Sonlar nazariyasi

118.
1 dan 120 gacha sonlar intervalida 30 bilan o’zaro tub bo’lmagan sonlar 
nechta? 
119*
. Agar 
a
= 3
α
5
β
7
ϒ
va 
ϕ
(
a
) = 3600 bo’lsa,
a
ni toping. 
120*
. Agar
a 
= 
pq,
p
– 
q
= 2 va
ϕ
 
(
a
) = 120 bo’lsa,
a
ni toping. Bu yerda
p
va
q
– har xil tub sonlar har xil tub sonlar. 
121*
. Agar
a 
= 
p
2
q
2 
va
ϕ
(
a
) = 11424 bo’lsa,
a
ni toping.
p
va
q 
– har xil 
tub sonlar. 
122*
. Agar 
n
n
p
p
p
a
α
α
α
...
2
2
1
1
=
(
α
1
>1,
α
2
>1,…, 
α
n
> 1) va 
ϕ
(
a
) = 462000 
bo’lsa, 
a
ni toping. 
123*
. 
m
dan kichik va u son bilan o’zaro tub sonlar yig’indisi 
( )
m
m
S
ϕ
⋅
=
2
1
formula yordamida hisoblashini isbotlang. 
124
. 
( )
a
a
S
ϕ
⋅
=
2
1
formulani quyidagi sonlar uchun qo’llang: 
a
) 12;
b
) 18; 
c
) 375. 
125*
. Isbotlang:
( )
( )
( )
( )
( )
N
∈
=
=
=
−
−
−
a
a
а
a
c
р
р
р
b
a
,
)
;
)
;
2
2
)
1
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
α
α
α
α
α
α
. 
126
. 
ϕ
(2
a
) ni 
ϕ
(
a
) yoki 2
ϕ
(
a
) ga tengligini isbotlang. Shu sonlar o’rinli 
bo’ladigan shartlarni toping.
127*
. Isbotlang: a) 
ϕ
(4
n 
+ 2) = 
ϕ
(2
n 
+ 1); 
b)
( )
( )
( )
( )
( )



=
=
=
2
2
,
,
2
2
1
2
,
,
2
4
n
agar
n
n
agar
n
n
ϕ
ϕ
ϕ
128
. Tenglamalarni yeching: 
a
) 
ϕ
(5
x
) = 100; 
b
) 
ϕ
(7
x
) = 294;
c
) 
ϕ
(7
x
) = 705894; 
d
) 
ϕ
( 
r 
x 
) = 
r 
x 
- 1
, 
x
∈
N
. 
129
. Berilgan 
b
maxrajli nechta to’g’ri qisqarmas musbat kasrlar mavjud? 
130
. 129 masala yordamida maxrajlari quyidagilar bo’lgan qisg’armas musbat 
kasrlar sonini toping:
a
) 10; 
b
) 16; 
c
) 36; d) 72. 
131
. 
b
a
musbat, to’g’ri qisqarmas kasr bo’lsin. Agar 
b
= 2 dan 
b
= 
n
gacha qi-
ymatlar qabul qilsa, bunday kasrlar nechta? 
132
. 131 masala shartida 
b
: a) 2 dan 5 gacha; b) 2 dan 10 gacha; c) 2 dan 
15gacha qiymatlar qabul qilsa, kasrlar sonini toping. 
133*
. 300 dan kichik natural sonlar ichida 20 bilan teng umumiy bo’luvchiga 
ega bo’lgan sonlar nechta? 
134
. 1665 dan kichik natural sonlar ichida u bilan 37 ga teng umumiy 
bo’luvchiga ega bo’lgan sonlar nechta? 
135
. 1476 dan kichik natural sonlar ichida u bilan 41 ga teng umumiy 
bo’luvchiga ega bo’lgan sonlar nechta? 
136*
. 
a 
≥
 3
lar uchun 
ϕ
(
a
) ning qiymati doimo juft son bo’lishini isbotlang. 
137*
. Agar 
ϕ
(
x
) = 
a
tenglama 
x
= 
m
ildizga ega bo’lsa,

---

30 
x
= 2
m
ham tenglama ildizi bo’lishini isbotlang, bu yerda (
m,
2) = 1. 
138*
. (
m,n
) > 1 bo’lsa, 
ϕ
(
m n
) yoki 
ϕ
(
m
) 
ϕ
(
n
) larni solishtiring? 
139*
. 
( ) ( ) ( ) ( )
d
d
n
m
mn
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⋅
=
tenglikni isbotlang, bu yerda 
(
)
1
,
>
n
m
. 
140*
. 
ϕ
(
m n
) = 
ϕ
(
δ
) 
ϕ
(
µ
) tenglikni isbotlang, bu yerda
δ
= (
m,n
), 
µ
= [
m,n
]. 
141
. 
ϕ
(1) + 
ϕ
(
p
) + 
ϕ
(
p
2
)+…+ 
ϕ
(
p
α
), 
α∈
N 
ni hisoblang. 
142
. 






+
+






+






k
d
a
d
a
d
a
ϕ
ϕ
ϕ
...
2
1
ni hisoblang, bu yerda 
d
i
–
a 
ning barcha 
bo’luvchilari? 
143
. Quyidagi sonlar uchun 
( )
∑
=
a
d
a
d
/
ϕ
to’g’riligini tekshiring: a) 80; b) 360; 
c) 375; d) 957; e) 2800. 
144
. Tenglamalarni yeching: a)
ϕ
(
x
) = 2
α
; b)
ϕ
(
p
x
) = 6 
⋅
p
x
-2
. 
145
. Tenglamalarni yeching: a) 
ϕ
(
x
) = 14; b) 
ϕ
(
x
) = 8;
c) 
ϕ
(
x
) = 12. 
146*
. Tenglamani yeching: 
ϕ
(2
x
) = 
ϕ
(3
x
). 
147
. 
ϕ
 
(5
x
) = 
ϕ
 
(7
x
) tenglama butun sonlar to’plamida yechimga ega emas-
ligini isbotlang. 
148
. Tenglamalarni yeching: 
a
) 
ϕ
(
x
) = 
ϕ
(
p x
);
b)
 
ϕ
(
p x
) = 
p
ϕ
(
x
);
c
) 
ϕ
(
p
1
x
) = 
ϕ
(
p
2
x
) (
p
1
 , p
2
– turli tub sonlar). 
149*
. Tenglamani yeching:
( )
( )
( )
.
4
)
;
3
)
;
2
)
x
x
c
x
x
b
x
x
a
=
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
150
. 
ϕ
 (p
x
) = a 
tenglamani tekshiring. 
151. 
a
= 1, 2,…, 100 sonlar uchun
µ
(
a
) funksiyaning jadvalini tuzing. 
152. 
a 
= 24 uchun 
( )
∑
=
a
d
/
1
0
µ
formula to’g’riligini tekshiring. 
153
.
a 
= 18 uchun 
( )
∑
∏






−
=
a
d
a
p
p
d
d
/
/
1
1
µ
formula to’g’riligini isbotlang. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

31 
II-BOB 
 
BUTUN SONLAR XALQASIDA TAQQOSLAMALAR NAZARIYASI 
 
Kalit so’zlar va ifodalar: taqqoslanuvchi sonlar
; taqqoslamaning ma’nosi 
haqidagi teorema; sonlar sinfi; berilgan modul bo’yicha chegirma; berilgan modul 
bo’yicha chegirmalarning to’la sinfi, berilgan modul bo’yicha chegirmalarning 
keltirilgan sinfi, Eyler teoremasi, Ferma teoremasi; berilgan modul bo’yicha 
chegirmalarning additiv gruppasi; berilgan modul bo’yicha chegirmalarning xalqa-
si; modul bilan o’zaro tub chegirmalar sinfi; modul bilan o’zaro tub 
chegirmalarningn multiplikativ gruppasi; absolyut psevdotub son; Bir noma’lumli n-
darajali taqqoslama; taqqoslamaning yechimi; teng kuchli taqqoslamalar; birinchi 
darajali taqqoslamalar; birinchi darajali bir xil noma’lumli taqqoslamalar sistemasi; 
birinchi darajali bir xil noma’lumli taqqoslamalar sistemasining yechimlari. 
 
§1. Taqqoslama tushunchasi va uning xossalari 
 
a
va 
b butun sonlarni
butun musbat 
m
soniga bo’lganda bir xil qoldiq 
qoladigan, ya’ni
a = mq
1 
+ r
va 
b = mq
2
 + r,
bo’lsa, 
a
va 
b sonlar 
teng qoldiqdli yoki 
m
modul bo’yicha o’zaro taqqoslanadigan 
sonlar deyiladi va quyidagicha yoziladi: 
a 
≡
 b (mod m) 
“
a son b bilan m modul bo’yicha taqqoslanadi
” deb o’qiladi. 
Agar
a 
≡
 b (mod m) 
bo’lsa, u holda 
a – b
ayirma 
m 
ga qoldiqsiz bo’linadi, va 
aksincha, agar 
a
va 
b
sonlarning ayirmasi 
m 
ga bo’linsa, u holda 
a 
≡
 b (mod m)
o’rinli 
bo’ladi (
taqqoslamaning ma’nosi haqidagi
teorema
). 
Har qanday butun son 
m
modul bo’yicha o’zining qoldig’i bilan taqqoslanadi, 
ya’ni, agar
a = mq + r 
bo’lsa, u holda
a 
≡
 r (mod m) 
bo’ladi. 
Xususiy holda, agar 
r = 
0 bo’lsa, u holda 
a 
≡
 
0
 (mod m) 
bo’ladi; bu taqqoslama
m
| 
a
ekanligini, ya’ni 
m
soni 
a 
ning bo’luvchisi ekanligini bildiradi, aksincha ham 
o’rinli, agar 
m

a
bo’lsa, u holda 
a 
≡
 
0
 (mod m) 
deb yoziladi. 
Taqqoslamalarning asosiy xossalari
(tengliklarning xossalariga o’xshash) 
1.
Agar 
a 
≡
cs (mod m)
va 
b 
≡
 c (mod m) 
bo’lsa, u holda 
a 
≡
 b (mod m) 
bo’ladi. 
2.
Agar 
a 
≡
 b (mod m)
va 
c 
≡
 d (mod m) 
bo’lsa, u holda 
a 
±
 c 
≡
 b
±
 d (mod m) 
bo’ladi. 
3.
Agar 
a + b 
≡
 c (mod m) 
bo’lsa, u holda 
a 
≡
 c - b (mod m) bo’ladi
. 
4.
Agar 
a 
≡
 b (mod m) 
bo’lsa, u holda 
a 
±
 mk 
≡
 b (mod m)
, yoki
a
≡
 b 
±
 mk 
(mod m) 
bo’ladi. 

---

32 
5.
Agar 
a 
≡
 b (mod m)
va 
c 
≡
 d (mod m) 
bo’lsa, u holda 
ac 
≡
 bd (mod m) 
bo’ladi
. 
6.
Agar 
a 
≡
 b (mod m) 
bo’lsa, u holda 
a
n
 
≡
 b
n
 (mod m) (n
∈
N
) bo’ladi
. 
7.
Agar 
a 
≡
 b (mod m) 
bo’lsa, u holda ixtioriy 
k
butun son uchun
ak 
≡
 bk (mod 
m) bo’ladi,
. 
8.
Agar 
ak 
≡
 bk (mod m)
va 
(k,m) = 
1 bo’lsa, u holda 
a 
≡
 b (mod m) bo’ladi
. 
9.
Agar
f(x) = a
0
 x
n
 + a
1
 x
n-1
 + ... + a
n
 (a
i
 
∈
 
Z
)
va
x 
≡
 x
1
 (mod m) 
bo’lsa, u 
holda
f(x) 
≡
 f(x
1
) (mod m) bo’ladi
. 
Taqqoslamalarninng maxsus xossalari