari 
z
=6-5
k
-30
m
, 
y
=
k
-1+6
m
, 
x
=2-2
k
-12
m 
lardan iborat, bu yerda 
k
=0; 1; 2; 3; 4; 5 va 
m 
∈
 
ΖΖΖΖ
. 
124. 
Ko’rsatma
. Masalani quyidagi taqqoslamalar 
sistemasini bilan yechish mumkin: 
3
x
– 
u
+ 1 
≡
0 (
mod
7)
x
≡
3 (
mod
7) 
2
x
+ 3
y
– 1 
≡
0 (
mod
7), bu yerdan
u
≡
5 (
mod
7). 
 
 
 

---

80 
MUNDARIJA 
 
I-bob. BUTUN SONLAR XALQASIDA BO’LINISH NAZARIYASI 
1-§. Butun sonlarning bo’linishi 
2-§. Eng katta umumiy bo’luvchi va eng kichik umumiy
bo’linuvchi 
3-§. Tub va murakkab sonlar 
4-§. Chekli uzluksiz kasrlar 
5-§. Sonli funksiyalar 
II-bob. BUTUN SONLAR XALQASIDA TAQQOSLAMALAR NAZARIYASI 
§ 1. Taqqoslama tushunchasi va uning xossalari 
§ 2. Chegirmalar sinflari. Eyler va Ferma teoremalari 
§ 3. Bir noma’lumli algebraik taqqoslamalar. Birinchi darajali taqqoslamalar. 
§ 4. Birinchi darajali taqqoslamalar sistemalari