Sonlar nazariyasi

r
n
qoldiq
a
va 
b 
sonlarni EKUB ini beradi.
Har qanday 
a, b,…, l
sonlarga bo’linadigan son berilgan sonlarni 
umumiy kar-
ralisi
deyiladi. Umumiy karralilarning eng kichigi 
eng kichik umumiy bo’linuvchi
 
(EKUK) deyiladi va
m 
= [
a, b,…,l
] bilan belgilanadi.
a
va 
b
sonlarni umumiy karralisi
( )
b
a
d
t
t
d
ab
M
,
,
,
=
∈
=
Z
tenglik yordamida topiladi. Agar
t 
= 1 bo’lsa, bu tenglikdan
a
va
b 
sonlarning 
EKUK i kelib chiqadi, ya’ni 
d
ab
m
=
, yoki
[ ]
( )
b
a
ab
b
a
,
,
=
. 
Juft-juft o’zaro tub sonlarning EKUK i shu sonlar ko’paytmasiga teng. 
Agar 
−
=
=
k
k
k
k
k
p
p
p
ерда
бу
p
p
p
b
ва
p
p
p
a
,...,
,
,
...
...
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
β
β
β
α
α
α
turli tub sonlar, 
α
i
, 
β
j
– butun musbat sonlar bo’lsin. U holda 
( )
(
)
(
)
(
)
[ ]
(
)
(
)
(
)
.
...
,
,
...
,
,
max
2
,
2
max
2
1
,
1
max
1
,
min
2
,
2
min
2
1
,
1
min
1
k
k
k
k
k
k
p
p
p
b
a
p
p
p
b
a
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
=
=
quyidagi rekurrent formulalar yordamida bir nechta sonlarni EKUK va EKUB ini 
topish mumkin: 
(
) (
)
(
)
[
] [
]
[
]
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
,
,....,
,
,
,...,
,
,
,
,....,
,
,
,...,
,
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
−
−
−
−
=
=
Demak bu formulalardan bir nechta sonlarni EKUB va EKUK ini topish ikkita 
sonni EKUB va EKUK ini topish masalasiga keltiriladi. 
1-m i s o l. (1734, 822) va [1734, 822] ni toping. 
Yechish. 
Bu sonlar uchun Yevklid algoritmini topamiz: 
1734 = 822 
⋅
2 + 90; 
822 = 90 
⋅
9 + 12; 
90 = 12 
⋅
7 + 6; 
12 = 6 
⋅
2. 
Demak, (1734, 822) = 6. 
[
]
237558
6
822
1734
822
,
1734
=
⋅
=
. 
g
2-m i s o l. Ikkita ketma-ket juft sonlarning EKUB i 2 ga, toq sonlarning 
EKUB i esa 1 ga tengligini isbotlang. 
Yechish. 
(2
n
, 2
n 
+ 2) = 2(
n
, 
n 
+ 1) = 2 
2
n 
+ 3 = (2
n 
+ 1)
⋅
1 + 2
2
n 
+ 1 = 2
⋅
n 
+ 1
2 = 1
⋅
2, bundan (2
n
+ 1 , 2
n 
+ 3) = 1. 
g
3-m i s o l. (
a, b
) = 1 dan (
a + b, a - b
) 1 yoki 2 ga tengligi kelib chiqishini is-
botlang. 

---

8 
Yechish. (a + b, a - b) = d
bo’lsin, u holda
d|
2
a
va 
d|
2
b.
(2
a
, 2
b
) =
= 2(
a,b
) = 2 bo’lganligi sababli
d
|2.
Demak, 
d 
= 1 yoki 2. 
g
4-m i s o l. Agar 
1
1
2
1
=
−
v
u
v
u
bo’lsa, (
a,b
) = (
u
1
a+v
1
b, u
2
a+v
2
b
) ni isbot-
lang. 
Yechish. 
(
a, b
) = 
d 
va (
u
1
a + v
1
b, u
2
a + v
2
b
) = 
d
1
bo’lsin. 
d
1
|(
u
1
a + v
1
b
), 
d
1
|
(
u
2
a 
+ v
2
b
) va 
1
1
2
2
1
=
−
v
u
v
u
dan 
d
1
 

a , d
1

b
, kelib chiqadi, demak, 
d
1

d
. 
d

a
,
 d

b
dan 
d
1

d
kelib chiqadi. Demak, 
d = d
1
. 
g
5-m i s o l. 3 = (51, 21) ni 51
x 
+ 21
y
shaklda ifodalang. 
Yechish. 
51 = 21
⋅
2 + 9, 21 = 9
⋅
2 + 3. Bundan
3 = 21 – 2
⋅
9 = 21 – 2(51 – 21
⋅
2) = 21
⋅
5 – 51
⋅
2. 
g
6-m i s o l.
ab
va
m
= [
a, b
] sonlarni EKUB ini toping. 
Yechish. 
(
ab, m
) = ( 
dm, m
) = 
m
(
d
, 1) = 
m
, bu yerda
)
,
(
b
a
d
=
. 
g
7-m i s o l. Uchta ketma-ket natural sonlarning EKUB va EKUK ini toping. 
Yechish. 
(
n, n + 
1
, n + 
2) = ((
n, n + 
1), 
n + 
2) = (1
, n + 
2) = 1. 
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
,
2
n
n,
2
n
1
n
n
2
n
,
1
n
n
2
n
1
 
 
n
 
n

 
2] 
 
 
n
 
1),
 
 
(n
 
[n
 
2] 
 
 
n
 
1],
 
 
n
 
[[n,
 
2] 
 
 
n
 
1,
 
 
n
 
[n,
+
+
+
=
+
+
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
+
+
(
)
2
,
+
n
n
n
ning juft-toqligiga qarab 2 yoki 1 bo’ladi.
Demak, agar
n 
toq bo’lsa, [
n, n + 
1
, n + 2
] = 
n
(
n + 
1)(
n + 
2), va agar
n 
juft 
bo’lsa, [
n, n + 
1
, n + 2
] = 
(
)(
)
2
2
1
+
+
n
n
n
. 
g
8-m i s o l. Ikkita sonning EKUB i shu sonlar ayirmasidan katta bo’lishi mum-
kinmi? 
 Yechish. a > b 
va (
a, b
) = 
d
bo’lsin. Bundan
a = dx
,
b = dy
va
x – y 
> 0 bo’ladi. Agar
d > a - b = d
(
x - y
) bo’lsa, 1
 > x – y
va
0 < x – y < 
1 ni hosil qilamiz. Bu tengsizlik o’rinli emas, chunki
x
va 
 y
– butun son-
lar. Demak, (
a, b
) 
≤
a – b 
(
a > b
) bo’ladi. 
g
9-m i s o l. 
( )



=
=
+
30
,
150
y
x
y
x
sistemani natural yechimlarini toping. 
 Yechish. 
(
x, y
) 
= 30
quyidagi sistemaga teng kuchli.
( )





=
=
=
.
1
,
30
30
v
u
v
y
u
x
Bundan berilgan sistemaning birinchi tenglamasi 
5
=
+
v
u
ko’rinishga keladi va 
4
,
3
,
2
,
1
=
u
qiymatlar qabul qiladi. Demak, 
120
,
90
,
60
,
30
=
x
ga teng bo’lishi mum-
kin. 
x
y
−
=
150
dan 
.
30
,
60
,
90
,
120
=
y
g
10-m i s o l. Agar (
a, b
) = 24, [
a,b
] = 2496 bo’lsa,
a
va
b 
larni toping.

---

9 
Yechish. 
(
a, b
) = 24 dan 
a = 
24 
x
, 
b = 
24 
y
va (
x,y
) = 1 kelib chiqadi. 
x < y
bo’lsin. 
[ ]
( )
b
a
ab
b
a
,
,
=
dan
24
24
24
2496
y
x
⋅
=
yoki 
13
2
104
3
⋅
=
=
xy
. 
(
x, y
) = 1 dan 
xy 
= 1
⋅
104 yoki 
xy 
= 8
⋅
13 bo’lishi mumkin. Bu yerdan 
x 
= 1 va 
y 
= 104 bo’lganda 
a 
= 24
⋅
1 = 24, 
b 
= 24
⋅
104 = 2496; 
x 
= 8 va 
y 
= 13 bo’lganda 
a 
= 24
⋅
8
= 192, 
b 
= 24
⋅
13 = 312. 
g
 
M A S H Q L A R 
 
18. 
Yevklid algoritmi yordamida sonlarning EKUB va EKUK ini toping: 
a
) 546 va 231; 
b
) 1001 va 6253; 
c
) 2737, 9163 va 9639;
d
) 420, 126 va 525; 
e
) 529, 1541 va 1817. 
19. 
Sonlarni tub ko’paytuvchilarga ajratib sonlarning EKUB ini toping:
a
) 360 va 504; 
b
) 220 va 6600;
c
) 187 va 533;
d
) 420, 126 va 525; 
e
) 529, 1541 va 1817. 
20*.
Agar 
a = cq+r, b = cq
1
+r
1
bo’lib, 
a, b, q, q
1
 r, r
1
– butun nomanfiy son-
lar; 
c 
– butun musbat son bo’lsa,
(
a, b, c
) = (
c, r, r
1
) 
tenglikni isbotlang. Bu tenglikdan (
a,b,c
) ni topish qoidasini keltirib chiqaring va shu 
qoidani
n
ta son uchun umumlashtiring. 
21. 
20-masaladan foydalanib quyidagi sonlarni EKUB ini toping: 
a
) 299, 391 va 667; 
b
) 588, 2058 va 2849;
c
) 31605, 13524 , 12915 va 11067. 
22. 
[ ]
( )
b
a
ab
b
a
,
,
=
formuladan foydalanib quyidagi sonlarning EKUK ini toping: 
a
) 252 va 468; 
b
) 279 va 372; 
c
) 178 va 381;
d
) 299 va 234; 
e
) 493 va 221. 
23*. 
Agar (
a,b
)=1 bo’lsa, quyidagilarni toping:
a
) ((
a,b
), [
a,b
]); 
b
) (
a+b, ab
); 
c
) (
a+b
, [
a,b
]).