Sonlar nazariyasi

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

56 
JAVOBLAR va KO’RSATMALAR 
I-BOB 
BUTUN SONLAR XALQASIDA BO’LINISH NAZARIYASI 
 
1-§ 
 
1.
a
) 
q
= 7; 8 va
r
= 2; 6;
b
) 
q
= 8; 9 va
r
= 2; 6. 
2.
a
) 
Yechish:
(2
n
+1)
2
= 4
n
(
n
+1) + 1, bu yerda 
n
(
n
+ 1) 2 ga bo’linadi;
b
) 
Yechish: n
2
+ (
n
+ 1)
2
= 2
n
(
n
+ 1) + 1, bu yerda 
n
(
n
+ 1) 2 ga bo’linadi.
3.
 Ko’rsatma.
15 = 7
⋅
2 + 1. Agar 15
n
=7
q
+1, u holda 15
n
+1
= 5
n
⋅
15 = 7
Q
+ 1.
4.
 Yechish.
Masala sharti bo’yicha, 
−
=
−
+
t
p
m
pq
mn
butun son.
(
) (
)
n
q
p
m
p
m
n
p
m
q
p
m
pq
mn
p
m
np
mq
t
p
m
np
mq
−
=
−
−
−
−
=
−
+
−
−
+
=
−
−
+
. 
Bundan 
−
+
−
=
−
+
t
n
q
p
m
np
mq
butun son. Demak, 
mq
+ 
np
m
– 
p
ga bo’linadi. 
5.
 Yechish.
Masala sharti bo’yicha, 
ad – bc = nt va
 
a – b = nt
1
. Ikkinchi teng-
likni 
d
ga ko’paytirib, birinchisidan ayiramiz:
b
(
c-d
) =
n
(
dt
1
- 
t
). Bundan 
b
va 
n
ga qo’yilgan shartlarlarga asosan 
s
–
d
ni 
n
ga 
bo’linishi kelib chiqadi. 
6.
c) Yechish.
m
5
– 
m
= (
m
- 1) 
m
(
m
+ 1) (
m
2
+ 1) = (
m
- 1) 
m
(
m
+ 1). [(
m
2
- 4) 
+ 5] = (
m
- 2) (
m
- 1) 
m
(
m
+ 1) (
m
+ 2) + 5 (
m
- 1) (
m
+ 1). Qo’shiluvchilarning har 
biri 30 ga bo’linadi, chunki 
k
ta ketma-ket sonlar ko’paytmasi 
k
! ga bo’linadi (bu 
(
)(
) (
)
k
k
n
n
n
n
C
k
n
....
3
.
2
.
1
1
...
2
1
+
−
−
−
=
- butun son bo’lishidan kelib chiqadi). Bundan 
yig’indi ham 30 ga bo’linadi, demak 
m
5
 – m
30 ga bo’linadi. 
7.
 Yechish.
10
x
+ 5 – izlanayotgan sonl bo’lsin. 5 raqamni chap tomondan bi-
rinchi o’ringa qo’yib 5 
⋅
10
5
+ 
x
hosil qilamiz
 
. Berilgan shartlarga ko’ra 5 
⋅
10
5
+ 
x
= 4 (10
x
+ 5) tenglamaga kelamiz. Bundan
x
= 112820 kelib chiqadi. 
8. 
Yechish.
Masala shartini quyidagicha yozib olamiz: 
n
(
n 
+ 1) (2
n
+ 1) = 
n
(
n 
+ 1) [(
n 
- 1) + (
n 
+ 2)] = (
n
-1) 
n
(
n 
+ 1) + 
n
(
n 
+ 1)(
n 
+ 2). Har bir qo’shiluvchi 6 ga 
bo’linishidan (6 masala yechimidan) yig’indini 6 ga bo’linishi kelib chiqadi. 
9.
Yechish.
(
) (
)
(
) (
)
(
)(
)
(
)
[
]
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
+
+
+
−
+
+
=
+
+
+
+
−
+
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
hosil bo’lgan kasrni 
faqat 2 ga qisqartirish mumkin. 
10.
Yechish.
(
)
(
)
100
10
101
10
1
100
1000
2
+
+
=
+
+
+
+
=
y
x
y
x
y
x
N
. 
Bundan
(
)(
)
.
8181
,
91
,
101
10
10
10
2
=
=
−
+
=
+
N
N
N
N
y
x

---

57 
11.
 Yechish.
(
n
- 2)
2
+ (
n
- 1)
2
+ 
n
2
+ (
n
+ 1)
2 
+ (
n 
+ 2)
2 
= 5 (
n
2
+ 2) to’la kvad-
rat bo’lishi uchun
n
2 
+ 25 ga karrali bo’lishi kerak yoki
n
2 
ning oxirgi raqami 8
yoki 3 bo’lishi kerak, bu mumkin emas.
 
12.
Yechish.
Har qanday butun sonni quyidagilardan birortasi shaklida yozish 
mumkin: 9
k
, 9
k 
±
1, 9
k 
±
2, 9
k 
±
3, 9
k 
±
4. Bu sonlar kvadratlari:
(9
k
)
2 
= 9(9
k
2
); (9
k 
±
1)
2 
= 9 (9
k
2 
±
2
k
) + 1; (9
k 
±
2)
2 
= 9(9
k
2 
±
4
k
) + 4;
(9
k 
±
3)
2 
= 9 (9
k
2 
±
6
k 
+ 1); (9
k 
±
4)
2 
= 9 (9
k
2 
±
8
k 
+ 1) + 7. Natijada butun son kvad-
rati 9 ga bo’lganda qoldiq faqat 0, 1, 4, 7 bo’lishi mumkinligi kelib chiqadi. 
13.
 
 Yechish. 
9
1
10
...
9
1
10
9
1
10
9
1
10
(
7
)
1
...
111
...
111
11
1
(
7
3
2
−
+
+
−
+
−
+
−
=
+
+
+
+
=
n
raqam
ta
n
n
S
3
2
1
= 
).
10
9
10
(
81
7
1
−
−
=
+
n
n
 
14. 
Yechish.
.
1
3
...
333
1
3
1
10
3
2
10
6
9
1
10
10
5
10
9
1
10
56
...
555
1
...
111
2
2
1
2
1
1
1








+
=






+
−
=






+
=
+
−
⋅
⋅
+
⋅
−
=
+
+
+
+
3
2
1
4
3
42
1
3
2
1
raqam
ta
n
n
n
n
n
n
raqam
ta
n
raqam
ta
n
15
. Yechish.
m n (m
4
 – n
4
) = n (m
5
 - m) – m (n
5
 - n) 
30 ga karrali
(1 misolga ko’ra). 
16
. Yechish. 
y
2
= 3
x
2 
+ 2 tenglama butun sonlarda yechimga ega emas. Haqi-
qatdan ham, 
u
ni
y
=3
n
yoki
y 
= 3
n
±
1 shakllardan birortasi ko’rinishida ifodalash 
mumkin va bundan
y
2
ni 3 ga bo’lganda qoldiq faqat 0 yoki 1 bo’ladi masala shar-
tiga ko’ra qoldiq 2 bo’lishi kerak.
 
17
. Yechish.
Matematik induksiya usulini qo’llaymiz: 
ааа
son 3 ga bo’linadi, 
chunki 
a + a + a 
= 3
a;
Agar 
3
2
1
т
а
аа
3
... son 3
n
ga bo’linsa, u holda
( )
01
...
0100
...
100
...
...
10
...
10
...
...
...
...
...
3
3
3
2
3
3
3
3
3
1
3
⋅
=
=
+
⋅
+
⋅
=
=
+
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
а
аа
n
n
n
n
n
n
n
n
n
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
n
+1
ga bo’linadi. 
2-§
 
18
. a
) 21,
b
) 13;
c
) 119;
d
) 3;
e
) 23.
19
. 
a
) 2520;
b
) 138600;
c
) 99671;
d
) 881200. 
20
. Yechish. 
(
a, b, c
) = 
d
bo’lsin, u holda
a
= 
cq
+ 
r
,
b
= 
cq
1
+ 
r
1
dan 
d|r
va
d|r
1
kelib chiqadi.
d = 
(
c, r, r
1
) ni isbotlaymiz. (
c, r, r
1
) = 
D
bo’lsin. 
a = cq + r
va
b = cq
1
+ 
r
1
tengsizliklardan
D

a, D

b
va shart bo’yicha 
D|c
. Bundan
D
= (
a, b, c
)

---

58 
va demak,
D 
= 
d
.
n
ta son uchun (
a
1
, 
a
2
,…,
a
n
) = (
a
n
, 
r
1
,
r
2
,.,
r
n
-1
) ni olamiz, bu 
yerda
r
1
, 
r
2
,…,
r
n
-1
– 
a
1
, 
a
2
,…, 
a
n
-1
sonlarni 
a
n
 
ga bo’lgandagi qoldiq. 
21
. 
a
) 23;
b
) 7;
c
) 21.
22
. 
a
) 3776;
b
) 1116;
c
) 67818;
d
) 5382;
e
) 6409. 
23
. 
a
) 
 Yechish.
(
d,m
) = (
d
, [
dx
, 
dy
]) = 
d
(1, [
x
, 
y
]) = 
d
. Agar
d 
= (
a
1
, 
a
2
,…,
a
n
) 
 
va
m 
= [
a
1
, 
a
2
,…,
a
n
] deb olsak, natija o’zgarmaydi;
b
) 
 Yechish. 
Agar
p 
– 
a + b
va
a 
⋅
 b
sonlarning umumiy bo’luvchichi bo’lsa, 
u holda
a
yoki
b
sonlardan birortasi
p 
ga bo’linishi kerak.
a
+ 
b
ni
p
ga 
bo’linishidan
p
son
a
va
b 
larni umumiy bo’luvchisi ekanligi kelib chiqadi. Bu 
masala shartiga zid, chunki (
a
, 
b
) =1;
c
) 
 Yechish
. (
a, b
) = 
d
va
a 
= 
dx
,
b 
= 
dy
bo’lsin, bunda (
x, y
) = 1. Bu holda
(
a 
+ 
b
, 
m 
) = (
d
(
x 
+ 
y
), 
dxy
) = 
d
(
x 
+ 
y
, 
xy
) = 
d
. Demak,
(
a
+
b
, [
a,b
]) = (
a
, 
b
).
24
. 
 Yechish
.
x
va
y
– izlanayotgan sonlar bo’lsin va (
x, y
) = 
d
, bundan
x 
= 
dm 
va
y
= 
dn
va (
m, n
) = 1. Shartga ko’ra,
x 
+ 
y
= 
d
(
m 
+ 
n
) = 
= 667 = 23
⋅
29. Shart bo’yicha 
,
120
)
,
(
]
,
[
=
y
x
y
x
bundan [
x,y
]=120
⋅
(x, y)=120 
d,
boshqa 
tomondan
[ ]
.
120
,
120
,
2
d
xy
yoki
d
d
xy
d
xy
y
x
=
=
⇒
=
Bulardan 



=
⋅
=
+
2
120
29
23
d
xy
y
x
sistemani hosil qilamiz. 
d 
(
m
+ 
n
) = 23 
⋅
29 dan
d
= 23 va
d
= 29
(
d
= 1 yoki 
d
= 23 
⋅
29 - o’rinli bo’lmaydi) bo’lishi mumkin. 
d
= 23 bo’lganda, 
x
= 
552, 
y
= 115. 
d
= 29 da
x 
= 435, 
y
= 232.
25
. 
Yechish. x
va 
y 
– noma’lum sonlar va (
x
,
y
) = 
d 
bo’lsin. U holda 
n
d
y
m
d
x
=
=
,
, bunda 
.
1
)
,
(
=
n
m
Shart bo’yicha
m + n = 
18,
[ ]
.
13
5
3
975
,
2
⋅
⋅
=
=
=
⋅
=
=
mnd
d
dn
dm
d
xy
y
x
Bundan 



⋅
⋅
=
=
+
13
5
3
18
2
mnd
n
m
ni 
hosil 
qilamiz 
va 
uning 
yechimi 
15
,
13
,
5
=
=
=
d
n
m
bo’ladi. Demak, 
x
= 75,
y
= 195.
26.
 Yechish
. Shart bo’yicha, 
a 
= 899,
b
= 493. Yevklid algoritmiga ko’ra: 
a 
= 
b
⋅
1 + 406, 
b 
= 406
⋅
1 + 87, 406 = 87
⋅
4 + 58, 87 = 58
⋅
1 + 29, 58 = 29
⋅
2 bo’ladi. Oxiri-
dan ikkinchi tenglikdan boshlab: 29 = 87– 58 =87 – (406–87
⋅
4) = 87
⋅
5–406 = (
b
- 
406)
⋅
5–406 = 5b - 406
⋅
6 = 5b - (
a - b
)6 = 
a(-b)
+ 
b
⋅
11 ni olamiz. 29 = 899 
x
+ 493 
y
bilan solishtirsak,
x
= - 6,
y
= 11 kelib chiqadi.
27
. 
a
) 17 = 
a
(-10) + 
b
⋅
23 = 
ax
+ 
by
;
b
) 43 = 
a
⋅
(-4) + 
b
⋅
5 = 
ax
+ 
by
;
c
) 47 = 
a
⋅
2 + 
b
(-5) = 
ax + by
. 

---

59 
28
. 
a
) 
 Yechish. x
= 45
u
va
y
= 45 
v
, bu yerda (
u, v
) = 1, 
7
11
=
v
u
dan 
u 
= 11
va
v
= 7, demak
x
= 495 va
y
= 315;
b
) 
 Yechish
.
x 
= 20
u
va
y 
= 20
v
, bu 
yerda (
u,v
) = 1,
uv 
= 21 dan
u 
= 1; 3; 7; 21 va
x
= 20; 60; 140; 420. 
x
y
8400
=
bo’lganligi sababli
y 
= 420, 140, 60, 20.
d
)
x 
= 140, 
y 
= 252.
29
. 
 Yechish.
(
a, b, c
) = 
d
bo’lsin, u holda
a
= 
md
, 
b
= 
nd
,
c
= 
kd
.
2
2
;
2
2
;
2
2
d
k
n
c
b
d
k
m
c
a
d
n
m
b
a
+
=
+
+
=
+
+
=
+
Bundan
d
son 
2
,
2
,
2
c
b
c
a
b
a
+
+
+
sonlarning umumiy bo’luvchisi bo’lishini ko’rsatadi. 
Faraz qilamiz, 
D
c
b
c
a
b
a
=






+
+
+
2
,
2
,
2
bundan 
d|D
, 
.
2
;
2
,
2
1
1
1
D
k
c
b
D
n
c
a
D
m
b
a
=
+
=
+
=
+
Birinchit va ikkinchi tengliklar yig’indisidan 
uchinchi tenglikni ayirib, 
a 
= (
m
1 
+
n
1 
– 
k
1
)
D
ni hosil qilamiz. Shu usulda 
b
= (
m
1
– 
n
1
+ 
k
1
)
D
, 
c
= (-
m
1
+ 
n
1
+ 
k
1
)
D
larni hosil qilamiz. Bu tengliklardan
a
, 
b
, 
c
larni
D
ga bo’linishi kelib chiqadi va demak,
D|d
. Natijada
(
)
.
2
,
2
,
2
,
,
,






+
+
+
=
=
c
b
c
a
b
a
c
b
a
яъни
d
D
30
. 
a
) 
 Yechish.
(
a, b, c
) = 
d
bo’lsin, u holda (
a, b
) = 
md
, (
a, c
) = 
nd
, (
b,c
) = 
kd
, bu yerda (
m, n, k
) = 1. Bu tenglikdan
adm
va 
dn
ga bo’linishi kelib chiqadi, de-
mak, 
a
= 
dmn
α
. Xuddi shunday:
b
= 
dmk
β
;
c
= 
dnk
γ
.
Bu yerda (
α
, 
β
, 
γ
) = 1.
[
]
(
)(
)(
)
(
)
( )( )( )
;
,
,
,
,
,
,
,
2
2
2
2
4
c
b
c
a
b
a
c
b
a
abc
dk
dn
dm
d
dnk
dmk
bmn
mnk
d
k
n
m
dmnk
c
b
a
=
⋅
⋅
=
=
=
γ
β
α
αβγ
α
αβγ
b
) 
Ko’rsatma
: 
[ ]
( )
b
a
ab
b
a
,
,
=
dan foydalaning. 
31
. 
 Yechish.
qN
= 100
q
+ 
bq
= 100
q
+ 
a
– 
a
+ 
bq
= 
am
– (
a
- 
bq
), bundan tas-
diq to’g’riligi kelib chiqadi, chunki (
q, m
) = 1.