50*.
235
2
+ 972
2
sonni ko’paytuvchilarga ajrating.
51*.
3
10
+ 3
5
+ 1 sonni ko’paytuvchilarga ajrating.
52*.
Agar 1+2
k
tub son bo’lsa,
k
= 0 yoki
k
= 2
n
(
n
= 0, 1, 2, …) bo’lishini isbotlang.
53*.
O’zaro tub
a,b
sonlar uchun
a
α
+
b
β
tub son bo’lsa, (
α
,
β
) = 1 yoki (
α
,
β
)
= 2
k
o’rinli bo’lishini ko’rsating.
54.
Agar 2
n
–1 tub son bo’lsa,
n
– tub son ekanligini ko’rsating.
14
4-§. Chekli uzluksiz kasrlar
Agar
b
a
– qisqarmas kasr (to’g’ri yoki noto’g’ri) bo’lsa, bu kasrni Yevklid al-
goritmi yordamida quyidagi ko’rinishda tasvirlash mumkin:
,
1
...
..........
1
1
1
3
2
1
0
n
q
q
q
q
q
b
a
+
+
+
+
+
=
bu yerda
q
0
– butun nomanfiy son;
q
1
,
q
2
,…,
q
n
– butun musbat sonlar.
Bu tenglikning o’ng tomonida yozilgan kasr
chekli uzluksiz kasr
yoki
zanjirli
kasr
deyiladi.
Bu kasrlarni qisqacha
(
)
n
q
q
q
q
b
a
,...,
,
,
2
1
0
=
ko’rinishda yozish mumkin.
Yevklid algoritmidagi
q
1
,
q
2
,…,
q
n
lar uzluksiz zanjirning
maxrajlari
;
q
0
, q
1
,
q
2
,…, q
n-1
–
to’liqmas bo’linmalar
;
q
0
, q
1
, q
2
,…, q
n
lar esa
aniq bo’linmalar
deyiladi.
,.......
1
1
;
1
,
1
2
1
0
2
2
2
1
0
1
1
1
0
0
0
0
q
q
q
Q
P
q
q
Q
P
q
Q
P
+
+
=
=
+
=
=
=
=
δ
δ
δ
n
n
n
n
q
q
q
q
Q
P
1
.......
..........
1
1
......,
2
1
0
+
+
+
=
=
δ
lar
munosib
kasrlar
deyiladi va
b
a
Q
p
n
n
=
.
Munosib kasrlar va
b
a
kasr orasida quyidagi munosibatlar o’rinli:
15
.
....
....
1
1
3
3
5
5
4
4
2
2
0
0
Q
P
Q
P
Q
P
b
a
Q
P
Q
P
Q
P
<
<
<
<
<
<
<
<
Bu tengsizliklardan berilgan
b
a
kasr ikkita qo’shni munosib kasrlar orasida joy-
lashganligi va tartib oshgani sari bu qo’shni kasrlar intervali kichrayib borishi
ko’rinyapti. Shuning uchun ham bunday kasrlar «munosib kasrlar» deyiladi.
Ketma-ket uchta munosib kasrlar suratlari va maxrajlari
k = 2
dan boshlab quy-
idagi bog’lanish o’rinli:
2
1
2
1
−
−
−
−
+
+
=
k
k
k
k
k
k
k
k
Q
q
Q
P
q
P
Q
P
Agar shartli ravishda
P
-1
=1,
Q
-1
= 0,
Q
0
= 1 qabul qilsak, u holda barcha mu-
nosib kasrlarni quyidagi sxema yordamida topish mumkin:
k
0
1
2
… k
… n
q
k
q
0
q
1
q
2
…
q
k
… q
n
P
k
1
P
0
=
q
0
P
1
=
q
0
q
1
+ 1
P
2
=
P
1
q
2
+
P
0
…
P
k
=
P
k-
1
q
k
+
P
k
-2
… P
n
Q
k
0
Q
0
= 1
Q
1
=
q
1
Q
2
=
Q
1
q
2
+
Q
0
…
Q
k
=
P
k
-1
q
k
+
Q
k
-2
… Q
n
Ikkita qo’shni munosib kaslar ayirmasini
( )
1
1
1
1
+
+
+
−
=
−
k
k
k
k
k
k
k
Q
Q
Q
P
Q
P
formula yordamida topish mumkin.
b
a
kasrni
k
k
Q
P
munosib kasr bilan almashtirganda hosil bo’lgan xatoni
1
1
+
≤
−
k
k
k
k
Q
Q
Q
P
b
a
tengsizlik bilan baholanadi.
1-m i s o l.
83
245
sonni shunday munosib kasr bilan almashtiringki, uning xatosi
0, 001 dan katta bo’lmasin.
Yechish.
Sonni uzluksiz kasrga yoyamiz:
(
)
3
,
1
,
19
,
1
,
2
83
245
=
.
Demak kasrlarni topamiz:
k
0
1
2
3
4
q
k
2
1
19
1
3
P
k
1 2
3
59
62
245
Q
k
0 1
1
20
21
83
16
1000
1
21
20
1
20
59
83
245
>
⋅
<
−
.
δ
2
shartni qanoatlantirmaydi.
21
62
3
=
δ
ni keltiramiz:
1000
1
83
21
1
21
62
83
245
<
⋅
<
−
. Demak, masala yechimi
21
62
3
=
δ
.
g
2-m i s o l.
(
)
2
,
1
,
3
,
1
,
1
,
2
=
b
a
uzluksiz kasrga mos kasrni toping.
Yechish.
Munosib kasrlarni topamiz:
k
0
1
2
3
4
5
q
k
2
1
1
3
1
2
P
k
1 2
3
5
18
23
64
Q
k
0 1
1
2
7
9
25
Bu jadvaldan
25
64
=
b
a
.
Bu masalani yechimini quyidagicha topish mumkin:
.
25
64
25
14
2
14
11
1
1
2
11
3
1
1
1
1
2
3
2
3
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
3
1
1
1
1
1
2
=
+
=
+
+
=
+
+
+
=
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
b
a
Bu usuldan zanjirdagi sonlar miqdori oz bo’lganda foydalanish mumkin.
g
3-m i s o l.
2743
3587
kasrni kasrga yoyish yordamida qisqartiring.
Yechish.
Sonni uzluksiz kasrga yoyamiz:
(
)
.
4
,
3
,
1
2743
3587
=
Demak,
13
17
13
4
1
4
1
3
1
1
2743
3587
=
+
=
+
+
=
.
g
17
4-m i s o l.
a
va
b
– o’zaro tub musbat sonlar.
b
a
ni uzluksiz kasrga yoy-
gandagi oxiridan ikkinchi munosib kasr
1
1
−
−
n
n
Q
P
bo’lsin.
ax + by
= 1 Diofant tenglama-
sini xususiy yechimi
( )
( )
1
,
1
;
1
0
0
1
0
1
1
0
=
+
−
=
−
=
−
−
−
by
ax
яъни
P
y
Q
x
n
n
n
n
ko’rinishda bo’lishini isbotlang.
Yechish.
b
a
ni uzluksiz kasr ko’rinishda tasvirlaymiz:
(
)
n
q
q
q
b
a
,...,
,
1
0
=
Ikkita munosib kasrlar orasidagi formuladan
( )
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
=
−
n
n
n
n
n
n
n
Q
Q
Q
P
Q
P
, lekin
b
a
Q
P
n
n
=
, shuning uchun
( )
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
=
−
n
n
n
n
bQ
Q
P
b
a
, bundan
( )
1
1
1
1
−
−
−
−
=
−
n
n
n
bP
aQ
, yoki
( )
( )
1
1
1
1
1
1
=
−
+
−
−
−
−
n
n
n
n
P
b
Q
a
.
Bu tenglikni
ax
0
+ by
0
= 1 tenglik bilan solishtirsak
( )
( )
1
0
1
1
0
1
,
1
−
−
−
−
=
−
=
n
n
n
n
P
y
Q
x
ni hosil qilamiz.
g
5-m i s o l.
ax + by = c
diofant tenglamasi yechimlarini toping.
Yechish.
4-misoldan
( )
( )
с
P
y
c
Q
x
n
n
n
n
1
0
1
1
0
1
,
1
−
−
−
−
=
−
=
kelib chiqadi.
Agar tenglamada
b
koeffisiyentning ishorasi manfiy bo’lsa, u holda y
0
formu-
lasida (-1)
n
-1
ni olish kerak. Bu
x
0
va
y
0
qiymatlarini
x = x
0
–bt
,
y = y
0
+at
ga qo’yib
berilgan tenglamani umumiy yechimini hosil qilamiz:
ax + by = c.
g
6-m i s o l. Uzluksiz kasrlar yordamida 38
x
+ 117
y
= 209 tenglama umumiy
yechimini toping.
Yechish.
117
38
ni uzlksiz kasrga yoyamiz:
(
)
2
,
1
,
12
,
3
,
0
117
38
=
.
k
0
1
2
3
4
Q
k
0
3
12
1
2
P
k
0 1 0
1
12
13
38
Q
k
1 0 1
3
37
40
117
kasrlarni topamiz.
Bundan:
P
n
-1
= 13,
Q
n
-1
= 40,
n
= 4.
5-misoldagi formulalardan
18
( )
( )
2717
209
13
1
,
8360
209
40
1
4
0
3
0
=
⋅
⋅
−
=
−
=
⋅
⋅
−
=
y
x
ni topamiz. Demak, tenglamani umumiy yechimi:
x
= –8360 – 117
t
,
y
= 2717 + 38
t
.
Tekshirish:
38 (- 8360) + 117
⋅
2717 = - 317680 + + 317889 = 209.
g
7-m i s o l. Uzluksiz kasrlar yordamida 119
x
– 68
y
= 34 tenglamani umumiy
yechimimni toping.
Yechish.
68
119
ni uzluksiz kasrga yoyamiz:
(
)
.
3
,
1
,
1
68
119
=
Munosib kasrlarni to-
pamiz:
k
0 1
2
q
k
1 1
3
P
k
0 1 1 2
7
Q
k
1 0 1 1
4
Bundan:
P
n
-1
= 2,
Q
n
-1
= 1,
n =
2 ni aniqlaymiz.
(119, 68) = 17 va
c
= 34 son 17 ga bo’linadi. Berilgan tenglamani 17 ga
bo’lib, 7
x
– 4
y
= 2 ni hosil qilamiz.
Tenglamaning xususiy yechimi:
x
0
= (-1)
1
⋅
1
⋅
2 = -2,
y
0
= (-1)
1
⋅
2
⋅
2 = - 4.
Umumiy yechim esa:
+
−
=
+
−
=
t
y
t
x
7
4
4
2
.
Tekshirish
: 7 (-2) – 4 (-4) = - 14 + 16 = 2.
g
Dostları ilə paylaş: |