Sonlar nazariyasi

24*.
Ikki son yig’indisi 667, EKUK i va EKUB i nisbatlari 120 ga teng bo’lsa, 
shu sonlarni toping. 
25*.
Ikki sonni har birini ularning EKUB iga bo’lganda hosil bo’lgan 
bo’linmalar yig’indisi 18 ga teng. Sonlarning EKUK i 975 ga teng bo’lsa, shu son-
larni toping.

26*.
a 
= 899, 
b 
= 493 berilgan.
d 
= (
a,b
) ni toping va shunday
x
va
y 
larni 
aniqlangki,
d = ax + by
ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsin
. 
27. 
26-masalani quyidagi juftliklar uchun bajaring:
a
) 
a 
= 1445, 
b 
= 629; 
b
) 
a 
= 903, 
b 
= 731; 
c
) 
a 
= 1786, 
b 
= 705. 
28*.
Sistemalarni natural yechimlarini toping: 

---

10 
a
) 
( )





=
=
7
11
45
,
y
x
y
x
; 
b
) 
( )



=
=
20
,
8400
y
x
xy
;
c
) 
( )





=
=
28
,
9
5
y
x
y
x
; 
d
) 
[ ]



=
=
.
10
,
20
y
x
xy
29*.
Agar 
a, b, c
– toq sonlar bo’lsa,
(
)






+
+
+
=
2
,
2
,
2
,
,
c
b
c
a
b
a
c
b
a
ni isbotlang. 
30*. 
Isbotlang: 
a
) 
[
]
(
)
( )( )( )
c
b
c
a
b
a
c
b
a
abc
c
b
a
,
,
,
,
,
,
,
=
; 
b
) 
( ) ( ) ( )
2
2
2
]
,
[
]
,
[
]
,
[
,
,
,
c
b
a
c
b
c
a
b
a
c
b
c
a
b
a
=
. 
31*. 
N=
10
a+b
(0
 
≤
 b 
≤
 
9) natural son 
m 
= 10
q
+1 songa bo’linishi uchun faqat 
va faqat 
a – bq
m
ga bo’linishi kifoya ekanligini isbotlang. 
32*. 
Toping:
a
) (
n,
2
n + 1
); 
b
) (10
n + 
9
, n + 
1); 
c
) (3
n 
+ 1
, 
10
n + 
3).
33*.
N 
= 10
a+b
(0 
≤
b 
≤
9) natural son
m
=10
q
+9 ga bo’linishi uchun faqat va 
faqat
a+b
(
q
+1) ni
m 
ga bo’linishi kifoya ekanligini isbotlang. 
34.
Ixtiyoriy natural
a 
va

b 
lar uchun: 
(
a,b
) = (5
a
+3
b
, 13
a
+8
b
)
tenglik o’rinli ekanligini isbotlang. 
35. 
Agar 
1
)
,
(
=
b
a
bo’lsa, 
−
+
+
b
a
a
1
1
qisqarmas kasr ekanligini isbotlang.
 
3-§. Tub va murakkab sonlar 
 
Agar natural son 
tub son
deyiladi, u ikkita turli natural bo’luvchiga (bir va o’zi) 
ega bo’lsa va 
murakkab son
deyiladi, agar uning bo’luvchilar soni ikkitadan ko’p 
bo’lsa.
Bir son na tub, na murakkab songa tegishli emas. Tub sonlar (va ularning natu-
ral darajalari) o’zaro tubdir. Murakkab sonning birdan farqli natural bo’luvchisi 
a
dan katta emas. Bu shartdan foydalanib 
a
sonning tub bo’luvchilarini faqat 
a
dan 
katta bo’lmagan tub sonlar orasidan izlash kerakligi kelib chiqadi. 
a
sondan katta bo’lmagan tub sonlarni jadvalini tuzish uchun 
Eratosfen 
g’alviri
deb ataluvchi usul mavjud. Bu usul bo’yicha sonlar qatorida bi-rinchi topil-
gan 
p
1
tub songa karrali bo’lgan sonlarni o’chirish, so’ng ikkinchi 
r
2
tub sonni topib, 
unga karrali sonlarni o’chirish va hokazo. Bu prosessni 
a
dan katta bo’lmagan tub 

---

11 
songacha davom ettirib, 1 dan
a
gacha sonlar qatorida o’chirilmay qolgan sonlar 
a
dan katta tub sonlarni beradi.
Birdan katta har qanday butun 
a
sonni 
p
1
, p
2
,…, p
n
tub sonlar ko’paytmasi 
shaklida ko’paytuvchilar yozilishi tartibi aniqligida yagona ra-vishda yozish mumkin 
(
arifmetikaning asosiy teoremasi
): 
a = p
1
 p
2
 … p
n
. 
Ba’zi ko’paytuvchilar takrorlanib kelishi mumkin, shuning uchun ularni kar-
ralilarini mos ravishda 
α
1
, 
α
2
,…, 
α
n
lar bilan belgilab,
a
sonning 
kanonik yoyilma-
si
ni hosil qilamiz, ya’ni: 
n
n
p
p
p
a
α
α
α
...
2
2
1
1
=
. 
Bundan 
a
sonning har qanday bo’luvchisi 
n
n
p
p
p
d
β
β
β
...
2
1
1
1
=
ko’rinishga ega bo’lishi kelib chiqadi, bu yerda 0 
≤
β
1
≤
α
1 
, 0 
≤
β
2
≤
α
2 ,
…., 0 
≤
β
n
≤
α
n
. 
1-m i s o l. Tub sonlar ayirmasi shaklida yoziladigan barcha toq sonlarni top-
ing.

 Yechish. 
Tub sonlardan bittasi albatta juft bo’lishi kerak, shuning uchun
N 
= 
p 
– 2, bu yerda
p
– juft bo’lmagan tub son. 
g
2-m i s o l.
N 
= 3
m
+2 (
m
=1,2…,) sonning kvadratini natural son kvadrati va 
tub son yig’indisi shaklida yozish mumkin emasligini isbotlang. 
Yechish. 
Agar 
N 
2
= 
n
2
+
p 
bo’lsa, u holda
p 
= (
N-n
) (
N+n
), bundan
N – n 
= 1, 
N + n 
= 
p
va demak, 2
N 
= 1 + 
p
yoki 
p 
= 2
N 
– 1 = 6
m 
+ 3, bu esa mum-
kin emas. 
g
3-m i s o l. 127 tub yoki murakkab son ekanligini aniqlang. 
Yechish. 
127 dan oshmaydigan 2, 3, 5, 7, 11 tub sonlar 127 ini bo’luvchilari 
emas, demak, bu son tub sondir. 
g
4-m i s o l. 2320 va 2350 sonlari orasida joylashgan barcha tub sonlarni top-
ing. 
Yechish. 
Yechimni soddalashtirish maqsadida 2321 dan 2349 gacha bo’lgan 
sonlar qatorida juft, 0 va 5 bilan tugallanadigan sonlarni yozmaslik mumkin, chun-
ki bu sonlar tub emas. Demak: 2321, 2323, 2327, 2329, 2331, 2333, 2337, 2339, 
2341, 2343, 2347, 2349. 
Bu sonlar qatoridan 3 ga bo’linadiganlarni o’chiramiz (3 ga bo’linish alomati-
dan foydalanamiz). Bu sonlar:
2331, 2337, 2343, 2349
Qolgan sonlar:
2321, 2323, 2327, 2329, 2333, 2339, 2341, 2347. 
Bu qatorda 5 ga karrali son bo’lmaganligi sababli 7 ga karrali sonlarni 
o’chiramiz. Bu quyidagicha amalga oshiriladi. Qatordagi birinchi sonni 7 ga 
bo’lamiz: 
2321 = 7
⋅
331 + 4. 

---

12 
Qoldiq 4 dan (7 gacha 3 yechishmaydi) 7 ga karrali son natural sonlar qatori-
dagi 2321 dan keyingi uchinchi sonligi kelib chiqadi, ya’ni 2324 va shu 2324 dan 
keyingi barcha 7 chi sonlar bo’ladi. Ya’ni: 2331, 2338, 2345. 11 ga karrali son 2321. 
Bundan keyin keladigan 11 ga karrali sonlar 2332, 2343 sonlar o’chirilgan. 13 ga 
karrali sonlarni topamiz: qolgan sonlardan birinchi son 2323 ni 13 ga bo’lamiz:
2323=13
⋅
178+9. 
Demak, 13 ga karrali son natural sonlar qatorida 2323 dan to’rtta keyin kelgan 
(9+4=13) bo’ladi, ya’ni 2327. Bu sonni o’chiramiz. 13 ga bo’linadigan keyingi son 
2340, bu son o’chirilgan. 
49
2350
<
bo’lganligi sababli bu prosessni to 47 tub son-
gacha davom ettirish kerak. 2329 – 17 ga karrali, 2323 – 23 ga karrali sonlar. Qolgan
2333, 2339, 2341, 2347 sonlar tub sonlar bo’ladi. 
g
5-m i s o l. 2
18
+ 3
18
yig’indini tub ko’paytuvchilarga ajrating. 
Yechish.
(
)(
)(
)
=
+
⋅
−
+
−
+
=
+
12
6
6
12
4
2
2
4
2
2
18
18
3
3
2
2
3
3
2
2
3
2
3
2
(
)
181
73
37
61
13
488881
61
13
3
3
2
2
61
13
12
6
6
12
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
+
⋅
−
⋅
=
. 
g
6-m i s o l. 3, 5 va 7 sonlar yagona uch egizak sonlar (ya’ni ayirmasi 2 ga teng 
bo’lgan arifmetik progressiya tashkil etuvchi 3 ta tub son) tashkil etishini isbotlang. 
 Yechish. p
, 
p 
+ 2 va
p 
+ 4 ( 
p 
> 3 ) sonlarni ko’ramiz.
p 
= 3
q 
+ 1
(
q 
= 2,4,…,) bo’lsa, 
p 
+ 2 – son murakkab son bo’ladi (3 ga bo’linadi). Agar 
(
)
...
,
2
,
1
2
=
+
=
q
q
p
bo’lsa, 
p 
+ 4 murakkab son bo’ladi. 
g
7-m i s o l. 2
n
–1 va 2
n
+ 1 (
n 
> 2) sonlar bir vaqtda tub sonlar bo’laolmasligini 
isbotlang. 
Yechish. 
2
n
 
= 3
q
+ 1 yoki 2
n
= 3
q
+ 2 ko’rinishga ega. Birinchi holda 2
n 
– 1 = 
3
q
– murakkab son, chunki
n
> 2 da
q
> 1 bo’lishi kerak. Ikkinchi holda 2
n 
+ 1 = 3 
q 
+ 3 – yana murakkab son. 
g
8-m i s o l. 3
n
+ 2 (
n
= 1, 2,…) ko’rinishdagi eng katta tub son mavjud emas-
ligini isbotlang. 
Yechish. N
= 3·5·7··· 
p
+ 2 ko’rinishdagi sonni qaraymiz, bu yerda
p
= 3
n 
+ 2
ko’rinishdagi son (
N
soni ham shu ko’rinishdagi son). 
N
ning kanonik yoyilmasida 
p
dan katta tub sonlar mavjud va bular orasida 3
n 
+ 2 ko’rinishdagi tub son mavjud. 3
n 
+ 1 ko’rinishdagi tub sonlar ko’paytmasi yana shu shaklga ega bo’lganligi sababli u 
N
ga teng bo’laolmaydi. Demak, 
p
qanday bo’lishidan qat’iy nazar 3
n
+ 2 ko’rinishdagi 
p
dan katta tub son mavjud
.
g
9-m i s o l. 
n
> 2 sondan katta bo’lmagan barcha tub sonlar ko’paytmasi
n
dan 
katta bo’lishini isbotlang. 
Yechish. p
– tub son
p
≤
n 
shartni qanoatlantiruvchi eng katta tub son bo’lsin. 
N 
= 2·3·5···(
p
-1) sonning kanonik yoyilmasi faqat 
n
dan katta tub sonlardan iborat.
Demak,
N
> 
n 
va bundan 
N 
= 2·3·5··· 
p
>
n
. 
g
10-m i s o l. 
p 
va 8
p
2
+ 1 – tub sonlar bo’lsa, 8 
p
2 
+ 2 
p 
+ 1 tub son bo’lishini 
isbotlang. 

---

13 
 Yechish. p 
va 8
p
2
+ 1 – tub sonlar bo’lganligi sababli
p
= 3 bo’lishi kerak, 
chunki
p 
= 3
k 
+ 1 yoki 3
k
+ 2 bo’lganda 8
p
2
+ 1 tub bo’lmaydi. Demak, 8
p
2 
+ 2
p 
+ 1 
= 79 – bu tub son. 
g