Sonlar nazariyasi

50*.
235
2
+ 972
2
sonni ko’paytuvchilarga ajrating.
51*.
3
10
+ 3
5
+ 1 sonni ko’paytuvchilarga ajrating. 
52*.
Agar 1+2
k
tub son bo’lsa,
k
= 0 yoki
k 
= 2
n
(
n
= 0, 1, 2, …) bo’lishini isbotlang. 
53*.
O’zaro tub 
a,b 
sonlar uchun 
a
α
+ 
b
β
tub son bo’lsa, (
α
, 
β
) = 1 yoki (
α
, 
β
) 
= 2
k
o’rinli bo’lishini ko’rsating. 
54. 
Agar 2
n
–1 tub son bo’lsa,
n 
– tub son ekanligini ko’rsating. 

---

14 
4-§. Chekli uzluksiz kasrlar
 
Agar 
b
a
– qisqarmas kasr (to’g’ri yoki noto’g’ri) bo’lsa, bu kasrni Yevklid al-
goritmi yordamida quyidagi ko’rinishda tasvirlash mumkin: 
,
1
...
..........
1
1
1
3
2
1
0
n
q
q
q
q
q
b
a
+
+
+
+
+
=
bu yerda 
q
0
– butun nomanfiy son;
q
1
, 
q
2
,…, 
q
n
– butun musbat sonlar.
Bu tenglikning o’ng tomonida yozilgan kasr 
chekli uzluksiz kasr
yoki 
zanjirli 
kasr
deyiladi. 
Bu kasrlarni qisqacha 
(
)
n
q
q
q
q
b
a
,...,
,
,
2
1
0
=
ko’rinishda yozish mumkin. 
Yevklid algoritmidagi
q
1
, 
q
2
,…,
q
n
lar uzluksiz zanjirning 
maxrajlari
; 
q
0
, q
1
, 
q
2
,…, q
n-1
– 
to’liqmas bo’linmalar
; 
q
0
, q
1
, q
2
,…, q
n
lar esa 
aniq bo’linmalar
deyiladi. 
,.......
1
1
;
1
,
1
2
1
0
2
2
2
1
0
1
1
1
0
0
0
0
q
q
q
Q
P
q
q
Q
P
q
Q
P
+
+
=
=
+
=
=
=
=
δ
δ
δ
n
n
n
n
q
q
q
q
Q
P
1
.......
..........
1
1
......,
2
1
0
+
+
+
=
=
δ
lar 
munosib
 
kasrlar
deyiladi va 
b
a
Q
p
n
n
=
. 
Munosib kasrlar va 
b
a
kasr orasida quyidagi munosibatlar o’rinli: 

---

15 
.
....
....
1
1
3
3
5
5
4
4
2
2
0
0
Q
P
Q
P
Q
P
b
a
Q
P
Q
P
Q
P
<
<
<
<
<
<
<
<
Bu tengsizliklardan berilgan 
b
a
kasr ikkita qo’shni munosib kasrlar orasida joy-
lashganligi va tartib oshgani sari bu qo’shni kasrlar intervali kichrayib borishi 
ko’rinyapti. Shuning uchun ham bunday kasrlar «munosib kasrlar» deyiladi. 
Ketma-ket uchta munosib kasrlar suratlari va maxrajlari 
k = 2
dan boshlab quy-
idagi bog’lanish o’rinli: 
2
1
2
1
−
−
−
−
+
+
=
k
k
k
k
k
k
k
k
Q
q
Q
P
q
P
Q
P
Agar shartli ravishda 
P
-1
=1, 
Q
-1
= 0, 
Q
0
= 1 qabul qilsak, u holda barcha mu-
nosib kasrlarni quyidagi sxema yordamida topish mumkin: 
k 
0 
1 
2 
… k
 
… n 
q
k
 
q
0
q
1
q
2
…
q
k
 
… q
n
P
k
 
1 
P
0 
= 
q
0
P
1 
=
q
0
q
1 
+ 1 
P
2
=
P
1
q
2 
+ 
P
0
… 
P
k 
= 
P
k-
1
q
k
+ 
P
k
-2
… P
n 
Q
k
 
0 
Q
0 
= 1 
Q
1
= 
q
1
Q
2 
= 
Q
1
q
2 
+ 
Q
0 
… 
Q
k 
= 
P
k
-1
q
k 
+ 
Q
k
-2
… Q
n 
Ikkita qo’shni munosib kaslar ayirmasini 
( )
1
1
1
1
+
+
+
−
=
−
k
k
k
k
k
k
k
Q
Q
Q
P
Q
P
formula yordamida topish mumkin. 
b
a
kasrni
k
k
Q
P
munosib kasr bilan almashtirganda hosil bo’lgan xatoni
1
1
+
≤
−
k
k
k
k
Q
Q
Q
P
b
a
tengsizlik bilan baholanadi. 
1-m i s o l. 
83
245
sonni shunday munosib kasr bilan almashtiringki, uning xatosi 
0, 001 dan katta bo’lmasin. 
Yechish. 
Sonni uzluksiz kasrga yoyamiz:
(
)
3
,
1
,
19
,
1
,
2
83
245
=
.
Demak kasrlarni topamiz: 
k 
0 
1 
2 
3 
4 
q
k
 
2 
1 
19 
1 
3 
P
k
 
1 2 
3 
59 
62 
245 
Q
k 
0 1 
1 
20 
21 
83 

---

16 
1000
1
21
20
1
20
59
83
245
>
⋅
<
−
. 
δ
2
shartni qanoatlantirmaydi. 
21
62
3
=
δ
ni keltiramiz: 
1000
1
83
21
1
21
62
83
245
<
⋅
<
−
. Demak, masala yechimi
21
62
3
=
δ
. 
g
2-m i s o l. 
(
)
2
,
1
,
3
,
1
,
1
,
2
=
b
a
uzluksiz kasrga mos kasrni toping. 
Yechish. 
Munosib kasrlarni topamiz: 
k 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
q
k
 
2 
1 
1 
3 
1 
2 
P
k
 
1 2 
3 
5 
18 
23 
64 
Q
k 
0 1 
1 
2 
7 
9 
25 
Bu jadvaldan 
25
64
=
b
a
. 
Bu masalani yechimini quyidagicha topish mumkin:
.
25
64
25
14
2
14
11
1
1
2
11
3
1
1
1
1
2
3
2
3
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
3
1
1
1
1
1
2
=
+
=
+
+
=
+
+
+
=
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
b
a
Bu usuldan zanjirdagi sonlar miqdori oz bo’lganda foydalanish mumkin.
 
g
3-m i s o l. 
2743
3587
kasrni kasrga yoyish yordamida qisqartiring.
Yechish. 
Sonni uzluksiz kasrga yoyamiz: 
(
)
.
4
,
3
,
1
2743
3587
=
Demak, 
13
17
13
4
1
4
1
3
1
1
2743
3587
=
+
=
+
+
=
. 
g

---

17
4-m i s o l. 
a
va
b
– o’zaro tub musbat sonlar. 
b
a
ni uzluksiz kasrga yoy-
gandagi oxiridan ikkinchi munosib kasr 
1
1
−
−
n
n
Q
P
bo’lsin. 
ax + by
= 1 Diofant tenglama-
sini xususiy yechimi
( )
( )
1
,
1
;
1
0
0
1
0
1
1
0
=
+
−
=
−
=
−
−
−
by
ax
яъни
P
y
Q
x
n
n
n
n
ko’rinishda bo’lishini isbotlang. 
Yechish. 
b
a
ni uzluksiz kasr ko’rinishda tasvirlaymiz: 
(
)
n
q
q
q
b
a
,...,
,
1
0
=
Ikkita munosib kasrlar orasidagi formuladan 
( )
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
=
−
n
n
n
n
n
n
n
Q
Q
Q
P
Q
P
, lekin 
b
a
Q
P
n
n
=
, shuning uchun 
( )
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
=
−
n
n
n
n
bQ
Q
P
b
a
, bundan 
( )
1
1
1
1
−
−
−
−
=
−
n
n
n
bP
aQ
, yoki 
( )
( )
1
1
1
1
1
1
=
−
+
−
−
−
−
n
n
n
n
P
b
Q
a
. 
Bu tenglikni
ax
0
 + by
0
= 1 tenglik bilan solishtirsak 
( )
( )
1
0
1
1
0
1
,
1
−
−
−
−
=
−
=
n
n
n
n
P
y
Q
x
ni hosil qilamiz. 
g
5-m i s o l. 
ax + by = c
diofant tenglamasi yechimlarini toping. 
Yechish. 
4-misoldan
( )
( )
с
P
y
c
Q
x
n
n
n
n
1
0
1
1
0
1
,
1
−
−
−
−
=
−
=
kelib chiqadi.
Agar tenglamada 
b
koeffisiyentning ishorasi manfiy bo’lsa, u holda y
0
formu-
lasida (-1)
n
-1
ni olish kerak. Bu 
x
0
va 
y
0
qiymatlarini 
x = x
0
–bt
, 
y = y
0
+at
ga qo’yib 
berilgan tenglamani umumiy yechimini hosil qilamiz: 
ax + by = c.
g
6-m i s o l. Uzluksiz kasrlar yordamida 38
x 
+ 117
y 
= 209 tenglama umumiy 
yechimini toping. 
 Yechish. 
117
38
ni uzlksiz kasrga yoyamiz: 
(
)
2
,
1
,
12
,
3
,
0
117
38
=
.
k 
0 
1 
2 
3 
4 
Q
k
 
0 
3 
12 
1 
2 
P
k
 
0 1 0 
1 
12 
13 
38 
Q
k 
1 0 1 
3 
37 
40 
117 
kasrlarni topamiz. 
Bundan: 
P
n
-1
= 13, 
Q
n
-1
= 40,
n
= 4. 
5-misoldagi formulalardan

---

18 
( )
( )
2717
209
13
1
,
8360
209
40
1
4
0
3
0
=
⋅
⋅
−
=
−
=
⋅
⋅
−
=
y
x
ni topamiz. Demak, tenglamani umumiy yechimi:
x 
= –8360 – 117 
t
, 
y
= 2717 + 38 
t
. 
Tekshirish:
38 (- 8360) + 117 
⋅
2717 = - 317680 + + 317889 = 209. 
g
7-m i s o l. Uzluksiz kasrlar yordamida 119 
x 
– 68 
y 
= 34 tenglamani umumiy 
yechimimni toping. 
 Yechish. 
68
119
ni uzluksiz kasrga yoyamiz: 
(
)
.
3
,
1
,
1
68
119
=
Munosib kasrlarni to-
pamiz: 
k 
0 1 
2 
q
k
 
1 1 
3 
 P
k
 
0 1 1 2 
7 
Q
k 
1 0 1 1 
4 
Bundan: 
P
n
-1
= 2, 
Q
n
-1
= 1, 
n =
2 ni aniqlaymiz. 
(119, 68) = 17 va
c
= 34 son 17 ga bo’linadi. Berilgan tenglamani 17 ga 
bo’lib, 7
x
– 4
y 
= 2 ni hosil qilamiz. 
Tenglamaning xususiy yechimi:
x
0 
= (-1)
1
⋅
1 
⋅
2 = -2, 
y
0
= (-1)
1
⋅
2 
⋅
2 = - 4.
Umumiy yechim esa:



+
−
=
+
−
=
t
y
t
x
7
4
4
2
.
 Tekshirish
: 7 (-2) – 4 (-4) = - 14 + 16 = 2. 
g